（浙江通用）高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.2 平面向量基本定理及坐标表示.docVIP

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.2 平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a、b共线x1y2x2y10.【知识拓展】1若a与b不共线且ab0，则0.2已知(，为常数)，则a，b，c三点共线的充要条件是1.3平面向量的基底中一定不含零向量【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()1设e1，e2是平面内一组基底，那么()a若实数1，2使1e12e20，则120b空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)c对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内d对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对答案a2在abc中，点d在bc边上，且2，rs，则rs等于()a. b. c3 d0答案d解析因为2，所以()，则rs0，故选d.3已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则_.答案解析由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb与a2b共线，即n2m12m8n，.4设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.答案解析ab，sin 21cos2 0，2sin cos cos2 0，0，cos 0，2sin cos ，tan .5设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，o为坐标原点，若a、b、c三点共线，则的最小值是_答案8解析kab，kac，a、b、c三点共线，kabkac，即，2ab1，4428(当且仅当2ab时，等号成立)，的最小值是8.题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在梯形abcd中，abcd，ab2cd，m，n分别为cd，bc的中点，若，则等于()a. b. c. d.(2)如图，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_答案(1)d(2)解析(1)因为()22，所以，所以.(2)设k，kr.因为kk()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决(1)在平行四边形abcd中，e1，e2，则_.(用e1，e2表示)(2)如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.答案(1)e1e2(2)ab解析(1)如图，2()e2(e2e1)e1e2.(2)()ab.题型二平面向量的坐标运算例2(1)向量a(1,3)，b(2，1)，则a2b等于()a(5,5) b(5，5)c(3,1) d(1，1)(2)已知点a(1,3)，b(4，1)，则与向量a同方向的单位向量坐标为()a. b.c. d.答案(1)a(2)a解析(1)a2b(1,3)2(2，1)(1,3)(4，2)(5,5)故选a.(2)aoo(4，1)(1,3)(3，4)，与a同方向的单位向量为.思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则(1)已知点a(1,5)和向量a(2,3)，若3a，则点b的坐标为()a(7,4) b(7,14)c(5,4) d(5,14)(2)在abc中，点p在bc上，且2，点q是ac的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()a(2,7) b(6,21)c(2，7) d(6，21)答案(1)d(2)b解析(1)设点b的坐标为(x，y)，则(x1，y5)由3a，得解得(2)33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3(1)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.(2)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三个顶点a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，则点d的坐标为_答案(1)(4，8)(2)(2,4)解析(1)由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)(2)在梯形abcd中，abcd，dc2ab，2.设点d的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点d的坐标为(2,4)命题点2利用向量共线求参数例4若三点a(1，5)，b(a，2)，c(2，1)共线，则实数a的值为_答案解析(a1,3)，(3,4)根据题意，4(a1)3(3)，即4a5，a.命题点3求交点坐标例5已知点a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，则ac与ob的交点p的坐标为_答案(3,3)解析方法一由o，p，b三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点p的坐标为(3,3)方法二设点p(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点p的坐标为(3,3)思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(r)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题a，b，c三点共线等价于与共线设(2,4)，(a,2)，(b,0)，a0，b0，o为坐标原点，若a，b，c三点共线，则的最小值为_答案解析由题意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(当且仅当ba时，等号成立)11解析法(坐标法)在向量中的应用典例(14分)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点c在以o为圆心的上运动若xy，其中x，yr，求xy的最大值思维点拨可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点a，b的坐标，用三角函数表示出点c的坐标，最后转化为三角函数求最值规范解答解以o为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a(1,0)，b(，)4分设aoc(0，)，则c(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，10分所以xycos sin 2sin()，12分又0，所以当时，xy取得最大值2.14分温馨提醒本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出xy的最大值引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值失误与防范1要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.a组专项基础训练(时间：30分钟)1.如图，设o是平行四边形abcd两对角线的交点，给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()a bc d答案b解析中，不共线；中，不共线2已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()a(2，1) b(2,1)c(1,0) d(1,2)答案d解析a(，)，b(，)，故ab(1,2)3已知向量a(1,2)，(ab)b，则b可以为()a(1,2) b(1，2)c(2,1) d(2，1)答案a解析设b(m，n)，则ab(m1，n2)又(ab)b，abb(0)，令2，则即b(1,2)4已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于()a. b.c1 d2答案b解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，故选b.5已知|1，|，0，点c在aob内，且与的夹角为30，设mn(m，nr)，则的值为()a2 b.c3 d4答案c解析0，以oa为x轴，ob为y轴建立直角坐标系，(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30，m3n，即3，故选c.6已知a(7,1)，b(1,4)，直线yax与线段ab交于点c，且2，则实数a_.答案2解析设c(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得c(3,3)又c在直线yax上，3a3，a2.7已知点a(1,2)，b(2,8)，则的坐标为_答案(2，4)解析设点c，d的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由题意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)因为，所以有和解得和所以点c，d的坐标分别为(0,4)，(2,0)，从而(2，4)8已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点a，b，c能构成三角形，则实数m满足的条件是_答案m解析由题意得(3,1)，(2m,1m)，若a，b，c能构成三角形，则，不共线，则3(1m)1(2m)，解得m.9已知a(1,1)，b(3，1)，c(a，b)(1)若a，b，c三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点c的坐标解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，a，b，c三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点c的坐标为(5，3)10已知向量a(1，sin )，b(2,1)(1)当时，求向量2ab的坐标；(2)若ab，且，求sin的值解(1)因为，所以a，于是向量2ab2(2,1)(4,2)(2)因为ab，所以sin ，又因为，所以cos ，所以sinsin cos cos sin .b组专项能力提升(时间：15分钟)11已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于()a2 b2c d.答案c解析由题意得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，故选c.12已知向量a(1,2)，b(0,1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值为()a1 bc. d1答案b解析u(1,2)k(0,1)(1,2k)，v(2,4)(0,1)(2,3)，又uv，132(2k)，得k.故选b.13已知向量a(1,1)，b(1，1)，c(cos ，sin )(r)，实数m，n满足manbc，则(m3)2n2的最大值为_答案16解析由manbc，可得故(mn)2(mn)22，即m2n21，故点m(m，n)在单位圆上，则点p