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函数零点存在的典型题 函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用。函数的零点即方程的根，也就是函数的图像与轴交点的横坐标。主要考查二次函数及其性质，一元二次方程，函数的应用，解不等式等基础知识，考查数形结合，分类与整合的思想方法，以及抽象概括能力，运算求解能力。二次函数的零点情况分如下几种情况：(1)在某个区间上有一个零点，(2)在某个区间上有两个零点，(3)在某个区间上有零点，但没说多少个，(4) 在某个区间上有一个零点，且此零点大于零。例题如下：例1. 若函数在内有一零点，求的取值范围。分析：把函数的零点问题转化为方程的根。此函数恰有一零点，即方程在内有一个根。可分为以下三种情况：(1)(2)(3)且根在内解：由题意得 令，因为最高次项系数是常数，所以首先要讨论最高次项系数为0的情况。(1)当时，解得,不在内，不符合题意(2)方程有两个根，且有一个根在内，即 (3)当方程有两个相等的根时，即，解得，解得，不在内。 综上所述，当函数在内有一零点时，例2已知是实数，函数如果函数在区间上有零点，求的取值范围。分析：函数在区间上有零点，分以下几种情况讨论，首先最高次项系数是常数要讨论常数时；下面，当时，就是二次函数，可分以下情况，有一个零点(即所对应的方程在给定区间上有一个根(在的情况下)或有两个重根)，或两个零点。解：由题意得若时，则函数，在区间上没有零点下面就时分三种情况讨论：(1)方程在区间上有重根，此时，解得当时，的重根当时，的重根当方程在区间上有重根时， (2)在区间上只有一个零点且不是的重根，此时有，即，解得，当时，方程在区间上有两个相异实根，当方程在区间上只有一个根且不是重根时，。 (3)方程在区间上有两个相异实根，其图像的对称轴方程为，应满足 或解不等式组 得 得 当方程在区间上有两个相异实根时，注意到当时，方程在区间上有根，当时，且，方程在上有根。综上所述，若函数在区间上有零点，则的取值范围是例3. 已知方程只有一个正根，且这个根小于1，求实数的取值范围。分析：最高次项系数是常数，首先要讨论的情况，此时要保证是正根且小于1。当时，二次方程只有一个正根(),且此根小于1，或有一正根(小于1)和一负根(或一零根)。解：由题意得(1)当时，解得，不合题意。(2)当时，显然不是方程的根题意中只有一个正根，可以分以下两种情况： 此方程组无解方程有两个根，其中即 所以，当时，方程只有一个正根，且这个根小于1。总之，对于函数零点问题，一定要把零点的分布情况分析全面(别忘常数为0的情况)，并且还
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