函数自变量取值范围的确定方法.doc

函数自变量取值范围的确定策略金山初级中学 庄士忠 201508函数是初中数学一个十分重要的内容，为保证函数式有意义或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。一、 函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数0；（4）函数关系式含0指数：底数0。典型例题：例1：函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】ABCD【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 。故在数轴上表示为：。故选D。例2：函数y= 中自变量x取值范围是【 】Ax=2 Bx2 Cx2 Dx2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。例3：函数中自变量x的取值范围是【 】Ax2 Bx2 Cx2 Dx2【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选A。例4：函数的图像在【 】象限 A.第一 B.第一、三 C.第二D.第二、四【分析】函数的定义域为，根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。典型例题：例1：某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量（注：总成本=每吨的成本生产数量）【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。（2）根据总成本=每吨的成本生产数量，利用（1）中所求得出即可。【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。y关于x的函数解析式为y=x+11（10x50）。（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。该产品的生产数量为40吨。例2：某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表：服装名称西服休闲服衬衣工时/件收入（百元）/件321设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。（1） 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。（2） 求y与x之间的函数关系式。（3） 每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【分析】（1）题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。（2）由（1）整理得：y=3603x。（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，解得30x120，从而根据一次函数的性质作答。【答案】解：（1）从件数方面：z=360xy， 从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=4802xy。（2）由（1）得360xy=4802xy，整理得：y=3603x。（3）由题意得总收入s=3x2yz=3x2（3603x）2x=x720由题意得，解得30x120。由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。例3：某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【分析】（1）设件数为x，则销售单价为300010（x10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价件数，及销售单价均不低于2600元，按0x10，10x50，x50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0x10时，y=（30002400）x=600x；当10x50时，y=300010（x10）2400x，即y=10x2+700x；当x50时，y=（26002400）x=200x。（3）由y=10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为300010（x10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。例4：某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值。【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（6050x）元，总销量为：（20010x）件，商品利润为：y=（6050x）（20010x）=10x2100x2000。原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，0x12。（2）y=10x2100x2000=10（x5）2+2250，当x=5时，最大月利润y=2250。答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。例5：市某生态示范村种植基地计划用90亩120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。（2）根据题意列出后求解即可。【答案】解：（1）由题意知：xy=36，（）。（2）根据题意得：，解得：x=0.3。经检验：x=0.3是原方程的根。1.5x=0.45。答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤。例6、小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证月收入不低于2000元？【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（10.5）x（0.50.2）（200x）即y=0.8x60，其中0x200且x为整数。（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x60）2000，解之求解即可。【答案】解：（1）y=（10.5）x（0.50.2）（200x）=0.8x60（0x200）。（2）根据题意得：30（0.8x60）2000，解得x。小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。三、几何问题中函数自变量的取值范围：几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围，如在三角形中“两边之和大于第三边”。典型例题：例1：将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为和.（1）求与的关系式，并写出的取值范围； （2）将两圆的面积和S表示成的函数关系式，求S的最小值【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长，再根据这两个圆周长之和等于16厘米列出关系式即可。（2）先由（1）可得r2=8r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值。【答案】解：（1）由题意，有2r1+2r2=16，则r1+r2=8。r10，r20，0r18。r1与r2的关系式为r1+r2=8，r1的取值范围是0r18厘米。（2）r1+r2=8，r2=8r1。，当r1=4厘米时，S有最小值32平方厘米。例2：如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ABCD四个顶点正好重合于上底面上一点）已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。【答案】解：（1）根据题意，正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6，V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x，S=4ah+a2= 。0x12，当x=8时，S取得最大值384cm2。例3：（2012上海市）如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域【答案】解：（1）点O是圆心，ODBC，BC=1，BD=BC=。 又OB=2，。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。D和E是中点，DE=。（3）BD=x，。1=2，3=4，AOB=900。2+3=45。过D作DFOE，垂足为点F。DF=OF=。由BODEDF，得，即，解得EF=x。OE=。例4：如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足PQO=60（1）点B的坐标是 ；CAO= 度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围【分析】（1）由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：四边形OABC是矩形，AB=OC，OA=BC，A（6，0）、C（0，2），点B的坐标为：（6，2）。由正切函数，即可求得CAO的度数：，CAO=30。由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PEOA于E，PQO=60，D（0，3），PE=3。OE=OAAE=63=3，点P的坐标为（3，3）。（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：情况：MN=AN=3，则AMN=MAN=30，MNO=60。PQO=60，即MQO=60，点N与Q重合。点P与D重合。此时m=0。情况，如图AM=AN，作MJx轴、PIx轴。MJ=MQsin60=AQsin600又，解得：m=3。情况AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PKOA于K，过点M作MGOA于G，MG=。KG=30.5=2.5，AG= AN=1.5。OK=2。m=2。综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3或m=2。（3）分别从当0x3时，当3x5时，当5x9时，当x9时去分析求解即可求得答案。【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。（2）存在。m=0或m=3或m=2。 （3）当0x3时，如图1，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线lBCOA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：当3x5时，如图2，当5x9时，如图3，当x9时，如图4，。综上所述，S与x的函数关系式为： 。例5：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。（2）直线lBC，可得出AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。 （3）首先用m列出AEC的面积表达式，AEC、AED的面积差即为CDE的面积，由此可得关于SCDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值。过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径，可根据相似三角形BEF、BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=9，C（0，9）；令y=0，即，解得：x1=3，x2=6，A（3，0）、B（6，0）。AB=9，OC=9。（2）EDBC，AEDABC，即：。s=m2（0m9）。（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2，SEDC=SAECSAED=m2+m=（m）2+。CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=ABAE=。又，过E作EFBC于F，则RtBEFRtBCO，得：，即：。以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 E=EF2=。例6、如图，在OABC中，点A在x轴上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm动点P从点O出发，以1cms的速度沿线段OAAB运动；动点Q同时从点O出发，以acms的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一