圆的位置关系知识点.doc

勤思苑补习社 与圆相关的位置关系知识点一、点与圆的位置关系：1、点P与O的位置关系:设O的半径为，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内注意：OP长是两个点之间距离，不是点到直线距离，P点到圆心距离与半径大小关系决定P点与圆的位置关系.2、过已知点画圆：（1）过已知一点画圆可画无数个圆圆心无规律可循；（2）过已知两点画圆可画无数个圆圆心在连接两点的线段垂直平分线上；（3）过不在同一直线上的三点画圆只可画一个圆圆心是连接两点的线段垂直平分线的交点.3、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.4、三角形的外心：三角形三条边垂直平分线的交点. （1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.（2）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是三角形的斜边中点(R=)钝角三角形的外心在三角形的外部，任何一个三角形都有唯一的外接圆，任何一个圆无数个内接三角形5、反证法定义：不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立； （2）推理得出矛盾； （3）得出结论. 反之成立.二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线与圆的位置关系：注意：（1）一个公共点表示的是有且仅有一个公共点（2）d必须是圆心到直线的距离。2、切线的判定和性质 （1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。3、切线长定理 （1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。4、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是ABC的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 （位置永远在三角形内部且到三角形各边距离相等）（1）直角三角形内切圆半径（其中a,b为直角边，c为斜边）（2）任意三角形内切圆半径r与面积s、周长l的关系（其中a,b,c为三边长）（3）等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2 5. 常见辅助线6、弦切角定理弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：BAC=ADC7、四条直线与圆圆外切四边形两组对边的和相等 【补充】 圆幂定理圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。3、割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PAPB=PCPD。三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的五种位置关系（用d表示圆心距，r1，r2表示两个圆的半径）注：圆心距是指两个圆心之间的距离，把两个圆心连接起来，很容易得出圆心距。（1）外离：若两圆没有交点，并且不存在包含关系。如图1，此时有：（公切线4条）（2）外切：两个圆从外面相切。如图2，此时有：（公切线3条）（3）相交：两个圆相交，有两个交点。如图3,此时有：（公切线2条）（4）内切：两个圆从里面相切。如图4，此时有：（公切线1条）（5）内含：一个圆完全在另一个圆里面，且没有交点。如图5，此时有：（公切线0条）注意：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 2. 在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。 3. 在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。 4. 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。当两圆内切时，连心线垂直于公切线。 当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。 5. 公切线是指两个圆公共