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学年第二学期复变函数试卷 甲使用班级：电气、电子闭卷课程编号：答题时间： 120 分钟题号一二三总分核分人签字得分得分共 4 页第 1 页一、填空：（每空2分，共20分）1. z=-2+3i, Re (z)= -2 , Im (z)= 3 , |z| =, Arg (z)= -arctan 3/2 +(2k+1) 。2. f(z) = 2x-3y+ (sinx-3y)i 是否是解析函数？ 不是 。3. = 0 。4. C是正向单位圆周， = 0 。5. Ln(-1) = i（2k+1） 6. 的收敛半径 = 1 。7. C是正向单位圆周， = 2i 。二、计算下列各题：（10分/小题，共70分）1设函数f (z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)是全平面内的解析函数。求l, m, n的值。解 u= my3+nx2y v=(x3+lxy2) （3分）由f (z) 解析, 得 （4分） 解得 n = l = -3 , m = 1 （3分）共 4 页第 2 页2. 求解 =+ （4分）=(+) （4分）= （2分）（本题方法不唯一）3 已知u(x,y) = x2 y2 -2xy, 求其共轭调和函数v(x,y)及解析函数f (z)= u(x,y) +i v(x,y)。解 由f (z) 解析, 得 （4分）所以 （5分）是任意纯虚数 （1分）（本题方法不唯一）共 4 页第 3 页4求解 （10分）5求在圆环1|z|2内的洛朗展开式解 1|z|2时 （3分）= （7分）（本题有其他等价形式，不唯一）6求在z0 = 2点的泰勒展开式，并指出它的收敛半径解 （3分）|z-2|3时= （5分）收敛半径r=3 （2分）（本题有其他等价形式，不唯一）7求 。解 Lsin 2t=, 所以L= （4分）L= （4分）= L= （2分）（本题解题过程不唯一）三、证明题：（10分）设函数f(z)=u +iv在区域D内解析，Im f(z) 在区域D内为常数。证明f(z) 在区域D内为常数。证明：Im f(z) =v在区域D内为常数所以vx=vy =0 （3分）由f(z)=u +iv在区域D内解析所以u x=vy =0 （3分）u y
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