福建省三明市宁化一中高三数学上学期第四次段考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年福建省三明市宁化一中高三（上）第四次段考数学试卷（理科） 一、选择题：（共10小题，每小题5分，计50分）1已知全集u=r，集合a=1，2，3，4，5，b=3，+），则图中阴影部分所表示的集合为( )a0，1，2b0，1c1，2d12等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为( )a1b2c3d43已知函数f（x）=那么f（）的值为( )abcd4“实数a=1”是“复数（1+ai）i（ar，i为虚数单位）的模为”的( )a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不是充分条件又不是必要条件5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )a2bcd36若直线x+ay1=0与4x2y+3=0垂直，则二项式（ax1）5的展开式中x2的系数为( )a40b10c10d407甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙相邻的排法种数是( )a6b8c12d248已知双曲线c的左右焦点为f1，f2，其中一条渐近线为y=x，点a在双曲线c上，若|f1a|=2|f2a|，则cosaf2f1=( )abcd9已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为m1，m2，m3，则等于( )a6b7c12d1310已知函数f（x）=，如在区间（1，+）上存在n（n1）个不同的数x1，x2，x3，xn使得比值=成立，则n的取值集合是( )a1，2，3，4b1，2，3c2，3d2，3，4二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置11某次数学成绩n（90，2），已知p（70110）=0.6，则p（70）=_12如图所示，在边长为1的正方形oabc中任取一点m，则点m恰好取自阴影部分的概率为_13设o为坐标原点，点，若m（x，y）满足不等式组，则的最小值是_14设f为抛物线y2=4x的焦点，a是抛物线上一点，b是圆c：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点a到y轴的距离为m，则m+|ab|的最小值为_15设函数f（x）、g（x）的定义域分别为dj、de，且djde，若对于任意xdj，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在de上的一个延拓函数设f（x）=ex（x1）（x0），g（x）为f（x）在r上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数给出以下命题：当x0时，g（x）=ex（1x）； 函数g（x）有3个零点；g（x）0的解集为（1，0）（1，+）； x1，x2r，都有|g（x1）g（x2）|2其中所有正确命题的序号是_三.解答题：本大题共5小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（13分）已知f（x）=sin2xcos2x+n1（nn*）（1）在锐角abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，当n=1时，f（a）=，且c=3，abc的面积为3，求b的值（2）若f（x）的最大值为an（an为数列an的通项公式），又数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和tn17（13分）学校从高一各班随机抽取了部分同学参加了一次安全知识竞赛，其中某班参赛同学的成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分，如图所示，据此解答下列问题：（1）求该班的参赛人数及分数在80，90）之间的人数；（2）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，设分数在90，100之间的份数为随机变量，求的分布列及数学期望e18（13分）如图长方体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为1的正方形，|bb1|=a，e为bb1延长线上的一点且满足|bb1|b1e|=1（1）求证：d1e平面ad1c；（2）当a=1时，求二面角eacd1的平面角的余弦值19（13分）已知中心在坐标原点o，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为，且经过点m（1，）（1）求椭圆c的方程；（2）若f是椭圆c的右焦点，过f的直线交椭圆c于m、n两点，t为直线x=4上任意一点，且t不在x轴上，（）求的取值范围；（）若ot平分线段mn，证明：tfmn（其中o为坐标原点）20（14分）已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）设f（x）=2f（x）3x2kx（kr），若函数f（x）存在两个零点m，n（0mn），且满足2x0=m+n，问：函数f（x）在（x0，f（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由【选修4一2：矩阵与变换】21若圆c：x2+y2=1在矩阵a=（a0，b0）对应的变换下变成椭圆e：+=1（）求a，b的值；（）判断矩阵a是否可逆，如果可逆，求矩阵a的逆矩阵a1，如不可逆，说明理由【选修4一4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分7分）22在平面直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为 （为参数，r0），以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+）（）求圆c的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）若圆c上的点到直线l的最大距离为3，求r的值【选修4一5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）23设函数f（x）=（）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（）若函数f（x）的定义域为r，试求a的取值范围2014-2015学年福建省三明市宁化一中高三（上）第四次段考数学试卷（理科）一、选择题：（共10小题，每小题5分，计50分）1已知全集u=r，集合a=1，2，3，4，5，b=3，+），则图中阴影部分所表示的集合为( )a0，1，2b0，1c1，2d1考点：venn图表达集合的关系及运算 专题：计算题；集合分析：由已知中u为全集，a，b是集合u的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案解答：解：由已知中阴影部分在集合a中，而不在集合b中，故阴影部分所表示的元素属于a，不属于b（属于b的补集）即（crb）a=1，2故选c点评：题考查的知识点是venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键2等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为( )a1b2c3d4考点：等差数列的通项公式 专题：计算题分析：设数列an的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值解答：解：设数列an的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选b点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题3已知函数f（x）=那么f（）的值为( )abcd考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由已知得f（）=f（）=sin=解答：解：函数f（x）=，f（）=f（）=sin=故选：b点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用4“实数a=1”是“复数（1+ai）i（ar，i为虚数单位）的模为”的( )a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不是充分条件又不是必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数求模 专题：简易逻辑分析：根据复数的有关概念，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：复数（1+ai）i=ia，对应的模长为，当a=1时，=，充分性成立若=，解得a=1，必要性不成立故“实数a=1”是“复数（1+ai）i（ar，i为虚数单位）的模为”的充分不必要条件故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关概念是解决本题的关键，比较基础5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )a2bcd3考点：简单空间图形的三视图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可解答：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：v=3x=3故选d点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6若直线x+ay1=0与4x2y+3=0垂直，则二项式（ax1）5的展开式中x2的系数为( )a40b10c10d40考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：根据两条直线垂直的性质求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数解答：解：直线l1：x+ay1=0与l2：4x2y+3=0垂直，2=1，a=2二项式（ax1）5展开式的通项公式为tr+1=a5r（1）rx5r，令5r=2，求得r=3，可得二项式（ax1）5展开式中x的系数为40，故选：a点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题7甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙相邻的排法种数是( )a6b8c12d24考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：采取分步计数原理，先乙、丙捆绑在一起看作一个符合元素，再和甲丁全排列，问题得以解决解答：解：把乙、丙捆绑在一起看作一个符合元素，再和甲丁全排列，故有=12，故选：c点评：本题考查了分步计数原理，相邻问题采用捆绑，属于基础题8已知双曲线c的左右焦点为f1，f2，其中一条渐近线为y=x，点a在双曲线c上，若|f1a|=2|f2a|，则cosaf2f1=( )abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；解三角形；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知得渐近线的斜率为，即有b=a，再求c=2a，运用双曲线的定义和条件，求得三角形af2f1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值解答：解：由于双曲线的一条渐近线y=x，且为y=x，则斜率为，即有b=a，c=2a，|f1a|=2|f2a|，且由双曲线的定义，可得|f1a|f2a|=2a，解得，|f1a|=4a，|f2a|=2a，又|f1f2|=2c，由余弦定理，可得cosaf2f1=故选a点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题9已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为m1，m2，m3，则等于( )a6b7c12d13考点：函数的零点与方程根的关系；两点间的距离公式 专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用分析：利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得m1，m2，m3，m13的坐标，从而可求的值解答：解：y=2sin（x+）cos（x）=2cosxsinx=sin2x，由题意得：sin2x=，2x=2k+或2x=2k+，x=k+或x=k+，kz，正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为m1，m2，m3，得m1（，0），m2（，0），m3（+），m4（+），m13（6+，0），=（6，0），=6故选a点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得m1，m13的坐标是关键，属于中档题10已知函数f（x）=，如在区间（1，+）上存在n（n1）个不同的数x1，x2，x3，xn使得比值=成立，则n的取值集合是( )a1，2，3，4b1，2，3c2，3d2，3，4考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：作出f（x）的图象，=的几何意义为这些点有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论解答：解：表示（x，f（x）点与原点连线的斜率，=的几何意义为这些点有相同的斜率，作出函数f（x）的图象，在在区间（1，+）上，y=kx与函数f（x）的交点个数有1个，2个或者3个，故n=1或n=2或n=3，即n的取值集合是1，2，3，故选：b点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x）点与原点连线的斜率是解答的关键二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置11某次数学成绩n（90，2），已知p（70110）=0.6，则p（70）=0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：判定正态分布曲线的峰值，再根据曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1解答解答：解：由题意知：正态分布的平均值为90，正态分布曲线的中间值为90，根据对称性得：p（110）=p（70），p（70）=1p（70110）=0.2故答案为：0.2点评：本题考查了正态分布曲线的特点，熟练掌握正态分布曲线的对称性及中间值是解题的关键12如图所示，在边长为1的正方形oabc中任取一点m，则点m恰好取自阴影部分的概率为考点：几何概型；定积分在求面积中的应用 专题：概率与统计分析：欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解解答：解：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量s（）=1，曲线y=x2与x轴，x=1所围成的图形的面积s，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量：s（a）=（x3）=则点m取自阴影部分的概率为p（a）=故答案为：点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题13设o为坐标原点，点，若m（x，y）满足不等式组，则的最小值是考点：简单线性规划 专题：数形结合；平面向量及应用分析：由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，m（x，y），=，化为，由图可知，当直线过a（1，1）时，目标函数有最小值，故答案为：点评：本题考查了简单的线性规划，考查了平面向量的数量积，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题14设f为抛物线y2=4x的焦点，a是抛物线上一点， b是圆c：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点a到y轴的距离为m，则m+|ab|的最小值为2考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：把圆的方程化成标准式，求得圆的圆心和半径，利用抛物线的标准方程求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义可知点a到准线的距离等于点a到焦点f的距离，进而问题转换为焦点到a点距离与a点到b的距离问题，推断出当a，b，f三点共线时a到点b的距离与点a到抛物线的焦点f距离之和的最小解答：解：圆c：（x+3）2+（y+3）2=4，表示为以（3，3）为圆心设为o，2为半径的圆，抛物线y2=4x的准线方程为x=1，焦点f（1，0），根据抛物线的定义可知点a到准线的距离等于点a到焦点f的距离，进而推断出当a，b，f三点共线时a到点b的距离与点a到抛物线的焦点f距离之和的最小，即m+1+|ab|的值最小，此时|ao|=5，|af|=|a0|b0|=3，即m+1+|ab|的最小值为3，m+|ab|的最小值为2故答案为：2点评：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用数形结合的思想，并利用抛物线的定义解决，属于中档题15设函数f（x）、g（x）的定义域分别为dj、de，且djde，若对于任意xdj，都有g（x）=f（x），则称g（x）函数为f（x）在de上的一个延拓函数设f（x）=ex（x1）（x0），g（x）为f（x）在r上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数给出以下命题：当x0时，g（x）=ex（1x）； 函数g（x）有3个零点；g（x）0的解集为（1，0）（1，+）； x1，x2r，都有|g（x1）g（x2）|2其中所有正确命题的序号是考点：函数零点的判定定理；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：设x0，则x0，由函数得性质可得解析式，可判的真假，再由性质作出图象可对其他命题作出判断解答：解：由题意得，x0时，g（x）=f（x）=ex（x1），当x0时，则x0，g（x）=f（x）=ex（x1）=g（x），所以g（x）=ex（x+1），故不正确；对x0时的解析式求导数可得，g（x）=ex（x+2），令其等于0，解得x=2，且当x（，2）上导数小于0，函数单调递减；当x（2，+）上导数大于0，函数单调递增，x=2处为极小值点，且g（2）1，且在x=1处函数值为0，且当x1是函数值为负又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：由图象可知：函数f（x）有3个零点，故正确；由于函数1g（x）1，故有对x1，x2r，|g（x2）g（x1）|2恒成立，即正确故答案为：点评：本题是个新定义题，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，是个中档题作出函数的图象是解决问题的三.解答题：本大题共5小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（13分）已知f（x）=sin2xcos2x+n1（nn*）（1）在锐角abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，当n=1时，f（a）=，且c=3，abc的面积为3，求b的值（2）若f（x）的最大值为an（an为数列an的通项公式），又数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和tn考点：三角函数中的恒等变换应用；数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法；解三角形分析：（1）由已知可解得，又由abc是锐角三角形，可得a的值，从而由三角形的面积公式可求得b的值；（2）由（）可解得an=n+1，可得，从而可求数列bn的前n项和tn解答：（13分）解：（1）f（x）=，当n=1时，由得：，又abc是锐角三角形，即，又由=可解得：b=4，（2）由（）知：，f（x）取最大值为n+1，an=n+1又（13分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，其中裂项求和是解题的关键，属于中档题17（13分）学校从高一各班随机抽取了部分同学参加了一次安全知识竞赛，其中某班参赛同学的成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分，如图所示，据此解答下列问题：（1）求该班的参赛人数及分数在80，90）之间的人数；（2）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，设分数在90，100之间的份数为随机变量，求的分布列及数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由图知：50，60）的频率为0.08，频数为2，由此能求出分数在80，90）的人数（2）因为分数在80，90）之间的人数为4，90，100之间的人数为2，所以=0，1，2，分别求出相应在的概率，由此能求出的分布列及数学期望e解答：解：（1）由图知：50，60）的频率为0.08，频数为2，所以该班参赛人数为人，所以分数在80，90）的人数为2527102=4人（2）因为分数在80，90）之间的人数为4，90，100之间的人数为2，所以=0，1，2，且，所以的分布列为： 0 1 3 p点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，是中档题18（13分）如图长方体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为1的正方形，|bb1|=a，e为bb1延长线上的一点且满足|bb1|b1e|=1（1）求证：d1e平面ad1c；（2）当a=1时，求二面角eacd1的平面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）建立空间直角坐标系oxyz，利用向量法能证明d1e平面ad1c（）分别求出平面eac的法向量和平面ad1c的法向量，利用向量法能求出二面角eacd1的大小解答：解：（1）如图所示建立空间直角坐标系oxyz，则a（1，0，0），c（0，1，0），|=a，|=1，所以 ，d1ead1又，d1ecd1ad1cd1=d1，d1e平面ad1c（也可用勾股定理证明d1ead1，d1ecd1）（2）当a=1时，设平面eac的法向量为，则，即，令z=1，则x=y=2，d1e平面ad1c，平面ad1c的法向量，因为a=1，所以，当a=1时，二面角eacd1的平面角的余弦值为（13分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（13分）已知中心在坐标原点o，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为，且经过点m（1，）（1）求椭圆c的方程；（2）若f是椭圆c的右焦点，过f的直线交椭圆c于m、n两点，t为直线x=4上任意一点，且t不在x轴上，（）求的取值范围；（）若ot平分线段mn，证明：tfmn（其中o为坐标原点）考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）椭圆c的方程为=1a0，b0，运用方程组求解，（2）（）分类若直线l斜率不存在，若直线l斜率存在，利用韦达定理求解，（）求出直线ot的斜率k=，tf的斜率ktf=，根据斜率判断解答：解：（1）设椭圆c的方程为=1a0，b0，则 解得a2=4，b2=3，所以椭圆c：=1，（2）（）易得f（1，0）若直线l斜率不存在，则l：x=1，此时m（1，），n（1，），=，若直线l斜率存在，设l：y=k（x1），m（x1，y1），n（x2，y2），则由消去y得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，x1+x2=，x1x2=，=（x11，y1）（x21，y2）=（1+k2）x1x2（x1+x2）+1=，k2001343综上，的取值范围为3，），（）线段mn的中点为q，则由（）可得，xq=，yq=k（xq1）=，所以直线ot的斜率k=，所以直线ot的方程为：y=x，从而t（4，），此时tf的斜率ktf=，所以ktfkmn=k=1，所以tfmn点评：本题综合考查了椭圆的方程，性质，结合韦达定理求解，运算量较大，属于难题20（14分）已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）设f（x）=2f（x）3x2kx（kr），若函数f（x）存在两个零点m，n（0mn），且满足2x0=m+n，问：函数f（x）在（x0，f（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；综合题；导数的综合应用分析：（）根据题意写出g（x）再求导数，由题意知g（x）0，x（0，+）恒成立，转化为a2x+，再利用基本不等式求右边的最小值，即可求得实数a的取值范围；（）先假设f（x）在（x0，f（x0）的切线平行于x轴，其中f（x）=2lnxx2kx结合题意列出方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln在（0，1）上成立，从而出现与题设矛盾，说明原假设不成立由此即可得到函数f（x）在（x0，f（x0）处的切线不能平行于x轴解答：解：（）g（x）=f（x）ax=lnx+x2ax，g（x）=+2xa由题意知，g（x）0，x（0，+）恒成立，即a（2x+）min又x0，2x+，当且仅当x=时等号成立故（2x+）min=，所以a（）设f（x）在（x0，f（x0）的切线平行于x轴，其中f（x）=2lnxx2kx结合题意，有得2ln（m+n）（mn）=k（mn）所以k=，由得k=2x0所以ln=设u=（0，1），得式变为lnu=0（u（0，1）设y=lnu（u（0，1），可得y=0所以函数y=lnu在（0，1）上单调递增，因此，yy|u=1=0，即lnu0，也就是ln此式与矛盾所以函数f（x）在（x0，f（x0）处的切线不能平行于x轴点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象的切线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题【选修4一2：矩阵与变换】21若圆c：x2+y2=1在矩阵a=（a0，b0）对应的变换下变成椭圆e：+=1（）求a，b的值；（）判断矩阵a是否可逆，如果可逆，求矩阵a的逆矩阵a1，如不可逆，说明理由考点：逆变换与逆矩阵；几种特殊的矩阵变换 专题：选作题；矩阵和变换分析：（）设p（x