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函数的间断点及其分类 主讲教师 冯静 函数的间断点及其分类 图1 图2 图3 定义3若函数在点满足下列条件之一 在点无定义 如图1所示 在处间断 不存在 如图2所示 在处间断 如图3所示 在处间断 则称点为函数的间断点或不连续点 2 间断点的分类 1 第一类间断点 极限与都存在的间断点称为第一类间断点 第一类间断点又分为两种情形 即可去间断点与跳跃间断点 第一类间断点的特点 函数在该点左右极限都存在可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 1 第一类间断点 极限nm f x 与nm f x 都存在的间断点称为第一类间断点 第一类间断点又分为两种情形 即可去间断点与跳跃间断点 可去间断点 若与 且 即存在 在点无定义或 则称点为的可去间断点 图1和图3均为可去间断点 例3讨论函数在点的连续性 解 在点有定义且 但 故在点处不连续 且点为函数的可去间断点 跳跃间断点 若与都存在 但 则称点为的跳跃间断点图2为跳跃间断点 例4讨论函数在点的连续性 解 因为 左 右极限都存在但不相等 所以 函数在点处不连续 且点为函数的跳跃间断点 2 第二类间断点 极限不存在或极限不存在的间断点称为第二类间断点 第二类间断点常见的有两种情形 即无穷间断点与振荡间断点 第二类间断点的特点 左右极限至少有一个不存在 无穷间断点和震荡间断点统称为第二类间断点 无穷间断点 若或或则称点为的无穷间断点 例如 函数在处无定义 且 故点为函数的无穷间断点 如下图所示 振荡间断点 若当时 函数值无限次地在两个不同的数之间变动 则称点为函数的振荡间断点 例如 函数在处无定义 且当时
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