陕西省龙凤培训学校七年级数学下册 第一章《整式的乘除》幂的运算学案（无答案）（新版）北师大版.doc

第一讲 整式的运算和幂的运算【知识要点】一、 单项式：1单项式的系数： 2单项式的次数： 二、 多项式: 1. 多项式的项数: 2. 多项式的次数:三、 整式: 单项式和多项式统称为整式。四、幂的运算:文字表述符号表示注意事项同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 推广： 逆用：幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。 防混：不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆逆用：积的乘方的法则积的乘方，等于各因数乘方的积 推广： 商的乘方（可逆用）逆用：同底数幂的除法法则底数不变，指数相减。逆用：零指数 （a0）理解帮助：负指数（a0）理解帮助：【注意】：以上性质可以逆用 说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：（a）n（ba）n【典型例题】一.整式的运算：例1. 若是关于的三次二项式，试求的值。变式练习：1. 要使关于x、y的多项式不含3次项，则 . 2. 观察下面的一列单项式：根据其中的规律，得到的第10个单项式为 ，第个单项式为 。 3. 单项式x的系数是 ，次数是 。 4. 下列代数式 （2） （3） （4） （5）（6） 中单项式有 ，多项式有 ，整式有 。 例2已知：，求下列各式的值。（） （2）变式练习：.已知，则 .若，都是次多项式，则多项式的次数为（） 、一定是 、不超过4 、不低于4 、一定是8 例3 已知代数式的值为，则的值为多少？变式练习：.若，则。.已知，当时,，那么当时， 。.若则=_。4.已知，则代数式的值为_。二.幂的运算：例4计算（1） (2) （3） （m为正整数）三、幂运算公式逆用：例5 已知：，求m的值。变式练习：1. 若 ，则= 。 2. 已知：，则 。3.计算： ； 4、计算：= 。【名书名校竞赛中考在线】 1. 已知：，求a、b、c的关系。 (河北省竞赛题)2. 已知，求代数式的值。 （山东选拔赛试题）3. 已知：，求整数x的值。 （武汉市选拔赛试题）4、，则与的关系是 。5. 填空、选择题：（1）=_。 （福州市中考题）（2）已知 那么a、b、c、d从小到大的顺序是 。 （北京市竞赛题）（3）的值（ ）。 a. 与x,y,z的大小无关 b. 与x,y,z的大小有关c. 与z的大小无关 d. 与y,z的大小无关 （2010培优）(4) 下列四个式子的结果为的有（ ）。 a. b. c. d. (5) 若那么m,n的值是（ ）。 a. m=9,n=-4 b. m=3,n=4 c. m=4,n=3 d. m=9,n=66.计算：3. 若，求的值。 （2010培优）第二讲 同底数幂的乘法与积的乘方一、学习目标1经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义2了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题二、学习重点：同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算三、学习难点：对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用四、学习设计（一）预习准备预习书p2-4（二）学习过程1.试试看：(1)下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：=a3a4=a( )(2)根据上面的规律，请以幂的形式直接写出下列各题的结果：= = = = 2.猜一猜：当，为正整数时候，aman= (m、n都是正整数)3.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘 运算形式：（同底、乘法） 运算方法：（底不变、指加法）当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 用公式表示为 amanap = am+n+p （m、n、p都是正整数）练习1. 下面的计算是否正确? 如果错，请在旁边订正（1）a3a4=a12 （2）mm4=m4 ( 3）a2b3=ab5 （4）x5+x5=2x10（5）3c42c2=5c6 （6）x2xn=x2n (7）2m2n=2mn （8）b4b4b4=3b42填空：（1）x5 （ ）=x 8 （2）a （ ）=a6（3）x x3（ ）= x7 （4）xm （ ）x3m（5）x5x( )=x3x7=x( ) x6=xx( ) （6）an+1a( )=a2n+1=aa( )例1计算（1）(x+y)3 (x+y)4 （2）（3） （4）（m是正整数）变式训练计算（1）（2） （3）. （4） （5）（a-b）(b-a)4 （6） （是正整数）拓展1、填空（1） 8 = 2x，则 x = （2） 8 4 = 2x，则 x = （3） 3279 = 3x，则 x = .2、 已知am=2，an=3,求的值 3、 12999. c o m4、已知的值。 5、已知的值。回顾小结1同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字2解题时要注意a的指数是13解题时，是什么运算就应用什么法则同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆4-a2的底数a，不是-a计算-a2a2的结果是-(a2a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a45若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算1.2 幂的乘方与积的乘方（1）一、学习目标：1能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则2能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算二、学习重点：会进行幂的乘方的运算。三、学习难点：幂的乘方法则的总结及运用。回顾：计算（1）（x+y）2（x+y）3 （2）x2x2x+x4x （3）（0.75a）3（a）4 （4）x3xn-1xn-2x4（二）学习过程：一、 1、探索练习： (62)4表示_个_相乘.a3表示_个_相乘.(a2)3表示_个_相乘.在这个练习中，要引学习生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。 （62）4=_ =_(根据anam=anm) =_ （33）5=_ =_(根据anam=anm) =_ 64表示_个_相乘.（a2）3=_ =_(根据anam=anm) =_（am）2=_ =_(根据anam=anm) =_（am）n=_ =_(根据anam=anm)=_即 （am）n =_(其中m、n都是正整数)通过上面的探索活动,发现了什么?幂的乘方,底数_,指数_2、例题精讲类型一 幂的乘方的计算例1 计算 (54)3 （a2）3 (ab)24 随堂练习（1）（a4）3m； （2）（）32； (ab)43类型二 幂的乘方公式的逆用例1 已知ax2，ay3，求a2xy； ax3y随堂练习（1）已知ax2，ay3，求ax3y（2）如果，求x的值随堂练习已知：84432x，求x类型三 幂的乘方与同底数幂的乘法的综合应用例1 计算下列各题 （1） （a）2a7 x3xx4（x2）4（x4）2 （4）（ab）2（ba）3、当堂测评 填空题：（1）(m2)5_；()32_；(ab)23_（2）-(-x)52(-x2)3_；(xm)3(-x3)2_（3）(-a)3(an)5(a1-n)5_； -(x-y)2(y-x)3_（4） x12（x3）（_）（x6）（_）（5）x2m(m1)()m1 若x2m3，则x6m_（6）已知2xm，2yn，求8xy的值（用m、n表示）判断题（1）a5+a5=2a10 （ ）（2）（s3）3=x6 （ ）（3）（3）2（3）4=（3）6=36 （ ）（4）x3+y3=（x+y）3 （ ） （5）（mn）34（mn）26=0 （ ）4、拓展：1、 计算 5（p3）4（p2）3+2（p）24（p5）22、 若（x2）n=x8，则m=_.3、 若（x3）m2=x12，则m=_。4、 若xmx2m=2，求x9m的值。5、 若a2n=3，求（a3n）4的值。6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.积的乘方回顾：1、计算下列各式：（1） （2） （3）（4）（5）（6）（7） （8） （9）（10） （11）2、下列各式正确的是（ ）（a） （b） （c）（d）（二）学习过程：探索练习：1、 计算：2、 计算：3、 计算：从上面的计算中，你发现了什么规律？_ 4、猜一猜填空：（1） （2）（3） 你能推出它的结果吗？结论：例题精讲类型一 积的乘方的计算例1 计算（1）（2b2）5； （2）（4xy2）2 （3）(ab)2 （4）2（ab）35随堂练习（1） （2） （3）(-xy2)2 （4）3（nm）23类型二 幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、整式的加减混合运算例2 计算（1）-(-x)52(-x2)3 （2）（3）（xy）3（2x2y）2（3x3y）2 （4）（3a3）2a3（a）2a7（5a3）3随堂练习（1）(a2n-1)2(an2)3 （2） (-x4)2-2(x2)3xx(-3x)3x5（3）(ab)23(ab)34类型三 逆用积的乘方法则例1 计算 （1）820040.1252004； （2）（8）20050.1252004随堂练习0.2520240 -32003()2002类型四 积的乘方在生活中的应用例1 地球可以近似的看做是球体，如果用v、r分别代表球的体积和半径，那么vr3。地球的半径约为千米，它的体积大约是多少立方千米？随堂练习（1）一个正方体棱长是3102 mm，它的体积是多少mm？（2）如果太阳也可以看作是球体，它的半径是地球的102倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”当堂测评一、判断题1(xy)3xy3() 2(2xy)36x3y3() 3(-3a3)29a6()4(x)3x3() 5(a4b)4a16b()二、填空题1-(x2)3_，(-x3)2_2(-xy2)2_381x2y10 ()2 4(x3)2x5_ 5(a3)n(an)x(n、x是正整数)，则x_6.（0.25）11411_ （0.125）2008201_4、拓展：（1） 已知n为正整数，且x2n4求（3x3n）213（x2）2n的值 （2） 已知xn5，yn3，求（xy）2n的值（3） 若m为正整数，且x2m3，求（3x3m）213（x2）2m的值回顾小结：1.积的乘方 （ab）n （n为正整数）2语言叙述： 3积的乘方的推广（abc）n （n是正整数）第三讲 整式的乘法【知识要点】一、整式的乘法：1单项式与单项式相乘的法则： 2单项式与多项式相乘的法则： 3多项式的乘法法则： 二、乘法公式： 1. 平方差公式 （a+b）(a-b)=a-b 2. 完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b 3. 常用的变形公式 a+b=(a+b)-2ab (a-b)=(a+b)-4ab三、简便运算公式： （x+a）(x+b)=x+(a+b)x+ab 如：（x+1）(x+2)=x+3x+2 (m-1)(m-3)=m-4m+3 (a-2) (a+5)=a+3a-10 (y-7)(y+2)=y-5y-1【典型例题】 一、整式乘法：例1 计算:（1）（-2x）(-3xy)y= (2) (-2a)(3a-4b+1)= (3) (x-2y)(5a-3b)= 变式训练：1.下列计算结果错误的是（ ） a .(2xy)y=4xy b. 2ab(-)= c. (y-1)(y-2)=y-3y+22.若,则m、n、k分别为（ ）a. 6、3、1 b. 3、6、1 c. 2、3、1二、平方差公式的应用例2 用平方差公式计算：1. 2011-20102012= 2.（a+3）(a-3)(a+9)= 3.（x+y-z）(x-y+z) =变式训练：1.下面的计算中，错误的有 （ ） （2a-2）(2a+3)=4a-6 (3b+4)(3b-4)=3b-16 (5-x)(x+5)=x-25 三、完全平方公式的应用例3 已知正方形的边长为a-,则这个正方形的面积为（ ） （云南中考题） a. a+ab- b. a c. a-ab+ d.a-ab+变式训练：1下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ） a（m - 2n）2= m2+4n2 b（m2n）2=m24n2 c（m - 2n）2=m22mn+4n2 d（m2n）2=m2+4mn+4n22. 下列多项式属于完全平方式的是( ) a. x24x+8b. x2y2-xy+ c. x2xy+y2d. 4x2+4x1 变式训练：若4a+ 25+m是关于字母a的一个完全平方式，则m= （哈尔滨中考题）例5. 1. 已知: x+y=3, xy=-2, 求 x+y (x-y) 变式训练：已知x-3x+1=0, 求 1.已知 ， (河南中考题) 则代数式 的值是（ ） a.4 b.3 c.2 d.12.若a=，则a-1996的末位数是（ ） a. 0 b. 1 c. 7 d. 9 3.计算： 1.2345+0.7655+2.4690.7655 5.已知: ，求（a+b）的值。 （宁波中考题）6.已知 ，求证: a=b=c （2011培优）第四讲 简单推理相交线学习目标 1、了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。 2、理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。 3、通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。重难点重点：邻补角、对顶角的概念及性质；难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。【课前预习】1、知识回顾：两个角的和是 ，这样的两个角叫做互为补角，即其中一个角是另一 个角的补角。同角或 的补角 。2、下列各图中1、2是邻补角吗？为什么？ （1） （2） （3）3、下列各图中1、2是对顶角吗？为什么？ （1） （2） （3） 课堂学习探究点一：邻补角、对顶角1、邻补角：有一条（ ）,而且另一边（ ）的两个角叫做邻补角.2、对顶角：如果两个角有一个（ ）, 而且一个角的两边分别是另一角两边的（ ）,那么这两个角叫对顶角.3、总结：两条直线相交所构成的四个角中，邻补角有 对。对顶角有 对。对顶角形成的前提条件是两条直线相交。a o b1dcfe问题1：如图： （1）1的对顶角是（ ）a、boc b、boe和aofc、aoe d、aod（2）1的邻补角是（ ）a、aof b、boe和aofc、boc d、boc和aof探究点二：邻补角、对顶角的性质1、邻补角的性质：邻补角 。a o b12如图： 1与2互为邻补角1+2= 2、对顶角的性质：对顶角的性质是由邻补角的性质推导出来的，想一想，完成推理过程。如图： 证：1+2 = ，2+3 = （邻补角定义）1=1800 ，3 =1800 (等式性质）1=3 (等量代换)由上面推理可知，对顶角的性质：对顶角 。问题2：如图，已知直线a、b相交。140，求2、3、4的度数。解：1+2=1800( )2=1800 -1= 3=1= ，4=2= ( )你还有别的思路吗？试着写出来。变式1：若2是1的3倍，求3的度数？变式2：若2-1=400, 求4的度数？拓展提升：1、如图,直线a,b,c两两相交,1=23,2=65,求4的度数.2、如图, 直线ab,cd相交于点o,oe平分aod,aoc=120,求bod,aoe的度数.3、直线ab、cd、ef相交于点o，aoe=30,aoc=2boc，如图，求dof的度数。【当堂检测】(1)如下图，直线ab、cd交于点o,oe为射线,那么 ( ) a)aoc和boe是对顶角； b)coe和aod是对顶角； c)boc和aod是对顶角； d)aoe和doe是对顶角。(2)如上图中直线ab、cd交于o,oe是boc的平分线且boe=50度，那么aoe=（ ）a）80度 b）100度 c）130度 d）150度第五讲 平行线的条件学习目标: (1)使学生进一步理解并掌握判定两条直线平行的方法；(2)了解简单的逻辑推理过程.重点：判定两条直线平行方法的应用；难点：简单的逻辑推理过程.一、预习导学1、判定两条直线平行的方法有哪些？判定方法1：_判定方法2：_判定方法3：_abcdef12 34 图1 2、如图(1)（1）如果1=4，根据_，可得abcd；（2） 1=2，根据_，可得abcd；（3） 果1+3=1800，根据_，可得abcd .a db c 1 图2 如图(2)（1）如果1=d，那么_；（2）如果1=b，那么_；（3）如果a+b=1800，那么_（4）如果a+d=1800，那么_；3、如图3，直线ad与bc被直线ab所截，1和2是 ，2和dab是 ，5和6是直线 和直线 被直线 所截而形成的内错角； 图3 图4 4、如图4，1和2是 角，它们是由直线 和直线 被直线 所截而成的，edc和dab是 角，它们是由直线 和直线 被直线 所截而成的；5、如图5， 若1 = 2，则 ， 理由是： 若1 = g，则 ， 理由是： 若1 = c，则 ， 理由是： 若2 3 = 180，则 ， 理由是： 。 图6 图56、如图6，两条直线ab、cd被第三条直线ef所截，1 = 80，下列结论正确的是 （ ）a、若2 = 80，则abcdb、若5 = 80，则abcdc、若3 = 100，则abcd d、若4 = 80，则abcd 7、如图7，直线ad与ce交于d，且1e = 180，试问：ab与ef平行吗？请说明理由。 图7 8、如图8，若a =fdb，a =f，则有abef，试说明理由。 图8 9、 如图9，abc =bcd，abccdg = 180，试问：bc与gd平行吗？若平行，请说明理由。 图9 二、课堂学习研讨（一）结合以下习题考虑判断两直线平行有哪些方法。1、如图10，,如果3=7,或_,那么_/_,理由是_;如果5=3,或_,那么_/_,理由是_;如果2+ 5= _ 或者_,那_/_理由是_.b a d c 图10 图11 3、如图11(1)如果已知1=3，则可判定ab_,其理由是_;(2)如果已知4+5=180，则可判定_/_,其理由是_;(3)如果已知1+2=180，则可判定_,其理由是_;(4)如果已知5+2=180那么根据对顶角相等有2=_,因此可知4+5= _,所以可确定 _,其理由是_;(5)如果已知1=6，则可判定_,其理由是_.4、如图12,若2=6,则_如果3+4+5+6=180那么_,如果9=_,那么adbc; 图13 如果9=_,那么abcd. 图12 5、如图13，在下列结论给出的条件中，不能判定abdf的是（ ） a、2a = 180 b、3 = a c、1 = 4 d、1 = a（二）初步应用 1、在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?2、如图，已知cdad，daab，12。则df与ae平行吗？为什么？3、如图，已知b65，eac130，ad平分eac，能否判断adbc？为什么？4、如图，已知1a，2b。则mn与ef的位置关系如何？为什么？13、看图填空，补全已知be平分abd，ce平分bcd，1+2=900求证ab/cd的过程： 图12 证明：如图，因为be平分abd（已知）所以 _ = 21（ ）因为de平分bdc（已知）所以 _ = 22（ ）所以 = 2122 = 2（12）又因为12 = 90（已知） 所以 =290=180，所以 （ ）（三）、随堂小测1、如图，图中1和e是_和_被_所截的_角； 2和3是_和_被_所截的_角； 1和4是_和_被_所截的_角； bce和e是_和_被_所截的_角。 图1 2、根据图2，下列推理判断错误的是（ ） a、因为1 = 2，所以cdb、因为3 = 4，所以cdc、因为1 = 3，所以cdd、因为2 = 3，所以ab3、如图3，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：1 = 5 1 = 7 23 = 1804 = 7，其中能判定ab的条件的是 （ ）a、 b、 c、 d、 图3 图2 4、填注理由 图4 如图，已知：直线ab，cd被直线ef，gh所截，且1=2，求证：ab/cd 证明：1=2 （ ）又2=3 （ ）1=3 （ ）abcd （ ） 图4 5、 所示，1=2，bac=200，acf=800.fc与ad平行吗？为什么？ab c def12 ab cd e126、如图所示，如果1=470，2=1330，d=470，那么bc与de平行吗？ab与cd平行吗？e dc fa b7、如图所示，已知d=a，b=fcb，试问ed与cf平行吗？ 8、如图，baf = 50，ace = 140，cdce，则有：dcab，试说明理由。9、如图,已知: cd平分ecb,1=2,求证: decb.第六讲 平行线的性质学习目标：1、 使学生了解平行线的性质和判定的区别。2、 掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算。 一、课前复习：已知：如图(1)3=b，则efab，依据是 (2)2+a=180,则dcab,依据 (3)1=4，则gcef，依据是 (4)gc ef,ab ef,则gcab，依据 二、实践探究：探究 根据同位角相等可以判定两直线平行，反过来如果两直线平行同位角之间有什么关系呢？ 内错角，同旁内角之间又有什么关系呢？猜想一下？然后完成下面的探究：（一）1探究1已知：如图直线l1l2，直线l3、l4与它们相交，请度量1和2的大小，你能发现 再度量一下3和4的大小，你还能发现 如果两直线不平行，上述结论还成立吗？3. 结论：平行线的性质1： （二）、探究21.如图，已知：a/ b 那么3与2有什么关系 ab （ ） 1= 2( ), 又 3 = _(对顶角相等), 2 = 3.（ ）结论：平行的性质2： 2.如图：已知a/b，那么2与 3有什么关系呢？（请你按照上一题完成平行性质3 的推理过程）结论：平行的性质3： 3、整理归纳：平行线的性质： 符合语言 ： ab ( 已知 ) 1=2( )ab( 已知 ) 1=3( )ab( 已知 ) 1+4=180 ( ) 三、课堂巩固1、如图，已知平行线ab、cd被直线ae所截（1）从 1=110 可以知道 2 是多少度？为什么？（2）从 1=110 可以知道 3是多少度？为什么？（3） 从 1=110 可以知道 4 是多少度？为什么？2、如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行。第一次拐的角b是142，第二次 拐的角c是多少度？为什么？ 3、如图直线 a b,直线b垂直于直线c则直线a垂直于直线c吗?4 、 如图是一梯形机器零件模型,下底两角残缺了.现只知上底两角度数为115 和100.工人师傅不用测量就知道下底两角度数,你知道吗?为什么?5、如图,直线ab, 1=54,2, 3, 4各是多少度?6、如图：已知1= 2求证： bcd+ d=180证明：如图 1= 2（已知）ad_( )ad _（已证） bcd+ d=180（ )比一比：平行的判定与性质有什么不同？四、自我测试1、如图：1= 2 （已知） de bc ( ) 3 =4 （ ）2、如图: ab cd （已知） 1= 3 （ ） 又3= 2 （ ） 1= 2 （ ） 又4+ 2 =180 （ ） 1+ 4 =180 （ 3、 如图ab cd,则下面结论中正确的是:（ ） a. 1= 2 b.3= 4 c. a= c d.1+ 2+ 3+ 4= 180 4、已知ade=60 b=60 aed=40求证：（）debc （） c的度数5、如图所示，已知：ae平分bac，ce平分acd，且abcd求证：1+2=906、如图所示，已知：1=2，求证：3+4=1807、如图，ef过abc的一个顶点a，且efbc，如果b40，275，那么1、3、c、bacbc各是多少度，为什么？ 8、如图，abc=140，cde=130，abde，那么bccd吗？请说明理由。（可用多种方法）第七讲 全等三角形性质导学案学习目标：1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。2.掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关问题。3.会用符号表示全等三角形，培养学生运用数学符号能力。学习重点难点：运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题。学习过程：一、课前复习1、能够_的图形就是全等形,能够完全重合的两个三角形叫做_ ，两个全等图形的_和_完全相同。 2、一个图形经过_、_、_后所得的图形与原图形 。 3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。“全等”用“ ”表示，读作 。4、全等三角形的性质：全等三角形的 相等， _o_c_a_d_b相等。 5、如图所示，ocaobd， 对应顶点有：点_和点_，点_和点_，点_和点_ _； 对应角有：_和_，_和_，_和_； 对应边有：_和_，_和_ _，_和_。 6、 三、课堂合作探究1、如图，abccda，ab和cd，bc和da是对应边。写出其他对应边及对应角。 2、如图，abnacm，b和c是对应角，ab与ac是对应边。写出其他对应边及对应角。3、如图efgnmh,f和m是对应角.在efg中，fg是最长边.在nmh中，mh是最长边.ef