（浙江专版）2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.3 三角恒等变换学案.doc

4.3三角恒等变换考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171.和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.掌握4,5分18(2),7分18(文),约4分16(1),7分7,5分16(1)(文),7分11(文),6分16(1)(文),7分14,约3分2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换.掌握6,5分18(1),7分18(文),约4分16(2),7分10,6分16(2)(文),7分18,约7分分析解读1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2016浙江10题).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2019年高考试题中,三角恒等变换仍是考查重点,复习时应引起高度重视.五年高考考点一和与差的三角函数1.(2016课标全国,9,5分)若cos4-=35,则sin 2=() a.725b.15c.-15d.-725答案d2.(2015课标,2,5分)sin 20cos 10-cos 160sin 10=() a.-32b.32c.-12d.12答案d3.(2015重庆,9,5分)若tan =2tan5,则cos-310sin-5=()a.1b.2c.3d.4答案c4.(2017课标全国文,15,5分)已知0,2,tan =2,则cos-4=.答案310105.(2017江苏,5,5分)若tan-4=16,则tan =.答案756.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)=17,则tan 的值为.答案37.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是.答案628.(2014浙江文,18,14分)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知4sin2 a-b2+4sin asin b=2+2.(1)求角c的大小;(2)已知b=4,abc的面积为6,求边长c的值.解析(1)由已知得21-cos(a-b)+4sin asin b=2+2,化简得-2cos acos b+2sin asin b=2,故cos(a+b)=-22,所以a+b=34,从而c=4.(2)由sabc=12absin c=6,b=4,c=4,得a=32.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos c,得c=10.教师用书专用(911)9.(2013重庆,9,5分)4cos 50-tan 40=()a.2b.2+32c.3d.22-1答案c10.(2014江苏,15,14分)已知2,sin =55.(1)求sin4+的值;(2)求cos56-2的值.解析(1)因为2,sin =55,所以cos =-1-sin2=-255.故sin4+=sin4cos +cos4sin =22-255+2255=-1010.(2)由(1)知sin 2=2sin cos =255-255=-45,cos 2=1-2sin2=1-2552=35,所以cos56-2=cos56cos 2+sin56sin 2=-3235+12-45=-4+3310.11.(2013广东,16,12分)已知函数f(x)=2cosx-12,xr.(1)求f -6的值;(2)若cos =35,32,2,求f 2+3.解析(1)f-6=2cos-6-12=2cos-4=2cos 4=1.(2)f2+3=2cos2+3-12=2cos2+4=cos 2-sin 2.因为cos =35,32,2,所以sin =-45,所以sin 2=2sin cos =-2425,cos 2=cos2-sin2=-725,所以f2+3=cos 2-sin 2=-725-2425=1725.考点二简单的三角恒等变换1.(2013浙江,6,5分)已知r,sin +2cos =102,则tan 2=()a.43b.34c.-34d.-43答案c2.(2017课标全国文,4,5分)已知sin -cos =43,则sin 2=()a.-79b.-29c.29d.79答案a3.(2017山东文,4,5分)已知cos x=34,则cos 2x=()a.-14b.14c.-18d.18答案d4.(2014课标,8,5分)设0,2,0,2,且tan =1+sincos,则() a.3-=2b.3+=2c.2-=2d.2+=2答案c5.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=asin(x+)+b(a0),则a=,b=.答案2;16.(2016四川,11,5分)cos28-sin28=.答案227.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-12.(1)若02,且sin =22,求f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为02,sin =22,所以cos =22.所以f()=2222+22-12=12.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+4,所以t=22=.由2k-22x+42k+2,kz,得k-38xk+8,kz.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kz.解法二: f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+4.(1)因为02,sin =22,所以=4,从而f()=22sin2+4=22sin34=12.(2)t=22=.由2k-22x+42k+2,kz,得k-38xk+8,kz.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kz.教师用书专用(812)8.(2013四川,13,5分)设sin 2=-sin ,2,则tan 2的值是.答案39.(2013课标全国,15,5分)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =.答案-25510.(2013课标全国,15,5分)设为第二象限角,若tan+4=12,则sin +cos =.答案-10511.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时, f(x)取到最小值-23.12.(2013重庆,20,12分)在abc中,内角a,b,c的对边分别是a,b,c,且a2+b2+2ab=c2.(1)求c;(2)设cos acos b=325,cos(+a)cos(+b)cos2=25,求tan 的值.解析(1)因为a2+b2+2ab=c2,由余弦定理有cos c=a2+b2-c22ab=-2ab2ab=-22,故c=34.(2)由题意得(sinsina-coscosa)(sinsinb-coscosb)cos2=25,因此(tan sin a-cos a)(tan sin b-cos b)=25,tan2sin asin b-tan (sin acos b+cos asin b)+cos acos b=25,tan2sin asin b-tan sin(a+b)+cos acos b=25.因为c=34,所以a+b=4,所以cos(a+b)=22,因为cos(a+b)=cos acos b-sin asin b,即325-sin asin b=22,解得sin asin b=325-22=210.由得tan2-5tan +4=0,解得tan =1或tan =4.三年模拟a组20162018年模拟基础题组考点一和与差的三角函数 1.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,4)已知sin2=-45,cos2=35,则属于()a.第一象限角b.第二象限角c.第三象限角d.第四象限角答案c2.(2018浙江9+1高中联盟期中,12)设sin 2=sin ,(0,),则cos =,tan 2=.答案12;-33.(2017浙江“超级全能生”3月联考,15)已知sin(3-)=52sin2+(r),则cos-3=.答案13+1564.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,20)已知a=(2cos ,2sin ),b=(cos ,sin ),其中00)的最小正周期为2,当x=6时,有最大值4.(1)求a,b,的值;(2)若4x34,且fx+6=43,求fx2+6的值.解析(1) f(x)=acos x+bsin x=a2+b2sin(x+),其中sin =aa2+b2,cos =ba2+b2.由条件得2=2,=4,f(x)=acos 4x+bsin 4x,又x=6时,有最大值4,-12a+32b=a2+b2=4,解得a=-2,b=23.(7分)(2)由(1)得f(x)=23sin 4x-2cos 4x=4sin4x-6,则fx+6=4sin4x+2=43,cos 4x=13,4x34,cos 2x=-1+cos4x2=-63,fx2+6=4sin2x+2=4cos 2x=-463. (14分)8.(2017浙江杭州二模(4月),18)设函数f(x)=2cos x(cos x+3sin x)(xr).(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x0,2时,求函数f(x)的最大值.解析(1)f(x)=2cos x(cos x+3sin x)=2sin2x+6+1.函数y=f(x)的最小正周期为.令2k-22x+62k+2(kz),得k-3xk+6(kz),函数y=f(x)的单调递增区间为k-3,k+6(kz).(2)x0,2,2x+66,76,sin2x+6-12,1,函数f(x)的最大值是3.9.(2017浙江测试卷,18)已知函数f(x)=sin xsinx+6.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x0,2时,求f(x)的取值范围.解析(1)f(x)=32sin2x+12sin xcos x=34(1-cos 2x)+14sin 2x=12sin2x-3+34,函数f(x)的最小正周期为.(2)0x2,-32x-323,-32sin2x-31,012sin2x-3+3412+34,即f(x)的取值范围为0,12+34.b组20162018年模拟提升题组一、选择题 1.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),2)设r ,则“cos 2=-79”是“cos =13”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案b二、填空题2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),13)已知sin =cos +12,且0,2,则cos2sin-4的值为.答案-1423.(2017浙江名校协作体期初,11)已知函数f(x)=sin 2x(1-2sin2x)+1,则f(x)的最小正周期t=, f(t)=.答案2;1三、解答题4.(2018浙江9+1高中联盟期中,18)设函数f(x)=sin2x+6+sin2x-cos2x.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若角a满足f(a)=1,a=3,abc的面积为32,求b+c的值.解析(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6,令-2+2k2x-62+2k,kz,得-6+kx3+k,kz,所以f(x)的单调递增区间为-6+k,3+k,kz.(7分)(2)f(a)=sin2a-6=1,0a,-62a-6116,2a-6=2,解得a=3.abc的面积s=12bcsin a=32,bc=2.又b2+c2-2bccos3=3,化简得(b+c)2-3bc=3,则(b+c)2=9,b+c=3.(14分)5.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,18)已知f(x)=23cos2x+sin 2x-3+1(xr).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x-4,4时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin 2x+3(2cos2x-1)+1=sin 2x+3cos 2x+1=2sin2x+3+1.(4分)(1)令2k-22x+32k+2,kz,即2k-562x2k+6,kz,k-512xk+12(kz),函数f(x)的单调增区间为k-512,k+12(kz).(10分)(2)x-4,4,2x+3-6,56,sin2x+3-12,1,f(x)0,3.(14分)6.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),18)设函数f(x)=2sin xcos x-cos2x-6.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,上的单调递增区间.解析(1)f(x)=sin 2x-32cos2x+12sin2x(2分)=12sin 2x-32cos 2x=sin2x-3.(5分)故函数f(x)的最小正周期为.(7分)(2)由-2+2k2x-32+2k,kz,可得-12+kx512+k,kz,(10分)取k=0,则x-12,512,取k=1,则x1112,1712,(12分)又因为x0,所以f(x)的单调递增区间为0,512,1112,.(写开区间也对)(14分)7.(2016浙江第一次五校联考,16)已知函数f(x)=32sin 2x-cos2x-12(xr).(1)当x-12,512时,求函数f(x)的值域;(2)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且c=3, f(c)=0,若向量m=(1,sin a)与向量n=(2,sin b)共线,求a,b的值.解析(1)f(x)=32sin 2x-1+cos2x2-12=32sin 2x-12cos 2x-1=sin2x-6-1.(3分)-12x512,-32x-623,-32sin2x-61,从而-1-32sin2x-6-10.故函数f(x)的值域为-1-32,0.(7分)(2)由f(c)=sin2c-6-1=0,得sin2c-6=1,0c,-62c-6116,2c-6=2,解得c=3.向量m=(1,sin a)与向量n=(2,sin b)共线,sin b=2sin a,(9分)由正弦定理得b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos3,即a2+