【2011函数与导数专题】.doc

longwen Education 高考数学函数与导数专题一、2010年高考真题：1（2010山东理数） (本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。2（2010北京理数） (本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是3（2010浙江理数） (本题满分14分)已知是给定的实常数，设函数，是的一个极大值点 ()求的取值范围；()设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。（）解：f(x)=ex(x-a) 令于是，假设（1） 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。（2） 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1a0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。6（2010天津理数）（本小题满分14分）已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（）如果，且，证明【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.二、2011年高考函数分析与预测：以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数极值理论，单调性及其应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。预测2011年高考导数问题命题的五大热点如下：热点一、在导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。命题的热点：三次函数求导后为二次函数，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想。热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题。热点三、在导数与解析几何交汇点命题：主要考查对导数的几何意义，切线的斜率，导数与函数单调性，最（极）值等综合运用知识的能力。热点四、在导数与向量问题交汇点命题：依托向量把函数单调性，奇偶性，解不等式等知识融合在一起。即考查了向量的有关知识，又考查了函数性质及解不等式等内容。热点五、在导数与函数模型构建交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力。备考指南：复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此，考生必须利用好课本，夯实基础知识。三、高考热点新题：1.已知函数, （）求函数的定义域；（）求函数的单调区间；（）当0时，若存在x使得成立，求的取值范围.解：（）当时函数的定义域为； 当时函数的定义域为 （）令时，得即，当时，时，当时，故当 时，函数的递增区间为，递减区间为当时，所以，故当时，在上单调递增当时，若，;若，故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为 （）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为若存在使得成立，只须，即 2.已知函数的图像关于原点成中心对称 ，设函数 (1)求的单调区间;(2)已知对任意恒成立求实数的取值范围(其中是自然对数的底数)解: (1) 由已知可得C=0, , 令,得列表如下:(0,1)-+单调减单调减单调增所以的单调增区间为,单调减区间为和(2)在两边取对数,得而所以由(1)知当时,所以3.设函数，其中为常数（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（）若,试利用（II）求证：n3时，恒有。解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增 （2） 由（）得，当时，,函数无极值点 当时，有两个不同解， 时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii） 当时，01 此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由（2）可知当时，函数，此时有惟一极小值点且 令函数 4.已知函数（1） 求在处的切线方程（2） 若的一个极值点到直线的距离为1，求的值；（3） 求方程的根的个数.解：（1） 且故在点处的切线方程为： （2）由得，故仅有一个极小值点，根据题意得： 或 （3）令 当时， 当时， 因此，在时