二次函数压轴题专题.doc

二次函数压轴题专题26. （2014益阳，第20题，10分）如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长（第3题图）考点：二次函数综合题分析：（1）先求出直线y=3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF与RtBQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，则四边形AMCN为正方形，在RtAFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长解答：解：（1）直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，A（1，0），B（0，3）又抛物线抛物线y=a（x2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），解得，故a，k的值分别为1，1；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在RtBQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q点的坐标为（2，2）；（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线又对称轴x=2是AC的中垂线，M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN=，即正方形的边长为34.（2014德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；（3）据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标解答：解：（1）由A（4，0），可知OA=4，OA=OC=4OB，OA=OC=4，OB=1，C（0，4），B（1，0）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+x，则，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2+3x+4；（2）存在第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1AC，交抛物线于点P1过点P1作y轴的垂线，垂足是MACP1=90，MCP1+ACO=90ACO+OAC=90，MCP1=OACOA=OC，MCP1=OAC=45，MCP1=MP1C，MC=MP1，设P（m，m2+3m+4），则m=m2+3m+44，解得：m1=0（舍去），m2=2m2+3m+4=6，即P（2，6）第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点FP2Nx轴，由CAO=45，OAP=45，FP2N=45，AO=OFP2N=NF，设P2（n，n2+3n+4），则n=（n2+3n+4）1，解得：n1=2，n2=4（舍去），n2+3n+4=6，则P2的坐标是（2，6）综上所述，P的坐标是（2，6）或（2，6）；（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF根据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短由（1）可知，在直角AOC中，OC=OA=4，则AC=4，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点又DFOC，DF=OC=2，点P的纵坐标是2则x2+3x+1=2，解得：x=，当EF最短时，点P的坐标是：（，0）或（，0）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标解：（1）由题设可知A（0，1），B（3，），根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设N（x，x2x+1），则M、P点的坐标分别是（x，x+1），（x，0）MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，则当x=时，MN的最大值为；（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BCMN，即MN=BC，且BC=MC，即x2x=，且（x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故当N（1，4）时，MN和NC互相垂直平分16（2014四川广安,第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（4，0），B（1，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DFx轴于点H，交QC于点F请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析如答图21，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；本问为存在型问题如答图22，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标解答：解：（1）把点A（4，0）、B（1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x+3（2）如答图21，过点D作DHx轴于点HSODAE=6，OA=4，SAOD=OADH=3，DH=因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，x2+x+3=，解得：x1=2，x2=3点D坐标为（2，）或（3，）当点D为（2，）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为（3，）时，ODAD，平行四边形ODAE不为菱形假设存在如答图22，过点D作DMCQ于M，过点C作CNDF于N，则DM：CN=：2设D（m， m2+m+3）（m0），则F（m， m+3）CN=m，NF=mCF=mDMF=CNF=90，DFM=CFN，DMFCNF，DF=CF=mDN=NF+DF=mm=m又DN=3（m2+m+3）=m2m，m2m=m解得：m=或m=0（舍去）m2+m+3=D（，）综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（，）20（2014重庆A,第25题12分）如图，抛物线y=x22x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）若FG=2DQ，求点F的坐标解答：解：（1）由抛物线y=x22x+3可知，C（0，3），令y=0，则0=x22x+3，解得x=3或x=1，A（3，0），B（1，0）（2）由抛物线y=x22x+3可知，对称轴为x=1，设M点的横坐标为m，则PM=m22m+3，MN=（m1）2=2m2，矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（m22m+32m2）2=2m28m+2=2（m+2）2+10，当m=2时矩形的周长最大A（3，0），C（0，3），设直线AC解析式为；y=kx+b，解得k=1，b=3，解析式y=x+3，当x=2时，则E（2，1），EM=1，AM=1，S=AMEM=（3）M点的横坐标为2，抛物线的对称轴为x=1，N应与原点重合，Q点与C点重合，DQ=DC，把x=1代入y=x22x+3，解得y=4，D（1，4）DQ=DC=，FC=2DQ，FG=4，设F（n，n22n+3），则G（n，n+3），|n22n+3|n+3|=4，即n2+2n3+n+3=4，解得：n=4或n=1，F（4，5）或（1，0）31. （2014乐山，第27题13分）如图，抛物线y=x22mx（m0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，m）作PMx轴与点M，交抛物线于点B点B关于抛物线对称轴的对称点为C（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m1，连接CA，若ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）令y=0即可求得A点坐标，令x=1求得B点，根据对称轴的性质即可求得C点的坐标（2）分别求出PA、PC、AC的平方，根据勾股定理的逆定理即可求得m的值，（3）先求出PC的斜率，根据互为垂直的两直线的斜率互为负倒数求出直线PE的斜率，然后求出解析式，分别求出与x轴的交点和与y轴的交点，从而求出PE的长，然后判断PE2是否等于PC2即可解答：解：（1）若m=2，抛物线y=x22mx=x24x，对称轴x=2，令y=0，则x24x=0，解得x=0，x=4，A（4，0），P（1，2），令x=1，则y=3，B（1，3），C（3，3）（2）抛物线y=x22mx（m0），A（2m，0）对称轴x=m，P（1，m）令x=1，则y=12m，B（1，12m），C（2m1，12m），PA2=（m）2+（2m1）2=5m24m+1，PC2=（2m2）2+（1m）2=5m210m+5AC2=1+（12m）2=24m+4m2，ACP为直角三角形，PA2=PC2+AC2，即5m24m+1=5m210m+5+24m+4m2，整理得：2m25m+6=0，解得：m=，m=1（舍去），故m=（3）P（1，m），C（2m1，12m），设直线PC的解析式为y=kx+b，解得：k=，PEPC，直线PE的斜率=2，设直线PE为y=2x+b，m=2+b，解得b=2m，直线PE：y=2x2m，令y=0，则x=1，E（1m，0），PE2=（m）2+（2m）2=PC2在x轴上不存在E点，令x=0，则y=2m，E（0，2m）PE2=（22m）2+12PC2，y轴上不存在E点，故坐标轴上不存在点E，使得PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形4. （2014山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x22x3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合） （1）求OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且SOCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；（3）过点P作PFx轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值9.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；解答：解：（1）B（4，m）在直线线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx4上，c=6，a=2，b=8，y=2x28x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，当n=时，线段PC最大且为（3）设直线AC的解析式为y=x+b，把A（，）代入得： =+b，解得：b=3，直线AC解析式：y=x+3，点C在抛物线上，设C（m，2m28m+6），代入y=x+3得：2m28m+6=m+3，整理得：2m27m+3=0，解得；m=3或m=，P（3，0）或P（，）21. (2014年山东东营,第25题12分)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=x2+bx+c与直线BC交于点D（3，4）（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P