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好玩的数学趣味数学（1）一半问题知识要点：小朋友,你知道吗?一些物体分成同样多的两份，其中一份就是总数的一半。已知一半求总数，只要用一半数再加一半数就是总数。当出现连续几次一半，要仔细分辨，正确计算总数。 例1 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6个，爸爸买了多少个草莓？分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下6个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是6个。因而原来一共有6+6=12（个）。 所以，爸爸买了12个草莓。 例2 妈妈有14颗奶糖，分给小星和小丹各一半，他们各得多少颗糖？分析：根据题意，妈妈把14颗奶糖，分给小星和小丹各一半,说明小星和小丹分到的同样多,我们把14可以分成7和7,因此小星和小丹每人分到的都是7颗糖。 例3 妈妈分给小静8块巧克力，剩下的分给小英。小静分得的块数正好是小英的一半，分给小英几块巧克力？分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和小静一样多，小英的一半是8块巧克力，那么小英就有两个一半，即8+8=16（块）。 例4 一根铁丝长20米，对折以后，再对折，这时每折长几米？ 例分析：根据题意，把一根铁丝对折以后，也就是分成了两半，即把20分成10和10。这时绳长10米。再对折，即把10分成5和5。这时绳长也就是5米。 例5 一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个。篮里原来有几个苹果？分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3个，爸爸也就得3个，妈妈和爸爸一共6个。又因为小明拿走一半，妈妈和爸爸拿走另一半，说明妈妈和爸爸拿走的与小明拿走的一样多。所以小明拿走的是6个苹果，小明拿走的与妈妈和爸爸拿走的和起来就是篮里原来一共有的苹果，6+6=12（个），篮里原来有12个苹果。趣味数学（2）简单年龄问题知识要点：小朋友,你知道吗?今年你6岁,明年你几岁?妈妈今年30岁,比你大24岁, 明年妈妈比你大几岁呢?这些年龄问题在解答时要记住:每过一年,每人年龄都要长大一岁.今年妈妈比你大几岁,再过些年, 妈妈还是比你大几岁. 例1 夏华今年7岁,他比爸爸小28岁,去年他比爸爸小多少岁? 分析：根据题意，我们知道今年夏华比爸爸小28岁.那么去年, 夏华与爸爸同时减去一岁, 夏华仍然比爸爸小28岁. 例2 弟弟今年4岁,哥哥今年12岁,10年后,哥哥比弟弟大几岁? 分析：根据题意，今年哥哥12岁, 弟弟4岁,那么我们知道哥哥比弟弟大124=8(岁). 10年后,哥哥的岁数是1210=22岁. 10年后,弟弟的岁数是410=14岁.因此10年后,哥哥比弟弟大2214=8岁. 例3 小青说: “3年后,妈妈比我大25岁.”妈妈问: “5年前,你比妈妈小多少岁?” 分析：由上题我们知道，哥哥比弟弟大8岁, 10年后,哥哥还是比弟弟大8岁.由此我们可以这样想:既然3年后,妈妈比我大25岁,那么, 5年前, 妈妈仍然比我大25岁,也就是我比妈妈小25岁. 例4 小林今年6岁, 小红今年10岁, 当小林的年龄和小红今年的年龄一样大时, 小红几岁? 分析：我们知道，小林今年6岁, 要想使小林的年龄和小红今年的年龄一样大, 那么小林就要再过4年才能和小红一样大. 小林过4年,小红也要过4年,即长大4岁, 那么小红就是104=14岁. 例5 小芳今年5岁, 3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,李老师今年多少岁? 分析：我们知道，3年后,小芳幼儿园的李老师比小芳大20岁,那么3年前,小芳幼儿园的李老师还是比小芳大20岁,又因为小芳今年5岁, 李老师今年就是205=25岁.趣味数学（3）一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。典型例题例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1） （1） （2） （3） （4）分析 图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。例【2】 下面各图能否一笔画成？（1） （2） （3）分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C A D C。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。解 图（1）、（2）可以一笔画。 这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。 如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A开始或由B开始到B结束或到A结束。图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。解 图（1）的画法见下图。例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？AOBCD（1） 分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A）、（B）两个图形。这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。解 将图（1）分成图（A）、（B），则图（A）可由A-B-O-D-A-C-D一笔画成，图（B）由B-C一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。ABCD（1）AOBCD（A）BC（B）O小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数。一、 只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。二、 只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。三、 奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。趣味数学（4）火柴棒问题之一小朋友，火柴棒是我们家家都有的生活用品，用火柴棒做游戏简便易学。用火柴棒可以摆成下列数字和运算符号：12345678009= 大家喜欢这样的游戏吗？在这一讲里，我们要用火柴棒去探索变化无穷的数字世界，在有趣的游戏中，变得更聪明。典型例题例 1 下面是用火柴棒摆成的算式，但这个算式是不成立的。只要移动1根火柴棒，算式就成立了。你会移动吗？分析 在这个算式中，左边的计算结果是20，右边的结果多了20，我们可以让左边的两个加数的和减少10，让减数增加10，这样一共减少了10，等式就相等了。解法一 可以这样移动：解法二 也可以这样想：从左边拿出多的一个10放到右边：例 2 用4根火柴棒可以分别表示一些加减运算符号，然后把这4根火柴棒放到数字1至9中间去，使最终的计算结果等于100。分析 我们可以这样想：用4根火柴棒可以组成2个“”号、4个“”号，或者1个“”号、或者1个“”和2个“”号；再看结果100，它可能是和或者是差。经推理，只能用4个火柴棒组成1个“”和2个“”号，才能使结果等于100。解例 3 请在下面算式上再加上一根火柴棒，使它成立。分析 左边的结果是90，右边是96，相差6，将15改为16，结果就增加了6，正好相等。解 例 4 下面方格里的数字，都是用火柴棒组成的。请你移动其中的1根火柴，使每一横行和竖行里的数字相加的和都相等。分析 3个横行的数字和分别是10，16，10，3个竖行的数字和分别是8，18，10，相等的和上10，那么肯定要将第2行的前两个数字进行调整。、小结 用火柴棒拼成算式，要根据火柴棒组成的数的特点和算式的特点来做。我们可以根据算式中给出的数的特点，从火柴棒排成的数字拿走或添上火柴棒，变成另一个数，或改变一个运算符号，就可以使算式成立。趣味数学（5）火柴棒问题之二在上一讲我们学习了用火柴棒来摆数学算式，从中也发现了很多规律和乐趣，这讲我们又来学学用火柴棒来摆摆各种图形。如果拿掉或者移动火柴，就可以变成其他图形，非常有趣。我们一起来试一试。典型例题例1 用6根火柴，照右图摆成1个三角形。要把这个三角形变成六角形，只准移动4根火柴，应该怎样移动？分析 下图中三角形的每条边上有两根火柴棒，要将三角形变成六边形，每边上只能有1根火柴棒，所以应该这样移动：例2 请你只移动3根火柴把3个三角形变成5个三角形。分析 3个三角形用了9根火柴，要变成5个三角形，需要用到15根火柴，这样少了6根火柴。因此，变成的三角形中一定要使6根火柴重复使用。解 可以这样移动：例3 用24根火柴棒能组成右边的图形。拿掉几根火柴棒可以变成新的图形。（1）拿掉8根火柴，使它只留下2个正方形。1（2）拿掉6根火柴，使它只留下3个正方形。2例4 右图是由4个小正方形组成的正方形。现在要移动3根火柴，使它变成3个相等的正方形，应该怎样移动？分析 可以这样想：4个小正方形一共有12根火柴棒组成，要使它变成3个相等的正方形，那么每个正方形就应该有4根火柴棒组成，并且没有重复。解 见右图。小结 从给出的火柴棒组成的图形中拿掉几根火柴，变成新的图形。如果图形变少了，我们可以直接拿掉多余的几根火柴；如果图形增加了，我们要考虑让火柴重复使用，这样可以增加图形的个数。练习：1有3个正方形都是由8根火柴组成。现在只有把这3个正方形的位置变化一下，就可以多出4个小正方形。应该如何移动？2用9根火柴，怎样摆放，才能摆出6个正方形来？3下图是用18根火柴组成的6个相等的正方形，拿掉其中的2根火柴，使它留下4个同样的正方形。4下图是由15根火柴组成的图形。请你移动2根火柴，使它变成5个同样的正方形。解答：1 2。3 4。趣味数学（6）拼拼摆摆知识要点：用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减，会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。 例1 搭一个三角形要用3根火柴，你能用5根火柴搭出两个三角形吗？分析：搭一个三角形要用3根火柴，那么搭两个三角形要用6根火柴，现在只有5根火柴，少了一根，那么应把两个三角形搭在一起，如图： 例2 用12根火柴摆成一个田字形： （1） 拿去两根火柴棒，变成两个正方形；（2） 移动三根火柴棒，变成三个正方形。分析：（1）原来12根火柴棒，拿走两根后剩10根火柴棒，不可能拼成大小相同的两个正方形，只能是一大一小。只要保留外边的大正方形，拿去里面2根，使里面四个正方形变成1个就可以了。如图： （2）移动三根火柴棒，那么总根数仍然是12根，12根组成3个正方形，每个正方形4根火柴棒，只移动3根，原来就有一根不变，把另3根和它组成正方形即可。如图： 例3 下图是用 8 根火柴棒摆成的一条鱼，请你移动 3根火柴，使鱼头向右，应该怎样移动？分析：要把鱼头朝右，需要把左边的“鱼头”拆掉，变成“鱼尾”。如果简单的去掉“鱼头”的两根火柴，3根火柴不够用，因此必须保持一根火柴不变，可这样移动： 例4 用火柴棒搭成小猪图，你能移动火柴棒使猪头、猪尾正好换一个方向吗？你移动了几根火柴棒？ 分析：要把猪头朝右，需要把左边的“猪头”拆掉，变成“猪尾”。为了使火柴棒的根数最少，可移动猪头下面的一根，变成猪尾。 例5 左边是用6根火柴排成的金字塔，右边是用6根火柴排成的倒立的金字塔，能不能只移动2 根火柴棍，就把左边的金字塔变成右边的倒立的金安塔？分析：我们发现第二排是一样的，不同的是第一排和第三排，要想只移动2根，我们就把第一排两边的两根移到第三排去，如图： 趣味数学（7）算得快的奥妙 计算是数学的基础，在计算中，我们既要做到正确合理，还要做到快速、巧妙。这样不仅能节省时间，还能提高分析问题的能力，促进智力发展。首先，我们来学习加、减法中的一些简便运算的方法。 用简便方法计算下面各题：（1） 9898203；（2） 1302（308149）；（3） （4256+125+825）256。 可以这样想： 加减法简便运算的基本思路是“凑整”，即将能通过加减运算后得到整十、整百、整千的数，先运用性质计算它们的结果。（1） 98982039898102101 100010110101（2） 1308（308149） 1308308149 10001491149（3）（4256125825）256 （4256256）（125825） 4000950 4950 拍脑袋提醒: 遇到这类题目，我们首先应该想到的就是能否通过拆数、先算某个部分等加减运算方法来得到整十、整百、整千的数。 用简便方法计算下面各题： （1）999999999999999； （2）123456.-1992+1993。 可以这样想： (1) 在涉及所有数字都是9的计算中，常使用“添1 凑整法”。如将999看成（10001）去计算。这是小学数学中常用的一种计算技巧。 999999999999999 （101）（1001）（10001） （100001）（1000001） 101001000100001000005 1111105111105 （2）通过观察可以发现：这个算式的加号和减号是间隔出现。所以，我们可以将除1以外的所有数，每两个数分为一组，而每组的结果都是1。 123456.+1991-1992+1993 =1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+.+(1991-1990)+(1993-1992) =1+1996=997趣味数学（8）复杂年龄问题年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确解答这类题，首先要明白：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄方面的问题。典型例题例1 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈两人各多少岁？分析 5年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸爸、妈妈的年龄差是6岁，它是一个不变量。因此，爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁。这样原问题就归结为“已知爸爸、妈妈的年龄和是82岁，他们的年龄差是6岁，求两人各是几岁”的和差问题。解 爸爸年龄：（826）2=44（岁）妈妈年龄：446=38（岁）答：爸爸的年龄是44岁，妈妈的年龄是38岁。例2 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍？分析 无论小红多少岁时，妈妈的年龄都比小红大（357）岁。所以当妈妈的年龄是小红的3倍时，也就是妈妈年龄比小红大（31）倍时，妈妈仍比小红大（357）岁，这个差是不变的。由这个（357）岁的差和对应的这个（31）倍，就可以算出小红的年龄，即差倍问题中的差（倍数1）=较小数。解 妈妈现在比小红大的岁数：357=28（岁）妈妈年龄是小红的3倍时，比小红大的倍数是：31=2（倍）妈妈年龄是小红的3倍时，小红的年龄是：282=14（岁）答：小红14岁时，妈妈年龄正好是小红的3倍。例3 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁？分析 6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是7862=66（岁）。6年前母子年龄和是6662=54（岁）。又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄。解 母子今年年龄和：7862=66（岁）母子6年前年龄和：6662=54（岁）母亲6年前的年龄：54（51）5=45（岁）母亲今年的年龄：456=51（岁）答：母亲今年是51岁。例4 小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时，两个各是多少岁？分析 小强和小军的年龄差为139=4（岁），这是一个不变量。当两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差（4岁），这是一个不变量。当两人的年龄和是40岁时，小强比小军还是大4岁。如果从两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差（4岁）可，得到的就是两个小军的年龄，由此可求出小军的年龄。再由小军的年龄求出小强的年龄。解法一 小强比小军大的年龄：139=4（岁） 当两人的年龄和是40岁时，小军年龄的2倍是： 404=36（岁） 当两人的年龄和是40岁时，小军的年龄是： 362=18（岁） 小强的年龄是： 4018=22（岁）解法二 如果给两人的年龄和40岁再加上两人的年龄差4岁，将得到小强年龄的2倍，由此可以求出小强的年龄以及小军的年龄。小强和小军的年龄差：139=4（岁）小强年龄的2倍：404=44（岁）当两人的年龄是40岁时，小强的年龄：442=22（岁）当两人的年龄和是40岁时，小军的年龄：4022=18（岁）答：小强、小军的年龄分别是22岁、18岁。例5 甲、乙两人的年龄和正好是100岁。当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？分析 由“乙的年龄正好是甲年龄的一半”可知：甲、乙两人的年龄如下图所示：乙甲 再结合“当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出，甲的年龄要和乙现在的年龄相等，甲要减少几岁，乙要增加相同的岁数，且这个年龄相当于乙的1倍，这样甲、乙两人的年龄关系为：乙甲1倍1倍1倍2倍100岁从上图可以看出：现在乙的年龄如果有2份，甲的年龄就有这样的3份，甲、乙两人的年龄共有221=5（份）。5份对应着两人的年龄和100岁。这样就很容易求出甲、乙两人各自的年龄。解 甲、乙两人年龄的份数和是多少？221=5（份）每份是多少？1005=20（岁）乙的年龄是多少岁？202=40（岁）甲的年龄是多少岁？20（21）=60（岁）综合算式是：100（221）2=40（岁） 100（221）（21）=60（岁）答：甲今年60岁，乙今年40岁。小结 年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住“差不变”这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件解答这类应用题。解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄=大小年龄差倍数差-小年龄几年前年龄=小年龄大小年龄差倍数差趣味数学（9）新定义运算小朋友们，你们见过除了、这些运算符号之外的其他运算符号吗？在这一讲里，我们会一起来看看很多有趣的运算符号。定义新运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的，与、是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的、运算问题。典型例题 例【1】 若A*B表示（A3B）（AB），求5*7的值。分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A3B的结果，再计算AB的结果，最后两个结果求乘积。解 由A*B（A3B）（AB）可知：5*7（537）（57） （521）12 2612 312例【2】 定义新运算为ab（a1）b，求的值。6（34）分析 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。解 由ab（a1）b得，34（31）4441；6（34）61（61）17例【3】 对于数a、b、c、d，规定，2abcd，已知7，求x的值。分析 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。解 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2135x1x，又根据已知7，故1x7，x6。例【4】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“”为选择两数中较小数的运算。计算下式：（73）& 5 5（3 & 7） 分析 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。解 （76）& 5 5（3 & 9） 6 & 5 59 6530例【5】 如果12111 23222222 343333333333333计算：（32）5。分析 通过观察发现：ab中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。解 （53）5。（555555）53075小结 解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来、运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是同学们对问题的理解及适应能力。趣味数学（10）合理分组知识要点：小朋友们已学习了加、减运算。有些题目，已经列好算式，要求你把所给的几个数合理分组，填入式子中，使等式成立。解这类题目，小朋友要仔细观察，找出题中的规律，并能大胆进行尝试。 例1 把2、3、4、5分别填入中，（每个数只能用一次）： =分析：根据2+5=3+4，可以有以下几种填法：2+5-3=4； 3+4-5=2；2+5-4=3； 3+4-2=5； 5+2-3=4； 4+3-5=2； 5+2-4=3； 4+3-2=5. 例2 把2、6、7、8、9和14分别填入括号中，（每个数只能用一次），使两个算式都成立：（ ）+ （ ）=（ ）；（ ）（ ）=（ ）.分析：通过观察，发现2、6、7、8、9和14这六个数可以分成下面两组:第一组:2、7、9；第二组:6、8、14 .每一组中,最大的数等于其余两个数的和,因此, 根据加、减法之间的关系，有以下4种填法：（ 2 ）+ （ 7 ）=（ 9 ）；（14 ）（ 6 ）=（ 8 ）.（ 7 ）+ （ 2 ）=（ 9 ）；（14 ）（ 8 ）=（ 6 ）.（ 6 ）+ （ 8 ）=（14 ）；（ 9 ）（ 2 ）=（ 7 ）.（ 8 ）+ （ 6 ）=（14 ）；（ 9 ）（ 7 ）=（ 2 ） 例3 在1、2、3、4、5之间添上加号（相邻的两个数字可以组成一个数），使他们的和等于60。分析：我们发现要想得到60，这里最大的两个数是4、5，合起来是45，再添上15等于60，剩下1、2、3之间只有123=15，因此答案是：12345=60。356111812247910 例4 请你把下面钟面用两条直线分成三份，使每份数相加的和都相等： 356111812247910分析：我们发现钟面上1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12排列有规律：1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7。这12个数可以分成下面三组:第一组:1、2、11、12；第二组:3、4、9、10 ；第三组:5、6、7、8 。 例5 把0、1、2、3、7、8、9分别填入中，使算式成立： =分析：通过观察，发现要想得到一个两位数，有可能是12、13、17、18、19。0、1、2、3、7、8、9这7个数中，要想两数相加得13、18、19不可能，那么只剩下93=12，89=17。如果93=12，剩下0、7、8不可能组成一个两位数减一位数等于12的算式。如果89=17，剩下0、2、3刚好组成203=17。因此：89=203=17。趣味数学（11）植树问题小军家住在5楼，每上1层楼梯要1分钟。他从1楼走到5楼要用几分钟呢？如果你的答案是5分钟就错了，正确的答案应该是3分钟，为什么？这就是我们这一讲所要解决的问题间隔、分段问题，具体来说包括有楼梯问题、植树问题等等。典型例题例1 把1根木头锯断，要2分钟。把这根木头锯成4段，要几分钟？分析 这样想：把1根木头锯断，也就是锯1次要用2分钟。而把这根木头锯成4段，需要锯几次？只要锯3次，也就是需要3个2分钟。解 2（41）=6（分）答：锯成4段，需要6分钟。例2 某人到一座高层楼的8楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从1楼走到4楼用了48秒。用同样的速度走到8楼，还要多长时间？1234567848秒分析 可以先求出上1层楼梯要多少秒，从图中知道，48秒上了3层楼梯，上1层楼梯用的时间是48（41）=16（秒）。再求出从4楼到8楼用的时间，从图中也可以知道，要上4层楼梯，也就是4个16秒。解 48（41）=16（秒）16（84）=64（秒）答：还要64秒。例3 时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么6电钟敲6下，几秒钟敲完？第1下第下第下第下第下第下秒分析 时钟敲下，经过了个时间间隔，每个时间间隔是（）（秒）。解（）（秒） （）（秒）答：秒敲完。例同学们上体育课，有个男生排成一排，相临两个男生相隔米。问这排男生排列的长度有多少米？分析个男生排成一排，有几个间隔？和前面一样，应有个间隔，也就是个米。解（）（米）答：这排男生排列的长度排有米。米米例有一条路长米。在路的一侧从头到尾每隔米栽一棵树。共栽多少棵树？分析以米为一段，米可以分成段。由于头尾都栽，所以栽的棵树比分成的段数多。解（棵）答：共栽棵树。例一个圆形的花坛，周长是米。每隔米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？分析 1. 花坛的一周以6米为一段，可以分成1806=30（段）。由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数=棵树，也就是种30棵芍药花。2每两棵芍药花之间种两棵月季花，也就是每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵。解 芍药花的棵树：1806=30（棵）月季花的棵树：230=60（棵）答：可以栽30棵芍药花、60棵月季花。小结 解上楼梯问题就是考虑有几个间隔（或几次），解植树问题就是考虑有几段。一、 锯木头的时间、排队伍的长度、时钟敲的时间等，实际上都是上楼梯问题，就是台阶总数=每层楼梯的台阶数（所达到的层数起点的层数）。二、 解植树问题就要弄清有几段。如：100米的长度，每10米载一棵树，就分成10段。如果排成一排，栽的棵树=段数1，即100101=11（棵）。如果围城圆形，栽的棵树=段数，即10010=10（棵）。趣味数学（12）数图形晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。小小一看，立即回答：“窗户上一共有6个正方形。”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。典型例题例【1】 下图中有多少条线段？分析 我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE 4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE 3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE 2条；由4条基本线段构成的线段有AE 1条。另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE 4条；以B为左端点的线段有BC、BD、BE 3条；以C为左端点的线段有CD、CE 2条；以D为左端点的线段有DE 1条。解 432110（条）所以图中有10条线段。例【2】 下面图形中有几个角？分析 我们把图中的 AOB、 BOC、 COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有 AOB、 BOC、 COD 3个；由2个基本角构成的角有 AOC、 BOD 2个；由3个基本角构成的角有 AOD 1个。我们也可以从角的两条边出发来数：以OA为一边的角有 AOB、 AOC、 AOD 3个；以OB为一边的角有 BOC、 BOD 2个；以OC为一边的角有 COD 1个。解 3216（个）所以图中有6个角。例【3】 下图中共有多少个三角形？分析 我们把图中 ABC、 ACD、 ADE看作基本三角形，那么：由1个基本三角形构成的三角形有 ABC、 ACD、 ADE；由2个基本三角形构成的三角形有 ABD、 ACE；由3个基本三角形构成的三角形有 ABE。解 3216（个）所以图中有6个三角形。例【4】 下图中有多少个正方形？分析 我们把最短的一条线段如AB看作基本线段，那么：边长为1条基本线段的正方形有9个；边长为2条基本线段的正方形有4个；边长为3条基本线段的正方形有1个。解 94114（个）所以图中有14个正方形。例【5】 数一数图中共有多少个三角形？分析 我们可以将图形分成上面三个部分来数：在图1中，一共有5432115（个）三角形；在图2中，一共有5432115（个）三角形；在图3中，一共有5个三角形。解 1515535（个）所以图中一共有35个三角形。小结 要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：（1） 弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个。（2） 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少。（3） 有些图形被分成乐几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和。趣味数学（13）图形分与合把一个几何图形按照某种要求分成几何图形，就叫做图形的分割。反过来，按照一定的要也可以把几个图形拼成一个完整的图形，就叫做图形的拼合，在日常生活和生产实际中，经常会碰到一些图形分割或拼合的问题。当你感到分割或拼合图形有困难时，请记住：最好的方法是动画一画，剪一剪，拼一拼。典型例题例1 把一个正方形分成形状，大小相等的4份，该怎样分呢？分析 把一个图平均分，首先要考虑找到这个图形的对称轴。另外，还要考虑把图形分成形状，大小相同的不规则图形，而这些不规则的部分又要恰好能拼合为原图。 解 例2 如下图，把一块地分给4个小组种植，形状大小要相同（每一块有相同的点数），怎么分？ 分析 图中共有20个点子，把它分成形状大小相同的4块时，每块应有5个点子。每一竖行最多有4个点子，而最右端的4个点子又是呈正方形排列的，因此，可以想到选择含有4个呈正方形点子，另加1个点子的图形作为单位进行分割。解 例3 下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？怎样拼？分析 这副拼板共有25个小正方形，如果能拼成一个大正方形，那么这个大正方形每边就有5个小正方形。根据图形的凹凸情况，可以考虑把和拼在一起；再根据凹凸情况，依次拼上、。解 例4 从上面6块图形中选用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块吗？请你用虚线表示出拼的方法，并标上所选图形的编号。分析 在给出的6块图形中，先找到哪两块图形可以拼成三角形、梯形，哪三块可以拼成三角形、梯形、平行四边形、正方形，再结合要拼成图形的形状、大小来选取小图形拼合。 解例5 你能把一个等边三角形分成大小、形状都相等的3个、4个、6个、8个、9个、12个三角形吗？请用虚线将分法表示出来。分析 等边三角形是一个轴对称的图形，它的3条边都相等，因此只要连接每边中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形。 解 分法见下图(分法不唯一) 小结 无论是图形的分割还是拼合，都要结合所提供图形的特点来思考。根据要求可以找出图形的对称点、对称轴等等，分割或拼合之后，检验整体与部分的联系，看是否符合要求。同时，在进行图形分割和拼合过程中，要学会动手剪剪、拼拼、画画、分分、动脑筋想想。趣味数学（14）格点与面积在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。典型例题例1 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。它们的面积分别是多少？FCBEFDA （1） （2） （3） （4）分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。解 图（1）是正方形，边长是2，它的面积是22=4。图（2）是长方形，长是4，宽是2，它的面积是42=8。图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边，使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是32=6。图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。三角形ABC的面积是长方形AFB