数学与应用数学本科毕业论文-函数的单调性及其应用.doc

本科毕业论文（设计） 题 目：函数的单调性及其应用学 生： 李敬民 学号： 200940510616 学 院：数学与计算科学学院专 业：数学与应用数学入学时间： 2009 年 9 月 15 日指导教师： 王志刚 职称： 导师 完成日期： 2013 年 3 月 25 日函数的单调性及其应用摘要： 函数的单调性反映了函数随自变量的变化而变化的函数值变化特点，是函数的重要性质之一，也是解决如求值、解方程、求参数范围等众多数学问题的有力工具。在具体解题过程中，若能根据题目的特点构造适当的函数，通过研究函数的单调性并揭示函数值的变化特征，则可使我们的问题在函数观点下巧妙获解。 关键词：函数单调性；导数；应用Abstract: monotonicity reflect the characteristics of changes in the value of the function function change with the change of independent variables, is one of the important properties of the function, also to solve, such as seeking value, solving equations, the parameters range of many mathematical problems powerful tool. Specific problem-solving process, if the subject is characterized by constructing appropriate function, research monotonicity and reveal the variation of the function value, will enable our clever was the solution function point of view.Keywords: function monotonicity; derivative; applicationy目 录一、函数单调性概述错误！未定义书签。 (一) 函数单调性的基本概念错误！未定义书签。 (二) 函数的图像理解单调性的概念错误！未定义书签。 （三）函数单调性的基本性质错误！未定义书签。 二、单调性的应用错误！未定义书签。 （一）利用函数单调性比较函数值或自变量的大小错误！未定义书签。 （二）利用单调性求参数值或取值范围错误！未定义书签。 （三）利用单调性解不等式错误！未定义书签。 （四）利用单调性求函数的最值错误！未定义书签。 （五） 利用单调性求函数极值错误！未定义书签。 （六）利用单调性证明不等式错误！未定义书签。 总结错误！未定义书签。参考文献：错误！未定义书签。 111、 函数单调性概述 函数是数学中的一个基本概念，它表明了世界中事物的普遍联系，说明了自变量和因变量之间的某种对应关系。而函数的单调性反映了函数在单调区间上，随着自变量的变化，函数值是增大还是减少的问题，是研究函数性质的一个重要方面。(一)函数单调性的基本概念 在书中我们的定义比较严格，但是严格的语言虽然保证了科学严密性，但是很多人在读定义时有些难以理解。所以在这里我们就用理解的话语来概述函数单，,当 时，有 ，则称此函数在 上是单调增加的， 叫单调增区间；当 时，有，则称此函数在 上单调减少， 叫单调减区间。而还有一种理解是在单调增区间内，函数图像随 的增大而上升，在单调减区间内，函数图像随 的增大而下降。这是从定性的角度对函数单调性概念的简单概括，我们会再下面分专节进行讲解。1 函数单调性这个概念的核心是任意性和恒定性。任意性是指，是函数定义域内任意两个自变量，恒定性是指不等式或是在的条件下恒成立的。在我们理解时，还要注意两点:1)函数的单调区间是定义域的子集；2)函数的单调性反映函数在区间上函数值的变化情况。而在高等数学中单调性的定义是：如果在某个邻域内，函数的增量的符号与自变量的增量的符号相同(或者相异)，则称在点处增加(或减少)。由此推出的引理是：如果函数在点处存在正(或负)的有限导数，那么函数在该点就是增加(或减少)的。所以可以看出，高等数学的定义更加的规范、严谨。2(二)函数的图像理解单调性的概念 通过函数的图像也可以判别函数在单调区间上的单调性。主要是利用导数在区间上的正负，从定量的角度来判别函数在区间上是单调增加，还是单调减少。如果函数 在区间上连续，在区间内可导，时，在区间上单调增加；反之，如果时，在区间上单调减少。同时，可导函数在某区间内的个别点处的导数等于零，并不影响函数在该区间内的单调性。如函数在内 ，该函数在该区间内仍是单调增加的。有了上述理论依据，对可导函数单调性的研究便可转化为简单的解不等式或。因此，对于一个可导函数，我们会求其导数，那么它的单调性问题就不是问题了。以往我们觉得较复杂的函数和含参函数等的单调性问题就变得很容易处理了。 我们也可以利用函数图象的对称性研究函数的单调性： I.利用函数自身图象的对称性：奇函数图象关于原点中心对称，所以奇函数表现出来在对称区间上单调性一致。例如:若是奇函数且在区间上递增，则在区间上递增。偶函数图象关于轴对称，所以偶函数表现出来在对称区间上单调性相反。例如:若是偶函数且在区间上递增，则在区间上递减。3 II.两个函数图象的对称性：函数与函数的图象关于y轴轴对称，所以函数与函数在对称区间上的单调性相反。例如:若函数在区间上递增，则在区间上递减。 函数与函数的图象关于轴轴对称，所以函数与函数在同一区间上的单调性相反。例如:若函数在区间上递增，则函数在区间上递减。 函数与函数的图象关于原点中心对称，所以函数与函数在对称区间上的单调性一致。例如:若函数在区间上递增，则函数在区间上递增。 函数与函数的图象关于直线对称，所以函数与函数单调性一致(在此注明是分别在各自的单调区间上)。例如:若函数的定义域为，值域为，且在上递增，则反函数在上递增。4 利用函数单调性的定义判断函数的单调性是我们的重难点。其步骤一般可分解为:1)对其取值:即设，是该区间内任意两个值，且；2)作差变形:求，并对它们进行有利于判断符号的变形，如因式分解、配方法、有理化等，有时可能还要分类讨论；4)判断:根据定义作出结论。其中2)和3)是重点，有时变形需要技巧，确定符号也要有逻辑推理，严防直观简单的判断。例1用定义证明函数在区间内是减函数。证明 取且，则, ，。要证明函数是减函数，只要证明即可。这里，符号未定。要对，的正、负进行讨论。 若，则=。 若，则，中只有一个为零，所以； 若，则；故不论何种情况，总有。，即。因此，在上是减函数。最后，在此阐述下单调区间的求解方法，这也是单调性范围中的重要方法： 1)函数的单调性只是针对某个区间而言，有些函数在整个定义域上不是单调的，但是在定义域的某些区间上却存在单调性，即：函数的单调性是一个局部的性质。所以单调区间是定义域的子集。 2)函数的单调区间之间不能写成并集，区间端点可有可无。 3)掌握复合单调区间的求法： 把复合函数拆成两个或者几个简单的函数，一般为两个简单的函数； 分别判断两个简单函数的单调性（在此注意自变量的取值范围）； 运用“同增异减”的口诀确定单调区间，即增增增，增减减，减增减，减减增。在此说明“同增异减”是指:若在函数的某区间上，函数与的单调性相同，则复合函数在该区间上是增函数；若函数与的单调性相异，则复合函数在该区间是减函数。 最终顺利写出所求单调区间。例2求函数的单调区间。解：其中设取复合函数的符号为。 可知，函数是由函数和复合的。 由 即，解得。即函数的定义域为。 对称轴。 二次函数的单调性，可知在区间上是增函数；在区间上是减函数。而在其定义域上单调增；。 所以说明函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。5（三）函数单调性的基本性质这里借鉴书中的定理：设函数在区间上连续，根据闭区间上连续函数的性质，可知在上一定有最大值和最小值。如果最大（小）值在区间的内部取得，那么这个最大（小）值一定是函数的极大（小）值。如果在区间内可导，根据函数取得极值的必要条件，可知这个最大（小）值只能在函数的驻点处取得。由书中的这个定理又演变出了三个性质，这些性质可以用来方便我们更好的理解定理。性质1:设在内可导，则在必存在最大(小)值，若在。性质2:若在处取上最小值，则。性质3:若在处取上的最大值，则。这一个定理和三个性质说明了函数的单调性基本性质，我们单从字面上比较难以理解，下面给出一些例题来进行补充说明，加深大家对其理解。例3求函数的最大值。解 函数的定义域为。 对函数求导，推出 ，令，得驻点。 因为当时，；当时，所以判断是函数的极大值点。由于函数在内只有唯一的一个极值点，所以函数的极大值就是函数的最大值为。通过这道简单的例题，我们可以明白单调性可以应用于我们来求解最值问题。下面我们着重来介绍下函数单调性的应用。2、 单调性的应用 函数的单调性问题是反映函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律，因此，在研究函数问题时，如果涉及函数的变化问题，不妨考查该函数的单调性，这往往能使问题简化。函数的单调性是函数重要的性质，这一性质贯穿函数学习的始终。很多类型的问题都隐含着函数的单调性问题，如果我们在学习中能够正确的分析和正确的解题思路，那么就能够准确而又快速的得到正确答案。 这一类问题往往需要构造函数，把解不等式和不等式证明等几方面的问题转化为函数问题， 体现了数形结合和转化的数学思想。下面我们从几个方面来论述函数单调性的应用。7（一）利用函数单调性比较函数值或自变量的大小 若已知函数单调性的情况下，要比较函数值的大小，可先比较两个自变量的大小，再根据单调性推知函数值的大小。若已知两个函数值的大小，也可在单调区间内推知函数值的大小。例4 已知 在 上是增函数，试比较 与 的大小。解析： ，。 又 在 上是增函数 。 通过以上简单的例题，我们可以理解到在此类问题中函数单调性的重要运用。下面再举一个简单的例子，加深我们对比较大小的理解。例5 将下列数依从小到大的次序排列出来，解： 所以 运用函数单调性比较大小是常见的题型，其思路方法是不用求出各函数的大小等构造一类函数，通过这类函数的单调性质来说明不同的自变量取值时其函数值的大小关系。8（二）利用单调性求参数值或取值范围 运用函数的单调性可确定方程或不等式中参数的取值范围。在解与不等式或方程有关的问题时，我们往往由于忽略变换的等价性，如果能恰当地利用函数单调性，则会避开这种错误，下面举例说明。例6 已知函数 在区间上是减函数，求实数 的取值范围。解： 函数 图像的对称轴为 函数 的单调减区间为 由已知条件可得，解得 。（三） 利用单调性解不等式 利用单调性解题时，一定要看懂题意，找准题目隐含的意思，然后针对问题进行解题，最终得到求解值的范围。例7 已知函数 的定义域为，且满足下列条件：在定义域上单调递增；求实数 的取值范围。解 推出 又函数的定义域为，在定义域上单调递增 满足-11-a0，即，判定函数在上是减函数。 ，推出，。 在上是减函数， 在上，。 本题是求抽象函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性，然后再求最值，最后注意的是要充分利用进行转换。（五） 利用单调性求函数极值 运用函数单调性可求出函数的极值，先求得函数的驻点和导数不存在的点，再考察这些点处的左右两侧单调性是否相同，若在驻点或不可导点的两侧单调性不同则说明这一点为函数的极值点。10例9 求函数 的极值。解 由函数的定义域是 求出 令 将定义域分为三个区间。现列表如下:由表可知函数的极大值为，极小值为。（六）利用单调性证明不等式 通过利用构造辅助函数在指定区间上的单调性，可以证明不等式。例10 证明 证明： 设，在区间上连续。 在上单调减少 上述题型是简单的证明题，利用求导，基本说清楚了单调性证明不等式的应用。3、 总结函数的单调性在比较函数值或自变量的大小、求参数值或取值范围、解不等式、求函数的最值、求函数极值、证明不等式等多方面都有应用，学习时应注意不断总结并且做到灵活运用函数的单调性。其中，函数单调性的应用也体现了数学的转化思想。在上面的例题中没有直接给出函数的解析式而是通过分析，构造函数，再通过证明和判断其函数的单调性从而解决问题。判断函数单调性的方法可以用单调性的定义判定或者用导数的方法来判定，判定单调性的过程也是这类问题解题的一部分。运用函数的观点认识和分析问题，使问题简单化和明了化。总之，函数的单调性的研究得到了数学家们的充分重视，它在研究数学领域起着很大的作用。参考文献：1付罄雨.用函数单调性生研究不等式J.大观周刊,2011(51).2游晓荔.函数单调性的巧用J.科技信息,2011(20).3 华东师范大学数学系编.数学分析上册(第二版)M.高等教育出版社,1993.4 岳嵘.一个有关函数单调性的命题推广.高等数学研究M.2007, 5: 33- 35.5 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第2版)M.高等教育出版社,2006.2.6覃英.浅谈运用函数单调性解题的技巧J.中国科教创新导刊,2011(12).7姚宗贵.函数