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90 第二篇 电 磁 学第6章 真空中的静电场6.1 基本要求 1、掌握静电场的电场强度和电势的概念、电场强度叠加原理和电势叠加原理以及电场强度和电势的积分关系； 2、能利用线积分计算一些简单问题中的电场强度和电势； 3、理解静电场的规律、高斯定理和环路定理及其应用的条件和方法。能利用高斯定理和环路定理计算电场强度。6.2 内容提要1、电荷（1）、电荷守恒定律电荷是物质的基本属性之一，它有正电荷和负电荷两种，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。物体的带电过程是物体经摩擦、加热、感应或辐射等使物体得到或失去电子而呈带电状态。在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。这就是电荷守恒定律，它是物理学中的基本定律之一。（2）、电荷的量子性物体所带电荷量不可能取任意数值，而只能取某一基元电荷量的整数倍，这种性质称为电荷的量子化。这个电荷量就是电子所带电（荷）量的绝对值e，其国际推荐值为，其中C（库仑）是电量的单位。2、库仑定律在真空中，两个静止点电荷之间相互作用的静电力与这两个点电荷所带电量和的乘积成正比，与它们之间的距离（或）的平方成反比，作用力的方向沿着它们连线的方向。数学表达式：F = ,式中为比例常数；矢量表达式：式中称为真空电容率，也称真空介电常数，其国际推荐值为，近似值为 。3、静电力叠加原理当空间有两个以上的点电荷（）时，作用在某个点电荷所受的总静电力，等于其它点电荷单独存在时作用在该点电荷上的静电力的矢量和，即 ， 这就是静电力叠加原理。4、电场电荷之间的相互作用是通过“场”传递的，即任何电荷都在其周围空间激发电场。电荷之间的相互作用是其中一个电荷所激发的电场对另一个电荷的作用。电场对处于其中的电荷的作用力，称为电场力。相对于观察者静止的电荷，在其周围空间所激发的电场，称为静电场。电场是电磁场的一种特殊存在方式，是物质的一种形态。电磁场也具有能量、动量和质量等物质的基本属性。5、电场强度电场中某点处场强E的大小等于单位电荷在该点受到力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。数学表达式为,电场强度是空间坐标的矢量函数，其单位为: 牛顿/库仑（N/C）或伏特/米（V/m）。6、场强叠加原理电场中任一点处的总场强E等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。数学表达式：7、电场强度通量（E通量）在电场中通过任何曲面S的电场线条数，称为穿过该面的电场强度通量，用e表示。数学表达式为8、点电荷q电场的电场中，电场力对试验电荷的功 = 结论：在点电荷q的电场中，电场力对试验电荷的功，只决定于运动路线的起点和终点位置，与路径无关，经任一闭合线路回到原处的功为零。9、点电荷系电场的电场力对试验电荷的功试验电荷在电场中运动时，点电荷系电场的叠加的电场力的功等于各点电荷所做的功的代数和。10、电势（1）、电势能电荷在电场中受场力的作用而移动时，电场力要对电荷作功，该功只与电荷移动路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。因而，电场力是保守力。电场力对电荷做功，使电荷在电场中相应位置的电势能发生变化，即，式中表示电荷在电场中从位置a移到位置b电场力所作的功，表示电势能的增量。在电场中某点a处的电势能等于电荷从处移到电势能零参考点时，静电场力的功， 。（2）、电势的定义电势是从做功的角度来描述静电场特性的物理量，静电场中某点处的电势，等于单位正电荷在该点的电势能，即 。由于电势能只具有相对的意义，因而确定电荷在电场中某一点的电势能的大小，必须选定一个作为参考的电势能零点。所以，静电场中某点处的电势，等于单位正电荷在该点经任意路经到电势能零点的过程中，电场力所作的功， 即 。（3）、电势差在静电场中，任意两点A和B的电势差，通常叫电压，用公式表示为这就是说，静电场中，任意两点A和B的电势差，等于单位正电荷从A点经任意路经到B点的过程中，电场力所做的功。（4）、用电势差表示电场力的功当任意电荷在电场中从A点移到B点时，静电场力所作的功也可用电势差表示，即 。11、电势叠加原理：在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，即 。12、等势面：电势值相等的点组成的面，称为等势面。13、电势与场强的关系电场强度E与电势U都是描述同一电场中各点的特性的，它们之间有如下的关系积分关系 ；微分关系 ，或，式中，称为梯度算子，和称为电势梯度，它是一个矢量，其方向沿着等势面的法向单位矢量的方向，大小等于。该式表示，静电场中各点的电场强度等于该点电势梯度的负值，也就是说，静电场中各点的电场强度的大小等于该点电势空间变化率的最大值，其方向平行于使空间变化率为最大的方向，指向电势降落的一侧。 在直角坐标系中，场强分量与电势梯度的关系为，故有 总之，只要知道和中之一的分布，就可以利用上述关系求出另一个分布。一般来说，由于电势是标量，它的计算往往比场强简单。因此在很多情况下可以先直接算出电势的分布，然后利用其梯度来求出场强的分布。只有在带电体具有一定的对称性的情况下，才能较方便地先求出场强的分布，然后用场强的积分来计算电势的分布。14、高斯定理：在真空中的任何静电场中，通过任一封闭曲面（高斯面）的电场强度通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和乘以1/。数学表达式： = 15、静电场的环路定理：试验电荷在电场中运动时，经过任意闭合回路回到原来位置，电场力的功等零，即：静电场环流为零，故称为无旋场。6.3 解题思路1、场的概念赋予空间各点一种局域性，要求确定一个物理量（如电场强度）在空间的分布。对电场来说，要求具体求出电场强度的分布和场源电荷的关系、能确定一个电荷所在电场中各处受的力，从而决定其运动； 2、对电场的求解，要注意参考系，本章讨论在场源电荷静止的参考系内的电场分布。电场强度公式的定义中的检验电荷，在参考系中是静止的； 3、在数理逻辑推理中求电场强度时，一般都是用矢量或矢量积分。在应用叠加原理求电场强度时，是矢量和的数学方法，不能只是代数相加； 4、用高斯定律求解电场强度时，只有在场源电荷的分布具有一定的空间对称性时，才有数学上的可能性。只有在这中情况下，才有可能将表示电场强度大小的量从积分号下提出来，得出解析的结果。电场强度方向的分布，要根据对称性来分析。5、求电势有两种方法：一是在已知电荷分布的情况下，求出电场分布，再用电场的线积分来求。积分的起点是其电势待求的场点，终点是零势能点。另一种方法是用点电荷的电势叠加，这时要注意电势零点以选在无穷远处了。6.4 思考题解答 1、为什么静电场中的电场线不可能是闭合曲线?答：由静电场的环路定理得知：在静电场中场强沿任意闭合路径的线积分等于零，即. 如果在静电场中有一条电场线是闭合的，则以这条闭合的电场线作为积分路径，积分的结果将不为零，这就与环路定理相矛盾由此得出结论，在静电场中，任何一条电场线都不能是闭合的 2、如果通过闭合曲面S的电通量为零时，是否能肯定： （1）、面S上的每一点的场强为零？ （2）、面内没有电荷？（3）、面内静电荷为零？ 答：（1）、不能肯定面S上的每一点的场强为零。因为电通量不是电场强度，它是电场强度的面积分。面S上的每一点的场强不为零是，通过它的电通量仍然可能为零。通过在一个点电荷旁边的封闭曲面的电通量就是如此。BAO+qR1-QR2 （2）、不一定没有电荷。当正、负电荷的代数和为零时，通过该封闭曲面的电通量为零。（3）、肯定面内静电荷为零。图6.1 3、举例说明在选无穷远处为电势零点的条件下，带正电的物体的电势是否一定为正？电势等于零的物体是否一定不带电？答：在选定无穷远处为电势零点的条件下，带正电的物体的电势不一定为正，电势等于零的物体不一定不带电 这和周围是否有其它带电体以及这些带电体所带电荷及相对位置等情况有关. 如图6.1所示为两个带电的同心球壳.A球带q(0)的电荷，B球带Q，而Q0 . 计算表明当 时，UA0； 时，UA0； 时， .可见，一般情况下，带正电的物体电势不一定为正， 电势等于零的物体也不一定不带电.。 6.5 习题精解6.1、如图6.2所示，两个同心的均匀带电球面，内球面带电荷Q1，外球面带电荷Q2，则在两球面之间、距离球心为r处的P点的场强大小E为： (A) (B) 图6.2(C) (D) 解：由于电荷分布的对称性,则场强分布同样具有对称性,所以在距球心为的点处,作一同心球面,在此球面上各点的场强都相等, 应用高斯定理: ,且,，； 故选（A）。6.2、下面列出的真空中静电场的场强公式，其中哪个是正确的？ (A) 点电荷q的电场：(r为点电荷到场点的距离) (B) “无限长”均匀带电直线(电荷线密度l)的电场：(C) “无限大”均匀带电平面(电荷面密度s)的电场：(D) 半径为R的均匀带电球面(电荷面密度s)外的电场：(为球心到场点的矢量) 解：由等号两边矢量和标量的一致性，可排除（A）和（C）；“无限长”均匀带电直线(电荷线密度l)的电场：，所以（D）为正确答案。6.3、图6.3中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： Ox高斯面边长，常量图6.3z a试求该闭合面中包含的净电荷(真空介电常数 ） 解：设闭合面内包含净电荷为Q因场强只有 x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零由高斯定理得：,则有 所以 . 6.4、设有一“无限大”均匀带正电荷的平面取x轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空间各点的电场强度随距离平面的位置坐标x变化的关系曲线为(规定场强方向沿x轴正向为正、反之为负)：解：“无限大”均匀带正电荷的平面的E=，方向垂直平面 C 图6.46.5、一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A点出发经C点运动到B点，其运动轨迹如图6.4所示已知质点运动的速率是递减的，下面关于C点场强方向的四个图6.5所示中正确的是： 解：在电场力作用下，质点运动的速率是递减的，则其受力方向与运动方向相反，可排除（A）和（C）；法线方向受力，只改变方向，而不改变其大小，要使质点运动的速率递减又改变运动方向，则法线和切线方向都必需受力，所以(D)为正确答案。 图6. 56.6、图6.6中所示曲线表示某种球对称性静电场的场强大小E随径向距离r变化的关系，请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的 (A) 半径为R的均匀带电球面； (B) 半径为R的均匀带电球体； (C) 点电荷； (D)外半径为R，内半径为的均匀带电球壳体. 图6.6解：静电平衡时，半径为R的均匀带电球面内的场强为零；高斯定理求场强 E =， 所以选(A).6.7、图6.7示为一具有球对称性分布的静电场的Er关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的 (A) 半径为R的均匀带电球面 (B) 半径为R的均匀带电球体 (C) 半径为R 、电荷体密度rAr (A为常数）的非均匀带电球体 图6.7(D) 半径为R 、电荷体密度rA/r (A为常数)的非均匀带电球体 解：1、均匀带电球面内的电场强度为零，可排除（A）； 2、半径为R的均匀带电球体，由高斯定理求场强：当， 即 ，不是常量，可排除（B）； 3、半径为R 、电荷体密度rAr (A为常数）的非均匀带电球体当， 所以 ，不为常数，可排除（C）； 4、半径为R 、电荷体密度rA/r (A为常数)的非均匀带电球体当时，。结论：当，为常数；当时，故选D。6.8、如图6.8所示，CDEF为一矩形，边长分别为l和2l在DC延长线上CAl处的A点有点电荷q，在CF的中点B点有点电荷-q，若使单位正电荷从C点沿CDEF路径运动到F点，则电场力所作的功等于： (A) (B) (C) 图6.8 (D) 解： （1）、点电荷q做的功： A1= -，式中=1，为单位正电荷，A1=；（2）、点电荷-q做的功，A2= = 0 , 故(D) 为正确答案。Ex6.9、 图6.9中所示为a一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为l(x0、0)和l (x0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强为 ： (A) 0， (B) (C) 图6.9(D) 解：类比电偶极子或半“无限长” 均匀带电直线产生的场强 ，即，所以(B) 为正确答案。 6.10、一质子从O点沿Ox轴正向射出，初速度v0 =106 m/s在质子运动范围内有一匀强静电场，场强大小为E3000 V/m，方向沿Ox轴负向试求该质子能离开O点的最大距离。(质子质量m1.6710-27 kg，基本电荷e=1.610-19 C)解：质子在电场中受到一与运动方向相反的力，其大小为 F = eE当质子到达离O点最大距离S时，v = 0 ，静电力作功-eES，因而有 1.74 m6.11、图6.10中所示为一均匀带电圆环形薄片，电荷面密度为s，环的内外半径分别为a和b选取过环心O并垂直于环面的轴为x轴，O为原点有人求得在x轴上x0的区域的电场强度表示式为 试根据合理性对表达式做出分析，判断这个结果是否正确 图6.10 如不正确，请给出正确的表达式 答：从电荷分布的对称性看，在x0处，应有0；在xa、b处，场强公式应趋于点电荷场强公式：，但题目所给公式在x0处，在xa、b处，并不满足以上要求，可见此式不正确正确结果应为 。 6.12、两个同心薄金属球壳，半径分别为R1和R2 (R2 R1 )，若分别带上电荷q1和q2，则两者的电势分别为U1和U2 (选无穷远处为电势零点)现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为 (A) (B) (C) (D) 解： 选无穷远处为电势零点，两球壳未连接时，球面电势分别为，（先用高斯定理求E，再通过积分求电势）；用导线将两球壳相连接，静电平衡后，点荷全部分布在金属外球壳则它们的电势为 ，故选（B）。 6.13、设无穷远处为电势零点求证在电偶极子产生的电场中任意一点P处的电势为 式中为电偶极子的电矩，为从电偶极子轴线中心到P点的有向线段，且rl证：设以电偶极子轴线中心为坐标原点，如图6.11所示 P点电势 P因 rl，可认为 , 图6.116.14、如图6.12所示，半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为： (A) E=0， (B) E=0， 图6.12(C) ， (D) ， 解：由均匀带电球面的性质，可知：E=0， ，选（B）.6.15、如图6.13所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于： (A) (B) (C) 图6.13 (D) 解：侧面abcd的面积为以A为中心立方体面积的1/24，所以通过侧面abcd的电场强度通量等于，故选（C）。6.16、已知某电场的电场线分布情况如图6.14所示现观察到一负电荷从M点移到N点有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度 ； (B) 电势 ； (C) 电势能 ； 图6.14(D) 电场力的功 A0。 解：负电荷从M点移到N点（沿电场线反向运动）是受电场力的作用，电场力的功做正功，故选（D）。6.17、如图5.15所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，分别放置着三个正的点电荷q、2q、3q若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为： (A) (B) (C) 图6.15 (D) 解：外力克服电场力所作的功为：A=EQ，先求得O处的场强，既可求得A=，故选（C）。6.18、真空中有一点电荷Q，在与它相距为r的a点处有一试验电荷q现使试验电荷q从a点沿半圆弧轨道运动到b点，如图6.16所示则电场力对q作功为 (A) ； (B) ； 图6.16(C) ； ( D) 0。 解：因为静电场是保守力场，电场力所做的功与路径无关，且a和b点的电势相等，对电荷q来说电场力所做的功为0，故选（D）。6.19、电子的质量为me，电荷为-e，绕静止的氢原子核（即质子）作半径为r的匀速率圆周运动，则电子的速率为 (A) ；(B) ； (C) ； (D) (式中) 。 解：静电力为电子做圆周运动的向心力，即 ， 故选（B）。6.20、两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d，其电荷线密度分别为l1和l2如图6.17所示，则场强等于零的点与直线1的距离a为_ 。解：均匀带正电直线1、2，位于其间的场强相互减弱，必有场强等于零的P点。，a=。 图6.176,21、如图6.18所示,两同心带电球面，内球面半径为r15 cm，带电荷q1310-8 C；外球面半径为r220 cm ， 带电荷q26108C，设无穷远处电势为零，则空间另一电势为零的球面半径r _ 解题思路：确定三个区域，可以采取两种不同方法解题。一是：先求得两球面在各个区域