（试题 试卷 真题）2011年全国中考数学模拟汇编二19二次函数的应用

19.二次函数的应用A组三 解答题1（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）某电子科技公司开发一种新产品产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）公司前12个月累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上该图象是某二次函数y=a(x-h)2+k图象的一部分，点A为抛物线的顶点，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12，点A，B的纵坐标分别为-16，20（1）求前12个月该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）分别求出前9个月公司累积获得的利润和10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？O-16x(月)y(万元)4101220ABC解：（1）根据题意可设：y=a(x-4)2 -16， 1分当x =10时，y =20，所以a(10-4)2 -16=20，解得a=1， 2分所求函数关系式为：y= (x-4)2 -16 3分（2）当x =9时，y= (9-4)2 -16=9，所以前9个月公司累积获得的利润为9万元 4分又由题意可知，当x =10时，y=20，而20-9=11，所以10月份一个月内所获得的利润11万元 5分（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)则有：s= (n-4)2 16- (n-1-4)2 -16=2n-9 6分因为s是关于n的一次函数，且20，s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15， 7分所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元. 8分2（南京市江宁区2011年中考一模）（本题10分）某公司直销产品，第一批产品上市30天内全部售完该公司对第一批产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图中的线段表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系（1）试写出第一批产品的市场日销售量与上市时间的函数关系式；（2）第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）答案：（1）可设正比列函数y=kt(k0) 1分过点（30，60）60=30k，2分k=2， 3分4分（2）当0t20时，W= 3t2t=6t2 ，5分当0t20时，W随着t的增大而增大t =20时，最大值W=6400=2400万元；6分当20t30时，W=602t=120t ， 7分当20t30时，W随着t的增大而增大当 t=30时，最大值W=3600万元8分360024009分30天利润最大，最大日利润为3600万元. 10分3（南京市高淳县2011年中考一模）(9分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤第一个月以单价80元销售，售出了300件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出300件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出15件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元设第二个月单价降低x元（1）填表（不需化简）： 时 间第一个月第二个月清仓时单 价（元）8040销售量（件）300（2）试写出批发商销售这批T恤的获得的总利润为y（元），试求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当第二个月的销售单价为多少元时，才使得销售这批T恤获得的利润最大？答案：(9分)（1）80x ，30015x ， 800300(30015x) 3分（2）y30300(30x)( 30015x) 10(20015x) 5分15x2300x16000x的取值范围为:0x30 6分（3） y15x2300x1600015(x10)217500 7分当x10时，y取最大值 8分即当第二个月的销售单价为70元时，才使得销售这批T恤获得的利润最大9分4、（2011名校联合一模）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 吨；(2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？考查内容：二次函数的应用答案：(1)60；2分(2)解法一：设每吨售价下降10x(0x16)元，由题意，可列方程(16010x) (457.5x) 90002分化简得x210x240解得x14，x 266分所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润为9000元当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元8分解法二：当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程 (x100) (457.5) 90002分化简得x2420x440000解得x1200，x 22206分以下同解法一5、（2011朝阳区一模） 已知抛物线.（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的 左侧）时，如果CAB或CBA这两角中有一个角是钝角，那么m的取值范围 是 ；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当PAO的面积与ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式.考查内容: 二次函数的应用答案：(1)证明： 1分 2分 无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点. (2)m-1且m-4. 3分(3)解：令，解得x1=m+1，x2=-3. 4分可求得顶点.当A(m+1,0)、B(-3,0)时，.5分解得.6分当A(-3,0)、B(m+1,0)时，同理得.7分解得.8分6、(2011海淀一模) 已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线与直线的一个公共点为. （1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.考查内容: 答案：（1）由题意，可得及，解得，所以，抛物线的解析式为，直线的解析式为.2分 （2）设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，则 所以，当时，的长度取得最大值为4. 4分（3）易知点M的坐标为（1，-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为.因为点M在直线上，解得b =3,即直线MN的方程为，将其代入，可得 即 解得 ，易得 ，所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3,3）. 5分如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，显然四边形MNHG是平行四边形.可得点G（1,2），H（3,6）.所以，梯形AOMN的面积. 7分7、(2011怀柔一模) (本题满分7分) 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点C（0，-5）（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标。xOA（第23题图）Cy(2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2,-2），连结OP,找出x轴上所有点M的坐标，使得OPM是等腰三角形解：考查内容：xOA（第23题图）Cy答案：解：（1）根据题意，得（2分） 解得 （3分）二次函数的表达式为B(5,0)（4分）（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）（5分）由于P(2,-2) ,符合条件的坐标有共有4个，分别是(4,0) (2,0) (-2,0) ( 2,0) （7分）8、(2011怀柔一模) （本题满分6分）如图,已知二次函数y = x4x + 3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）抛物线y = x4x + 3交y轴于点C，（1）求线段BC所在直线的解析式.（2）又已知反比例函数与BC有两个交点且k为正整数，求的值.解：（1）（2）考查内容：答案：解：（1）令x4x + 3=0，=1，=3（2分）则A(1,0) B(3,0) C(0,3)BC所在直线为（3分）（2）反比例函数与BC有两个交点且k为正整数整理得：x3x + k=0（4分）=9-4k0 k（5分） 又因为反比例函数与BC的交点 所以k0，因为 k为正整数 所以k=1或k=2（6分）9、(2011怀柔一模) （本题满分5分）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图（1）现测得，当水面宽AB 1.6 m时，涵洞顶点O与水面的距离为2.4 mED离水面的高FC=1.5 m,求涵洞ED宽是多少？是否会超过1 m？（提示：设涵洞所成抛物线为）解：考查内容：答案：解：抛物线 点B在抛物线上,将B(0.8,2.4)它的坐标代人,求得 2分所求解析式为再由条件设D点坐标为3分则有： 4分0.5 5分21 所以涵洞不超过1m. 10、（2011年徐汇区诊断卷） （本题满分12分，第（1）、（2）题各6分）如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且ABE与ABC的面积之比为32（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且ABQ与ADF相似，直接写出点Q点的坐标考查内容: 答案：（1）ABE与ABC的面积之比为32，E（2，6），C（0，4），D（0，2）， 2分设直线AD的解析式为，由题意得，解得，直线AD的解析式为1分A（，0）. 1分抛物线经过A、C、E三点，得解得.所求抛物线的解析式为： 2分(2)当ABQ与CED相似时，由（1）有B（4，0），F（，0） 2分若ABQAFD，即，Q（，4） 2分若ABQADF， 即，Q（）2分11. （2011广州综合测试一）如图，已知抛物线与轴交于两点（在左边），抛物线经过点，顶点为（1）写出M点的坐标，并指出函数有最大值还是（第22题图）最小值？这个值是多少？（2）求的值；（3）以为直径画P，试判定点D与P的位置关系， 并证明答案：解：（1）函数有最小值是(2)把代入得：（3）结论：点在P上令，得：， 为P的直径P的半径过点作轴，垂足为点，则与P的半径相等点在P上12. （2011萝岗区综合测试一)如图1，抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图2），求与的面积。（3）当时，与的面积大小关系如何？为什么？（4）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，4）（2）当b0时，直线为，由解得， 所以B、C的坐标分别为B（2，2），C（2，2） ，（3）当时，由，解得， 所以B、C的坐标分别为：B（，+b），C（，+b）作轴，轴，垂足分别为F、G，则，而和是同底的两个三角形，所以（3）存在这样的b. 因为所以所以，即E为BC的中点所以当OE=CE时，为直角三角形所以 ，而所以，解得，所以当b4或2时，OBC为直角三角形. 13.（2011年天河区综合练习）如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标. （其中点E和点A，点C和点B分别是对应点）答案: （1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有 解得，于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t（舍去）所以点B的坐标为（，）因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以 解得 （2）如图，因为ACx轴，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.因为CODBOD，所以COB=.（i）将绕点O顺时针旋转，得到.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点. （ii）作关于x轴的对称图形，得到点（1，）；延长到点，使得，这时点E（2，）是符合条件的点所以，点的坐标是（8，），或（2，）. 思考：如果不写对应，是否还有点？14. （2011广州六校一摸）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，（1）选取合适的点作为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式；（2）求绳子的最低点距地面的距离.15.（2010海珠区调研）如图所示，已知一次函数的图像经过点, 二次函数的图像经过点A和点C，点C是二次函数图像上的最低点，并且满足（1）求一次函数的解析式；（2）求二次函数的解析式；（3）判断关于的方程是否有实数根，如有，求出它的实数根；如没有，请说明理由. 答案: 解：依题意得： DO 解得： 所以一次函数的解析式为 过点C作CD于D，则CDAO所以BCDBAO, 当时， 设二次函数的解析式为，顶点 把A(0,6)代入上式，解得 二次函数的解析式为 （3）关于的方程有实数根。一次函数的图像与二次函数的图像交于点A、点C，所以关于的方程的实数根为， 16. (2011增城市综合测试)如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.答案: 解：(1) 抛物线yx2bxc过点 A(4,0) B(1,3). ，对称轴为直线， 顶点坐标为 （2）点O与点A，点E与点P都关于直线对称，直线EPOA, OE=AP, 梯形OEPA为等腰梯形， OEP=APE, OE=OF, OEP=OFE,OFE=APE,OFAP, 四边形OAPF为平行四边形， 四边形OAPF的面积为20， ，. 17(2011浙江舟山市模拟)（本题10分）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话。小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克.小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元.小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系.（1）求y（千克）与x（元）（x0）的函数关系式；（2）当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润销售量（销售单价进价）】（3）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？【答案】(1)解当销售单价为13元/千克时，销售量为：（千克） 1分设y与x的函数关系式为：把（10，300），（13，150）分别代入得： 2分y与x的函数关系为：（不加取值范围不扣分） 1分(2)由题意得： 解得 2分（3）设每天水果的利润为w元，则 2分当时，随的增大而增大. 又水果每天的销售量均不低于225千克， 1分当时，=787.5(元) 1分 答：略B组19.二次函数的应用解答题1. (2011广东化州市中考模拟)本小题满分10分) 2011年在国家央行加息的压力下，某公司决定研制一种新型节能产品并加以销售，现准备在一线城市和二线城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场若只在一线城市销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为（元）（利润=销售额成本广告费）若只在二线城市销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10a40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为（元）（利润=销售额成本附加费）（1）当x=1000时，y= 元/件，w一线= 元；（2）分别求出，与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在一线城市销售的月利润最大？若在二线城市销售月利润的最大值与在一线城市销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在二线城市还是在一线城市销售才能使所获月利润较大？答案: （1）14057500； （2分）（2）w一线=x（y-20）-62500 = x2130 x，W二线 = x2（150）x （2分）（3）当x=6500时，w一线最大；由题意得 ， 解得a1=30，a2=270（不合题意，舍去）所以 a=30 （2分）（4）当x =5000时，w一线 = 337500， w二线=若w一线 w二线，则a32.5；若w一线 = w二线，则a=32.5；若w一线 w二线，则a32.5所以，当10a32.5时，选择在二线销售；当a=32.5时，在一线和二线销售都一样；当32.5a40时，选择在一线销售 （分）2.（2011河南三门峡模拟一）（本题10分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可会部租出；当每辆车的租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时.能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了100-12=88辆车. 3分 （2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：y=（100）（x150）50，整理得：y=+162x21000=+307050. 8分所以，当x=4050时，y最大，其最大值为307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 10分3（2011南京白下区模拟测试一）（8分）如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边（图中阴影部分）的宽度相同，都是x cm，相框内部的面积（指图中较小矩形的面积）为y cm2（1）写出y与x的函数关系式；（2）若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度解：（1）y(262x)(202x)4x292x520. 3分 （2）根据题意，得4x292x5202805分 解得x13，x220（不合题意，舍去）7分 答：相框边的宽度为3 cm8分4.(2010-2011学年两校联考综合测试)某商场试销一种成本为60元/件的恤，规定试销期间单价不低于成本单价经试销发现，销售量（件）与销售单价（元/件）符合一次函数，且时，；时， 求一次函数的表达式； 若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）（1）由已知得， 3分 解得5分一次函数的解析式为 6分 （2） 7分即利润与销售单价之间的关系式为： 9分=(x90)2900 10分当x90时，W最大=900 11分答：当销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元。 12分5.(2010-2011学年两校联考综合测试)有这样一道题：“已知二次函数y=ax2+bx+c图象过P(1，4)，且有c=3a，.求证：这个二次函数的图象必过定点A(1，0).”题目中“”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.(1) 你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由. (2) 请你根据已有信息，在原题“”处添上一个适当的条件： ，把原题补充完整. (1) 能 2分由题意得， 5分 解得 8分故二次函数的解析式为: 10分(2) 与y轴交点为（0，3） 12分6、(2011年浙江嵊州新昌中考数学模拟试题)某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日平均销售的关系如下：销售单价（元）66.577.588.59日平均销售量（瓶）480460440420400380360（1）若记销售单价比每瓶进价多元，则销售量为 (用含的代数式表示)；求日均毛利润（毛利润=售价进价固定成本）与之间的函数关系式. 答案（2）若要使日均毛利润达到1400元，则销售单价应定为多少元？答案（3）若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？答案解:（1） 2分日均毛利润 （） 2分（2）时，即 得 满足0x13 2分此时销售单价为10元或13元，日均毛利润达到1400元. 2分（3） 2分,当时,即销售单价定为11.5元, 日均毛利润达到最大值1490元. 7.（2011北京怀柔一模）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图（1）现测得，当水面宽AB 1.6 m时，涵洞顶点O与水面的距离为2.4 mED离水面的高FC=1.5 m,求涵洞ED宽是多少？是否会超过1 m？（提示：设涵洞所成抛物线为） 答案 解：抛物线 点B在抛物线上,将B(0.8,2.4)它的坐标代人,求得 2分所求解析式为再由条件设D点坐标为3分则有： 4分0