（全国通用）高考数学走出题海之黄金30题系列（第02期）专题04 名校模拟精华30题 理（含解析）.docVIP

专题四 名校模拟精华30题(理) 第二期1. (数学（理）卷2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测)已知函数f（x）= tx，g（x）=（2- t）x24x+1若对于任一实数 ，函数值f（）与g（）中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是（ ） a（,-2）（0，2 b（-2，0）（0，2 c（-2，2 d（0，+）【答案】a 【解析】：当t=0时，f(x)=0,因为，所以g(x)不是恒正的，不满足题意，排除c，若t=3，当x0，则f(x)0,又，图象开口向下，所以当x0时不能满足恒正，不合题意，排除d，若t=-3,因为，=1620=-40,所以在r上g(x)0，则满足题意，所以排除b，综上可知选a.2. (数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考)函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为( )a b4 c d【答案】d 【解析】：x=2时，y=loga11=1，函数的图象恒过定点（2，1），点a在直线mx+ny+2=0上，2mn+2=0，即2m+n=2，mn0，m0，n0，故选d3. (数学理卷2015届四川省绵阳市高三二诊)已知平面区域在区域内随机选取一点m，且点恰好在区域上的概率为，若，则的取值范围为（a） （b） （c） （d）【答案】b 【解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合d1所表示的平面区域是三角形与d2所表示的平面区域是阴影部分的三角形（如图），由图可知d1=，由于，则0d22由于直线恒过点（0，2），则的斜率k0的取值范围是：（0，1故选b4. (广东省潮州市2014-2015学年第一学期高三期末教学质量检测8)若函数（）满足，且时，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为（ ）a b c d【答案】b【解析】分别作出函数与的图象，由图象可知函数在区间内的零点的个数为8个.5. (福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期三校联考数学理10)如图：已知方程为的椭圆，为顶点，过右焦点的弦的长度为，中心到弦的距离为，点从右顶点开始按逆时针方向在椭圆上移动到停止，当时，记，当，记，函数图像是 ( ) 【答案】b【解析】由已知易得，设，则，设，联立直线与椭圆方程得：，又当时代入化简可得，当时，故选b 注：也可取特殊情况，当时，易得此时，排除a、c，当时，此时，故，排除d6. 20142015学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试理6)设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是 （ ） 【答案】c7. ( 吉林省吉林市第一中学校2015届高三3月“教与学”质量检测（一）数学理8)函数f(x)=xsinx,x-2,2，若f(x1)f(x2)，则下列不等式一定成立的是( )a b c d【答案】a【解析】由 为偶函数， ，当 单调递增 时，f（x）单调递减；于是 . 函数f（x）=xsinx为偶函数，又 时， ，f（x）单调递增，时， f（x）单调递减； 故选a8. (浙江省绍兴市2015届高三上学期期末统考数学理试题7)已知数列的通项公式当取得最大值时，的值为（ ）a b c d【答案】c【解析】试题分析：由的通项公式易知当时，是递增的，当时，是递减的，且，所以，且，只要时，记为，则，.，当时，故当取得最大值时，的值为99. ( 数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试)在等腰三角形中，在线段，（为常数，且），为定长，则的面积最大值为.【答案】【解析】如图所示，以b为原点，bd为x轴建立平面直角坐标系， 设 ，即整理得：，即， .故答案为.10. (数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考)设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 【答案】 【解析】，作出点p（x，y）满足条件的区域，如图，即，且点q（a，b）满足恒成立，只须点p（x，y）在可行域内的角点处：a（1，0），b（0，2），成立即可，即，它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为：，故答案为11. (数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考)已知点是锐角的外心，. 若，则 【答案】5【解析】如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得，依题意有:，即，即将两式相加可得：.12. (数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试)已知是直角三角形的概率是.【答案】【解析】：因为，又因为，所以，在中，若为直角三角形可得，满足条件的有3个，所以所求概率为.故答案为.13. .( 数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试)已知中，且，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以，即可得，因为可得，设，所以有，因为 ，可得，所以，故答案为.14. (数学（理）卷2015届山东省泰安市高三上学期期末考试)棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 . 【答案】32【解析】：如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，.故答案为32.15. (数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考)在中，若，则的最大值 【答案】 【解析】：而在中，有 ，令，两式联立可得：，易知此方程有解，故，解得，故答案为.16. (数学理卷2015届广东省深圳市高三年级第一次调研考试)如图3，在中，d是ab边上的一点，以bd为直径的与ac相切于点e。若bc6，则de的长为 图3【答案】4【解析】连结oe， bc6，则ab=12，与相似，则, ，r=4, 为直角三角形，de为中线，所以de=4.17. (江西省九江市2015年第一次高考模拟统一考试数学16).如图，在中，三内角，的对边分别为，且，为的面积，圆是的外接圆，是圆上一动点，当取得最大值时，的最大值为_.【答案】.【解析】，设圆的半径为，则，当时，取得最大值，建立如图直角坐标系，则，设，则，当且仅当时，取最大值.18. (江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初开学联考数学试卷14).设实数a，x，y，满足则xy的取值范围是 【答案】 【解析】由题意得解得，又，所以xy的取值范围是19. （湖北省黄冈市2015届高三上学期元月调研考试数学理试题12）函数的最大值为.【答案】【解析】设则：即：，设，所以，所以的最大值为.20. (安徽省安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考数学理15)已知曲线：在点（）处的切线的斜率为，直线交轴，轴分别于点，且给出以下结论：；当时，的最小值为；当时，；当时，记数列的前项和为，则其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】当时，由得，所以曲线在点处的切线方程为,所以，所以，所以，即所以正确;,当且仅当，即时取等号，又，所以当时，故错；令，当时，在区间时为减函数，所以，即，所以正确； 故正确.21. (四川省雅安中学2015届高三开学考试数学理15)在下列命题中函数的最小值为；已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；定义在r上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)=0已知函数，则是有极值的必要不充分条件；已知函数，若，则.其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）.【答案】【解析】当时，函数的最小值为，：当时，函数的无最小值，故错；由周期为4及，正确；因函数f(x)是奇函数且以2为周期的周期函数，故，f(1)f(4)f(7)=0，正确；函数有极值，则由不相等的实数根，则，故不正确；函数是奇函数且在r上单调递增，所以，故正确22. (安徽省安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考数学理14)已知定义在r上的奇函数，当时，若关于的不等式的解集为，函数在上的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析:因为函数是定义在r上的奇函数，且当时，可以判定函数在r上是增函数，所以，又函数在区间上的值域为，又若“”是“”的充分不必要条件，所以，即不等式的解集是的子集,所以即.23. (江苏省扬州中学2015届高三3月期初考试数学试题15)设平面向量，（1）若，求的值； （2）若，求函数的最大值，并求出相应的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式易知 ，即，所以.；若则，所以试题解析：（1）若，则， 2分即 4分所以. 6分（2）若则 10分 所以. 14分24. (2015届广东省深圳市高三第二次调研考试理科数学试卷)（本小题满分12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）501005020030至50岁（含50岁）5015030050050岁以上10015050300合计2004004001000（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望【答案】（1）抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为： 人、人、人（2）（3）分布列见解析， 【解析】（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：、 、 2分所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：人、人、人; 4分（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人， 所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为; 6分（3），的可能取值为 7分因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为， 8分所以，随机变量服从二项分布，即 9分，即的分布列为： 11分的数学期望为： 12分25. (2015届北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理科数学试卷)（本小题满分14分）如图，多面体abcdef中，平面adef平面abcd，正方形adef的边长为2，直角梯形abcd中，abcd，addc，ab2，cd4 （）求证：bc平面bde；（）试在平面cde上确定点p，使点p到直线dc、de的距离相等，且ap与平面bef所成的角等于30【答案】（）证明：见解析；（）或. 【解析】（）证明：因为平面abef平面abcd，edab所以ed平面abcd 1分又因为bc平面abcd，所以edbc 2分在直角梯形abcd中,由已知可得bc2=8，bd2=8，cd2=16，所以，cd 2=bc2+bd2 ，所以，bdbc 4分又因为edbd=d，所以bc平面bde 5分（）如图建立空间直角坐标系dxyz 6分则 7分设，则令是平面bef的一个法向量，则所以，令，得所以 9分因为ap与平面bef所成的角等于，所以ap与所成的角为或所以 11分所以又因为，所以或 12分当时，（*）式无解当时，解得： 13分所以，或. 14分26. (数学理卷2015届安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测)满足。 （1）若数列an是等差数列，求a1的值： （2）若对任意nn*，都有an+ 2n20成立，求a1的取值范围【答案】 (1) ；(2) -2,15 当n为偶数时，由an+ 2n20即，转化为对任意的奇数n恒成立，令，解得，综上，a1的取值范围是-2,15.27. ( 2015年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学理20)在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（）（）求证：数列为等差数列；（）求数列的通项公式.（）设数列的前项和为，证明：，【答案】（1）紧扣等差数列定义证明，（2）当为偶数时，当为奇数时.（3）证明见解析【解析】（）因为数列为单调递增数列，所以（）.由题意成等差数列，成等比数列，得,，于是，化简得，所以数列为等差数列.（）又，所以数列的首项为，公差为，所以，从而.结合可得.因此，当为偶数时，当为奇数时.（2）所以数列的通项公式为:.因为,所以;则有，所以，28. (江苏省扬州中学2015届高三3月期初考试数学试题19)已知数列、满足，其中，则称为的“生成数列”（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，依次将数列，的第项取出，构成数列探究：数列是否为等比数列，并说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）解：，同理，. 4分（写对一个得1分，总分4分）（2）证明： 7分为偶数，将上述个等式中第2，4，6，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得： 9分因为，所以根据“生成数列”的定义，数列是数列的“生成数列”. 10分（3）证明：因为 ，所以.所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 12分对于数列及其“生成数列”为奇数，将上述个等式中第2，4，6，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得： 因为，数列的“生成数列”为，因为所以成对比数列. 同理可证，也成等比数列. 即 是等比数列.所以 成等差数列. 16分29. ( 数学理卷2015届山东省德州一中高三1月月考)某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资（单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.（i）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（ii）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参考数据：）【答案】（i）f(x)=3lmx+3(x0) （ii）21.124万元【解析】（i）设函数f(x)的定义域为（0，+）且，因为点（1,3）在直线y=kx上，故有k=3,又曲线y=f(x)在直线y=3x在点（1,3）处相切，故有，则甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为f(x)=3lmx+3(x0)由题意得乙产品投资与利润的关系式为：g(x)=m.,将点（4,4）代入上式，可得m=2所以乙产品的利润与投资资金间的关系式为g