函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案.doc

函数与方程【考纲说明】1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点（3）变号零点与不变号零点若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 代数法：函数的零点的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定有2个零点有两个不等实根； 有1个零点有两个相等实根；无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.3、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间,验证,给定精确度;求区间的中点;计算;()若,则就是函数的零点;() 若,则令(此时零点);() 若,则令(此时零点);判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复至步.【经典例题】【例1】（2012天津）函数在区间内的零点个数是 （ ）A、0 B、1C、2D、3【答案】B【解析】解法1：因为，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.解法2：设，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.【例2】（2010天津）函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是 ( )A、(2，1) B、(1,0) C、(0,1) D、(1,2)【答案】B【解析】f(1)213(1)0，f(1) f(0)0.f(x)2x3x的零点所在的一个区间为(1,0)【例3】（2009山东）若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例4】（2012辽宁）设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ）A、5 B、6 C、7 D、8【答案】B【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当时，当时，；当时，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B【例5】（2012湖北）函数在区间0,4上的零点个数为 （ ）A、4 B、5C、6 D、7【答案】C【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=k+,kZ，又x0,4，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解选C【例6】（2011陕西）函数在内 （ ）A、没有零点 B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点【答案】B【解析】解法一：数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；解法二：在上，所以；在，所以函数是增函数，又因为，所以在上有且只有一个零点【例7】（2011天津） 对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 ( )A、(，2B、(，2C、D、【答案】B【解析】f(x) 则f的图象如图yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，yf(x)与yc的图象恰有两个公共点，由图象知c2，或1c.【例8】已知函数=当2a3b4时，函数的零点 .【答案】5【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.【例9】求下列函数的零点：（1）；（2）.【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.【解析】（1）由故函数的零点是2，1，-1.（2）故函数的零点是2，-2.【例10】判断函数yx3x1在区间1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)【答案】1.312 5【解析】因为f(1)10，且函数yx3x1的图象是连续的曲线，所以它在区间1,1.5内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 50.1，所以函数的一个近似零点为1.312 5.【课堂练习】1、（2011课标）在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ） A、 B、 C、 D、2、（2010上海）若是方程的解，则属于区间 （ ）A、 B、 C、 D、3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、（2010天津）函数f=2+3x的零点所在的一个区间是 （ ）A（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2）5、（2010浙江）设函数f=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数f不存在零点的是 （ ） A、-4,-2 B、-2,0 C、0,2 D、2,46、（2011陕西）函数=-在0，内 （ ） A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点7、（2009福建）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（ ） A、 B、 C、 D、8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A、 B、 C、 D、9、（2009泉州）函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）A、B、C、D、(1,2)10、（2009厦门）有解的区域是 （ ）A、 B、 C、D、11、（2011湖北文）在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）A、 B、 C、 D、12、（2009合肥）函数的零点所在区间为 （ ）A、 B、 C、 D、13、设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间 （ ）A、 B、 C、 D、不能确定14、（2010浙江）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是 （ ）A、 B、 C、 D、15、（2010福建）函数， 零点个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、016、（2008惠州）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = 2f (1.5) = 0.625f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = 0.054那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.517、（2008湖北）方程的实数解的个数为 .18、已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。19、判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。20 、求函数的一个正数零点(精确度0.1)【课后作业】1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )2、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )A、0,1 B、1,2C、2，1 D、1,03、已知唯一的零点在区间、内，那么下面命题错误的 （ ）A、函数在或内有零点 B、函数在内无零点C、函数在内有零点 D、函数在内不一定有零点4、（2009莆田）若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、5、（2009沈阳）函数的零点所在的区间为 （ ）A、（1，0）B、（0，1）C、（1，2）D、（1，e）6、求函数零点的个数为 （ ）A、 B、 C、 D、7、如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、8、方程根的个数为 （ ）A、无穷多 B、 C、 D、9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，则方程的根在区间 ( )A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能确定10、(2009天津)设函数f(x)xlnx(x0)，则yf(x) ( )A、在区间，(1，e)内均有零点 B、在区间，(1，e)内均无零点C、在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D、在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点11、设函数，则函数 ( )A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点12、（2008全国） 用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点 ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )A、（0，0.5）， B、（0，1），C、（0.5，1）， D、（0，0.5），13、（2012天津理）函数在区间(0,1)内的零点个数是A、0 B、1 C、2 D、314、（2011山东）已知函数当是，函数的零点则n= .15、用二分法求函数在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_16、已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_17、函数的零点组成的集合是 .18、用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 19、函数的零点个数为 .20、证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)【参考答案】【课堂练习】1-16、CDCBA BACCB CCBABC17、218、解：设方程的两根分别为，则，所以由韦达定理得，即，所以19、解：因为，所以在区间上有零点又当时，所以在上单调递增函数，所以在上有且只有一个零点。20、解由于，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值(1,2)1.52.625(1.5,2)1.750.234 4(1.5,1.75)1.6251.302 7(1.625,1.75)1.687 50.561 8(1.687 5,1.75)1.718 750.170 7由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近似值【课后作业】1-13、BDCAB CCDAD AAB14、215、(2,3)16、 (0,1)17、18、19、220、证明设函数f(x)2x3x6，f(1)10，又f(x)是增函数，所以函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方