matlab复变函数画图形.doc

第四篇 计算机仿真第二十一章 计算机仿真在复变函数中的应用基于MATLAB语言的广泛应用，我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍，而其它的数学工具软件（MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE）的仿真方法是类似的 本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证；并介绍仿真计算留数、积分的方法；以及复变函数中Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换21.1 复数运算和复变函数的图形21.1.1 复数的基本运算 1复数的生成复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi；另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模2复矩阵的生成创建复矩阵有两种方法(1)一般方法例 21.1.1创建复矩阵的一般方法【解】仿真程序为A=3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i 5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i（说明： %后为注释语句，不需输入）(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵 【解】仿真程序为 re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im%运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i 0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i21.1.2 复数的运算1 复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现调用形式如下：real(z) 返回复数 z 的实部；imag(z) 返回复数 z 的虚部.2 共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现调用形式为：conj(z) 返回复数 z 的共轭复数.3 复数的模与辐角复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现调用形式为：abs(z) 返回复数 z 的模； angle(z) 返回复数 z 的辐角.例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角（1）； （2）； （3）； （4）【解】 a=1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i8-4*i21+i%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i real(a)%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000 (注明：凡ans 及其后面的内容均不需输入，它是前面语句的答案本句ans 是real(a)的答案) imag(a)%ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000 conj(a)%ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 1.0000 + 3.0000i abs(a)%ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623 angle(a)%ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.24904 复数的乘除法复数的乘除法运算由“*”和“/”实现5 复数的平方根 复数的平方根运算由函数 sqrt 实现调用形式如下：sqrt(z) 返回复数 z 的平方根值6 复数的幂运算复数的幂运算的形式是 zn，结果返回复数 z 的 n 次幂7 复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和log实现调用形式如下：exp（z） 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;log（z） 返回复数 z 的以 e 为底的对数值.例21.1.2 求下列式的值（1）； （2）【解】log(-10)%ans= 2.3026 + 3.1416i exp(pi/2* i)%ans =0.0000+ 1.0000i图21.1 复变函数的图形21.1.3 复变函数的图形 1.整幂函数的图形 例 21.1.6 绘出幂函数 的图形. 【解】 z=cplxgrid(30);cplxmap(z,z.2);colorbar(vert); title(z2) %(如图21.1所示) 图21.2 复变函数的图形2. 根式函数的图形 例 21.1.7 绘出幂函数 的图形 【解】 z=cplxgrid(30);cplxroot(2);colorbar(vert); title(z1/2 ) %(如图21.2). 3. 复变函数中对数函数的图形例 21.1.3 绘出对数函数的图形. 图21.3 对数函数【解】 z=cplxgrid(20);w=log(z);for k=0:3 w=w+i*2*pi; surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w); hold on title(Lnz)endview(-75,30) %(如图21.3)例 21.1.4 计算机仿真编程实践：若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式 成立.【解】仿真程序n=round(1000*random(beta,1,1)+1% n=input(please enter n=) su=1; sum=0; for s=1:n N(s)=exp(i*2*s*pi/n); end for k=1:n for s=1:n if s=k su=1/(N(k)-N(s)*su; endend sum=sum+su; su=1;end sum%仿真验证结果为：n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i其中n的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。另一篇：matlab表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。单值函数：单叶多值函数：多叶matlab使用下列函数进行复变函数的做图：cplxgrid：构建一个极坐标的复数数据网格z=cplxgrid(m); %产生（m+1）*（2*m+1）的极坐标下的复数数据网格。最大半径为1的圆面cplxmap：对复变函数做图cplxmap(z,f(z),optional bound) %画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部cplxroot：画复数的n次函数曲面cplxroot(n) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面cplxroot(n,m) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面,为（m+1）*（2m+1）的方阵例1：画复数z3的图形z=3*cplxgrid(30);cplxmap(z,z.3);colorbar其结果如图可见，自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部由于函数为单页的，所以函数是单值的例2：画复数（z-0.5）0.5的图形仿照cplxroot函数的程序，编程如下m=20;n=2;r=(0:m)/m;theta=pi*(-m:m)/m;z=r*exp(i*theta)-0.5;w1=z.(1/n);subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1);colorbarw2=w1.*exp(i*2*pi/n);subplot(2,2,2),surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2);colorbarsubplot(2,1,2)surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1);hold onsurf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2);colorbar如果仅使用 w1=z.(1/n);，则所得结果为图（2，2，1）可见，对于多值函数，MATLAB仅仅是对其主值进行计算。例3：复变函数1/（1-z）的级数展开复变函数1/（1-z）是级数展开中常用的一个函数。当abs（z）1时，它的罗朗展开式为1/(1-z)=求和（k=-无穷,-1）zk泰勒展开与罗朗展开的区别在复变函数里面，一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数. 从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式m=30;r=2*(0:m)/m;theta=pi*(-m:m)/m;z=r*exp(i*theta)-0.5;z(find(z=1)=nan;z1=z;z1(abs(z1)=1)=nan;w1=1;u1=1;for k=1:100 u1=u1.*z1; w1=u1+w1;endsubplot(2,2,1)cplxmap(z1,w1)colorbarz2=z;z2(abs(z2)=1)=nan;w2=1./z2;u2=1./z2;for k=1:100 u2=u2./z2; w2=u2+w2;endsubplot(2,2,2)cplxmap(z2,-w2)colorbarsubplot(2,2,3)cplxmap(z,1./(1-z)colorbartemp1=caxis;subplot(2,2,4)cplxmap(z1,w1)hold onc