（全国通用）高考数学一轮复习 第七章 立体几何单元综合检测（七）理.doc

单元综合检测(七)一、选择题(每小题5分,共50分)1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()a.圆柱b.圆锥c.四面体d.三棱柱1.a【解析】因为无论怎么放置,圆柱的三视图都不可能是三角形,而圆锥、四面体和三棱柱的正视图都可能是三角形.2.(2015金华十校模拟)若三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()a.80b.40c.d.2.d【解析】由三视图可得该三棱锥的底面是以4和5为直角边的直角三角形,则底面积为45=10.有一个侧面垂直于底面,该侧面上的高(即三棱锥的高)为4,所以该三棱锥的体积为104=.3.(2015武汉调研)已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()a.若,则b.若mn,m,n,则c.若mn,m,则nd.若mn,m,n,则3.d【解析】若,则,可能平行或相交,a错误;若mn,m,n,则,可能平行或相交,b错误;若mn,m,则n或n,c错误;若mn,m,则n,又n,则,d正确.4.(2015北京西城区期末考试)一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是()a.最长棱的棱长为b.最长棱的棱长为3c.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形d.侧面四个三角形都是直角三角形4.d【解析】由三视图可得该三棱锥的底面是上、下底分别为1和2,与底垂直的腰为1,另一腰为的直角梯形,有一条长度为2的侧棱垂直于底面,所以最长的棱长为2,排除a和b;侧面四个三角形都是直角三角形,排除c,故选择d.5.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧(左)视图和俯视图,则该三棱锥的正(主)视图可能是()5.a【解析】由题意可得该几何体是三棱锥,如图,底面是直角边为3和6的直角三角形,该三棱锥的高为3,所以其正(主)视图是a.6.(2015甘肃一诊)直三棱柱abc-a1b1c1的顶点在同一个球面上,ab=3,ac=4,aa1=2,bac=90,则球的表面积为()a.b.c.49d.6.c【解析】取bc,b1c1的中点分别是d,d1,则由三棱柱的性质可得其外接球的球心o在dd1的中点,设外接球的半径为r,则r2=|ad|2+|do|2=,故此球的表面积为4r2=49.7.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()a.l1l4b.l1l4c.l1与l4既不垂直也不平行d.l1与l4的位置关系不确定7.d【解析】如图所示的正方体abcd-abcd中,令l1为aa,l2为bc,当l3为cc时, l1l4,则选项a成立,当l3为cd时,则l4可以为对角线bc或bb或bc,l1与l4是异面直线或平行或垂直,所以l1与l4位置关系不确定.8.(2015衢州质检)如图abc是等腰直角三角形,其中a=90,且dbbc,bcd=30,现将abc沿边bc折起,使得二面角a-bc-d大小为30,则异面直线bc与ad所成的角为()a.30b.45c.60d.908.a【解析】过点d作debc,过点c作cebd,则ade为异面直线bc和ad所成角.取bc,de的中点分别是f,g,连接af,gf,ag,则由题意可得afbc,gfbc,所以afg是二面角a-bc-d的平面角,则afg=30,bc平面afg,则dg平面afg,所以dgag.不妨设bd=1,则bc=de=,ab=ac=,af=,fg=1,在afg中,由余弦定理可得ag2=+1-21,ag=,在直角三角形adg中,dg=,所以tan adg=,则adg=30,即异面直线bc和ad所成角为30.9.已知三棱锥s-abc的所有顶点都在球o的球面上,abc是边长为1的正三角形,sc为球o的直径,且sc=2,则此棱锥的体积为()a.b.c.d.9.a【解析】设e为abc的重心,连接oa,ob,oe.三棱锥s-abc内接于球o,ob=oc=oa=1,又abc为等边三角形,oe平面abc,三棱锥的高h=2oe.ab=ac=bc=1,e为abc的重心,连接ce,ce=,oe=,h=,vs-abc=sabch=11.10.长方体abcd-a1b1c1d1的底面是边长为a的正方形,若在侧棱aa1上至少存在一点e,使得c1eb=90,则侧棱aa1的长的最小值为()a.ab.2ac.3ad.4a10.b【解析】设aa1=h,ae=x,a1e=h-x,x0,h,则be2=a2+x2,c1e2=(a)2+(h-x)2,b=a2+h2,又c1eb=90,所以be2+c1e2=b,a2+x2+(a)2+(h-x)2=a2+h2,即关于x的方程x2-hx+a2=0,x0,h有解,所以h=+x2a,即侧棱aa1的最小值为2a.二、填空题(每小题5分,共20分)11.(2015淮北二模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为.11.8+2【解析】由三视图可得该几何体是侧放的直三棱柱,该三棱柱的底面是以1和2为直角边的直角三角形,侧棱长2,故侧面积为2(1+2+)=6+2,表面积为212+6+2=8+2.12.设p,q为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线pq旋转(02)角后能与自身重合,那么符合条件的直线pq有条.12.13【解析】当p,q是相对两个正方体的中心时,此正方体绕着直线pq旋转90即可与自身重合,这样的直线pq有3条;当p,q是正方体的体对角线时,此正方体绕着直线pq旋转可与自身重合,这样的直线pq有4条;当p,q是对棱两边的中点时,此正方体绕着直线pq旋转180即可与自身重合,这样的直线pq有6条,所以符合条件的直线pq有3+4+6=13条.13.如图,在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,e为bc的中点,点p在线段d1e上,点p到直线cc1的距离的最小值为.13.【解析】取b1c1的中点e1,连接ee1,d1e1,作phd1e1,垂足为h,连接c1h,则 phcc1.过点p作pp1c1h交cc1于点p1,则四边形pp1c1h为矩形,故点p到线段cc1的距离为c1h,当点p在线段d1e上运动时,h在d1e1上运动,故当d1e1c1h时c1h最小,所以所求最小值为c1d1e1以d1e1为底边上的高,又d1e1=,d1e1c1h=d1c1c1e1,可求得c1h=.14.(2015太原一模)已知在直角梯形abcd中,abad,cdad,ab=2ad=2cd=2,将直角梯形abcd沿ac折叠成三棱锥d-abc,当三棱锥d-abc的体积取最大值时,其外接球的体积为.14.【解析】当三棱锥d-abc的体积最大时,平面dac平面abc,bcac,所以bc平面acd.在直角bcd中,直角边bc=,cd=1,则bd=.又ad=1,ab=2,所以adbd,所以该三棱锥的外接球的球心在ab的中点,即外接球的直径2r=2,体积为r3=.三、解答题(共50分)15.(12分)(2016惠州调研)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,ab=ac=aa1=bc1=2,aa1c1=60,平面abc1平面aa1c1c,ac1与a1c相交于点d.(1)求证:bd平面aa1c1c;(2)求二面角c1-ab-c的余弦值.15.【解析】(1)由题意可知侧面aa1c1c是菱形,d是ac1的中点,因为ba=bc1,所以bdac1,又平面abc1平面aa1c1c,且bd平面abc1,平面abc1平面aa1c1c=ac1,所以bd平面aa1c1c.(2)由(1)知bd平面aa1c1c,cd平面aa1c1c,所以cdbd,又cdac1,ac1bd=d,所以cd平面abc1,过d作dhab,垂足为h,连接ch,则chab,所以dhc为二面角c1-ab-c的平面角.在rtdab中,ad=1,bd=,ab=2,又dc=,所以dh=,ch=,所以cos dhc=,即二面角c1-ab-c的余弦值是.16.(13分)如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,a1a底面abcd,bad=90,adbc,且a1a=ab=ad=2bc=2,点e在棱ab上,平面a1ec与棱c1d1相交于点f.(1)证明:a1f平面b1ce;(2)若e为棱ab的中点,求二面角a1-ec-d的余弦值;(3)求三棱锥b1-a1ef的体积的最大值.16.【解析】(1)因为abcd-a1b1c1d1是棱柱,所以平面abcd平面a1b1c1d1.又因为平面abcd平面a1ecf=ec,平面a1b1c1d1平面a1ecf=a1f,所以a1fec.又因为a1f平面b1ce,ec平面b1ce,所以a1f平面b1ce.(2)因为aa1底面abcd,bad=90,所以直线aa1,ab,ad两两垂直,以a为原点,以直线ab,ad,aa1分别为x轴,y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系.则a1(0,0,2),e(1,0,0),c(2,1,0),所以=(1,0,-2), =(2,1,-2).设平面a1ecf的法向量为m=(x,y,z),由m=0,m=0,得令z=1,得m=(2,-2,1).又因为平面dec的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos=,由图可知,二面角a1-ec-d的平面角为锐角,所以二面角a1-ec-d的余弦值为.(3)过点f作fma1b1于点m,因为平面a1abb1平面a1b1c1d1,fm平面a1b1c1d1,所以fm平面a1abb1,所以fm=fm=fm.因为当点f与点d1重合时,fm取到最大值2,所以当点f与点d1重合时,三棱锥b1-a1ef的体积的最大值为.17.(12分)(2015广东六校联考)如图,将长为4,宽为1的长方形折叠成长方体abcd-a1b1c1d1的四个侧面,记底面上一边ab=t(0t2),连接a1b,a1c,a1d.(1)当长方体abcd-a1b1c1d1的体积最大时,求二面角b-a1c-d的值;(2)线段a1c上是否存在一点p,使得a1c平面bpd,若有,求出p点的位置,没有请说明理由.17.【解析】(1)根据题意可知,直线aa1,ab,ad两两垂直,以直线ab为x轴,直线ad为y轴,直线aa1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.长方体体积为v=t(2-t)1=t(2-t)=1.当且仅当t=2-t,即t=1时体积v有最大值为1.所以当长方体abcd-a1b1c1d1的体积最大时,底面四边形abcd为正方形,则a1(0,0,1),b(1,0,0),c(1,1,0), =(1,0,-1), =(0,1,0),设平面a1bc的法向量为m=(x,y,z),由取x=z=1,得m=(1,0,1),同理可得平面a1cd的一个法向量为n=(0,1,1),所以cos=,又二面角b-a1c-d为钝角,故二面角的值是120.(2)根据题意有a1(0,0,1),b(t,0,0),c(t,2-t,0),d(0,2-t,0), =(t,2-t,-1),若线段a1c上存在一点p满足要求,不妨设=,可得p(t,(2-t),1-),所以=(t-t,(2-t),1-), =(-t,2-t,0).又因为解得t=1,=,所以只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点p,位置是线段a1c上,a1ppc=21处.18.(13分)如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧棱a1a底面abcd,abdc,abad,ad=cd=1,aa1=ab=2,e为棱aa1的中点.(1)证明b1c1ce;(2)求二面角b1-ce-c1的正弦值;(3)设点m在线段c1e上,且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为,求线段am的长.18.【解析】方法一:如图,以点a为原点建立空间直角坐标系,依题意得a(0,0,0),b(0,0,2),c(1,0,1),b1(0,2,2),c1(1,2,1),e(0,1,0).(1)易得=(1,0,-1), =(-1,1,-1),于是=0,所以b1c1ce.(2) =(1,-2,-1).设平面b1ce的法向量m=(x,y,z),则消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1),b1c1ce,又cc1b1c1,可得b1c1平面cec1,故=(1,0,-1)为平面cec1的一个法向量.于是cos=-,从而sin=.所以二面角b1-ce-c1的正弦值为.(3) =(0,1,0), =(1,1,1).设=(,),01,有=(,+1,),可取=(0,0,2)为平面add1a1的一个法向量.设为直线am与平面add1a1所成的角,则sin =|cos|= .于是,解得=,所以am=.方法二:(1)因为侧棱cc1底面a1b1c1d1,b1c1平面a1b1c1d1,所以cc1b1c1.经计算可得b1e=,b1c1=,ec1=,从而b1e2=b1+e,所以在b1ec1中,b1c1c1e,又cc1,c1e平面cc1e,cc1c1e=c1,所以b1c1平面cc1e,又ce平面cc1e,故b1c1ce.(2)过b1作b1gce于点g,连接c1g.由(1),b1c1ce,故ce平面b1c1g,得cec1g,所以b1gc1为二面角b1-ce-c1的平面角.