（江苏专用）高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列与组合 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列与组合 理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合并成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用a表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用c表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)an(n1)(n2)(nm1) (2)c性质(1)0！1；an！(2)cc；ccc_【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)(n1)！n！nn！.()(5)ana.()(6)kcnc.()1.(教材改编)用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_.答案48解析末位数字排法有a种，其他位置排法有a种，共有aa48种.2.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_种.答案10解析方法一不同的赠送方法有10种.方法二从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本.由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有c4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有c6种赠送方法.因此共有4610种赠送方法.3.(2014辽宁改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_.答案24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为a43224.4.(教材改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，其中男女生都有的选法种数为_.答案30解析分两类：男1女2或男2女1，各有cc和cc种方法，所以选法种数为cccc121830.也可用间接法ccc30.5.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目a和一般项目b至少有一个被选中的不同选法的种数是_.答案60解析从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是cc90.重点项目a和一般项目b都没有被选中的选法种数是cc30，故重点项目a和一般项目b至少有一个被选中的不同选法种数是903060.题型一排列问题例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_种不同的排法.(2)将a，b，c，d，e，f六个字母排成一排，且a，b均在c的同侧，则不同的排法共有_种.答案(1)2 520(2)480解析(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有a2 520种排法.(2)从左往右看，若c排在第1位，共有a120种排法；若c排在第2位，a和b有c右边的4个位置可以选，共有aa72种排法；若c排在第3位，则a，b可排c的左侧或右侧，共有aaaa48种排法；若c排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2(1207248)480种排法.引申探究1.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有a5 040种排法.2.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有a种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有a种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有a种排法，根据分步计数原理，共有aaa288种排法. 3.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解不相邻问题(插空法)：先安排女生共有a种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有a种排法，故共有aa1 440种排法.4.本例(1)中将条件“5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有a5种排法；再安排其他人，有a720种排法.所以共有aa3 600种排法.思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 用0,1,2,3,4,5这6个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?解(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有a个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有a种，十位和百位从余下的数字中选，有a种，于是有aa个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有aa个.由分类计数原理得，共有a2aa156个.(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，总的排法共aa144种，其中0在排头，将1,3,5插在后3个空的排法共aa12种，此时构不成六位数，故所求六位数为aaaa14412132个.题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有c561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有c种或者ccc5 984种.某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有cc2 100种.恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2件假货有cc种，选取3件假货有c种，共有选取方式ccc2 1004552 555种.至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数有c，因此共有选取方式cc6 5454556 090种.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.从10位学生中选出5人参加数学竞赛.(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？解(1)学生甲入选，再从剩下的9人选4人，故甲必须入选的有c126种不同选法.(2)没有限制条件的选择方法有c252种，甲、乙、丙同时都入选有c21种，故甲、乙、丙不能同时都入选的有25221231种不同的选法.题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻问题例3一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为_.(用式子表示)答案(3！)4解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法.命题点2相间问题例4(2014重庆改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_种.答案120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有aca36种安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有aa48种安排方法，故共有363648120种安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例5(2014四川改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种.答案216解析第一类：甲在最左端，有a54321120种方法；第二类：乙在最左端，有4a4432196种方法.所以共有12096216种方法.思维升华排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列.(2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数.某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_.(2)(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种.答案(1)90(2)60解析(1)方法一将4人平均分成两组有c3种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有a30种.所以不同的安排方法有ca33090种.方法二先从6个班级中选2个班级有c2615种不同方法，然后安排学生有cc6种，故有c26cc15690种.(2)分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共a种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有ca种分法.总获奖情况共有aca60种.14.排列、组合问题计算重、漏致误典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种.易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有c种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有c种不同取法，共有cc2 736种不同取法.上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复.解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有ccccc1 136种.方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：cc1 136种.答案1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素(位置)优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.(2)“至少、至多”型问题不能直接利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.方法与技巧1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.失误与防范求解排列与组合问题的注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理.(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏.a组专项基础训练(时间：40分钟)1.若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有_种.答案66解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有cccc66种.2.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为_(用数字作答).答案420解析首先从后排的7人中抽2人，有c种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有a种.由分步计数原理知不同调整方法种数是ca420.3.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种.答案42解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有a种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有c种排法，其他3个节目有a种排法，故有ca种排法.依分类计数原理，知共有aca42种编排方案.4.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序a只能出现在第一或最后一步，程序b和c在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有_种.答案96解析程序a有a2种结果，将程序b和c看作一个元素与除a外的3个元素排列有aa48种，由分步计数原理，实验编排共有24896种方法.5.(2014安徽改编)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有_对.答案48解析正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有c66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60角.相对两面上的4条对角线组成的c6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3c18对.所以成60角的有c3c661848对.6.(2015广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.答案1 560解析依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了a40391 560条毕业留言.7.(2014北京)把5件不同产品摆成一排，若产品a与产品b相邻，且产品a与产品c不相邻，则不同的摆法有_种.答案36解析先考虑产品a与b相邻，把a，b作为一个元素有a种方法，而a，b可交换位置，所以有2a48种摆法，又a，b相邻且又满足a，c相邻，有2a12种摆法，故满足条件的摆法有481236种.8.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种.答案11解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有a种排法；第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为a12.其中正确的有一种，所以错误的共有a112111(种).9.2015年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金兔卡”，求这组号码中“金兔卡”的张数.解当后四位数有2个6时，“金兔卡”共有c99486张；当后四位数有2个8时，“金兔卡”也共有c99486张.但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉c6，即“金兔卡”共有48626966张.10.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合a,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合b,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合c，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：a中选1人参加象棋比赛，b中选1人参加围棋比赛，方法数为cc6种；第二类：c中选1人参加象棋比赛，b中选1人参加围棋比赛，方法数为cc12种；第三类：c中选1人参加围棋比赛，a中选1人参加象棋比赛，方法数为cc8种；第四类：c中选2人分别参加两项比赛，方法数为a12种；由分类计数原理，选派方法数共有61281238种.b组专项能力提升(时间：30分钟)11.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有_种.答案24解析丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”.由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共224种.有三个“空”供丙、丁选择，即a6种.由分步计数原理，共有4624种着舰方法.12.(2014广东改编)设集合a(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0,1，i1,2,3,4,5，那么集合a中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为_.答案130解析在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情况有“一个1(或1)，四个0，有c2种；两个1(或1)，三个0，有c2种；一个1，一个1，三个0，有a种；两个1(或1)，一个1(或1)，两个0，有cc2种；三个1(或1)，两个0，有c2种.故共有c2c2acc2c2130种.13.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个