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冲压件的三维曲面拓展与桥接(硕士论文)200518.pdf.pdf 免费下载
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文档简介
论文分类号 TG386 单 位 代 号 10183 密 级 内部 研究生学号 2200518 吉林大学 硕士学位论文 冲压件的三维曲面拓展与桥接 冲压件的三维曲面拓展与桥接 Surface Extension and Surface Bridging for the Three Dimensional Parts of Sheet Metal 作者姓名 彭作者姓名 彭 林林 法法 专专 业 材料加工工程业 材料加工工程 导师姓名导师姓名 及及 职职 称 李明哲称 李明哲 教授教授 论文起止年月 2001 年 9 月至 2003 年 2 月 论文起止年月 2001 年 9 月至 2003 年 2 月 提 要 随着国民经济的发展 冲压件已经得到越来越广泛的运用 传统的冲压件 设计 加工方法已经远远不能满足需要 新的模具 CAD 技术 加工方法得到越 来越广泛的运用 多点成形是以可实时变化的基本体群代替传统模具成形的柔 性加工新技术 多点成形 CAD CAM 软件的开发研究对多点成形技术与设备的实 际应用起着至关重要的作用 曲面拓展和桥接是多点成形 CAD 系统的重要组成 部分 本文中研究了满足曲率连续的曲面柔性拓展方法 并对曲线 曲面在拓展 处的连续性要求进行了详细的分析 推导出曲面连续的条件 总结了曲面柔性 拓展的详细步骤 对拓展后曲面的非标准 NURBS 形式进行了标准化 提出了曲面桥接的方法 详细介绍了曲面桥接的步骤 并针对曲面桥接方 法 讨论了曲面构造和曲面间拼接的问题 导出曲面拼接的连续性条件 且结 合工程运用给出了几何表示形式 文中对曲线 曲面的光顺处理进行了初步的 讨论 给出了曲线 曲面光顺的一般性原则 对曲线光顺的几类问题进行详细 的分析 并各自给出相应的光顺准则 提出了基于能量法的曲面光顺方法 建 立了能量法的数学模型 对曲面光顺的网格能量法进行详细的阐述 对影响曲 面拓展和桥接的几个关键的参数进行了详细的分析 讨论了拓展曲面或桥接的 性质与曲面的连续性要求 拟合次数和拟合点数之间的关系 介绍了 MPF 曲面拓展系统的开发情况 采用 CAD 系统开发的通用准则 设 计了系统开发的流程 对系统的输入 输出作了详细的分析 并结合 IGES 的标 准和内部 MPF CAD CAM 一体化系统的 INP 文件格式设计了 I O 接口 对曲面拓 展和桥接系统的实现作了简单的介绍 其中对模块参数化和曲面控制点交互处 理作了一些详细的描述 对柔性曲面拓展和曲面桥接 给出了各自曲面拓展的 实例 关键词 多点成形 曲面拓展 曲面桥接 过渡曲面 压边面 连续条件 随着国民经济的发展 冲压件已经得到越来越广泛的运用 传统的冲压件 设计 加工方法已经远远不能满足需要 新的模具 CAD 技术 加工方法得到越 来越广泛的运用 多点成形是以可实时变化的基本体群代替传统模具成形的柔 性加工新技术 多点成形 CAD CAM 软件的开发研究对多点成形技术与设备的实 际应用起着至关重要的作用 曲面拓展和桥接是多点成形 CAD 系统的重要组成 部分 本文中研究了满足曲率连续的曲面柔性拓展方法 并对曲线 曲面在拓展 处的连续性要求进行了详细的分析 推导出曲面连续的条件 总结了曲面柔性 拓展的详细步骤 对拓展后曲面的非标准 NURBS 形式进行了标准化 提出了曲面桥接的方法 详细介绍了曲面桥接的步骤 并针对曲面桥接方 法 讨论了曲面构造和曲面间拼接的问题 导出曲面拼接的连续性条件 且结 合工程运用给出了几何表示形式 文中对曲线 曲面的光顺处理进行了初步的 讨论 给出了曲线 曲面光顺的一般性原则 对曲线光顺的几类问题进行详细 的分析 并各自给出相应的光顺准则 提出了基于能量法的曲面光顺方法 建 立了能量法的数学模型 对曲面光顺的网格能量法进行详细的阐述 对影响曲 面拓展和桥接的几个关键的参数进行了详细的分析 讨论了拓展曲面或桥接的 性质与曲面的连续性要求 拟合次数和拟合点数之间的关系 介绍了 MPF 曲面拓展系统的开发情况 采用 CAD 系统开发的通用准则 设 计了系统开发的流程 对系统的输入 输出作了详细的分析 并结合 IGES 的标 准和内部 MPF CAD CAM 一体化系统的 INP 文件格式设计了 I O 接口 对曲面拓 展和桥接系统的实现作了简单的介绍 其中对模块参数化和曲面控制点交互处 理作了一些详细的描述 对柔性曲面拓展和曲面桥接 给出了各自曲面拓展的 实例 关键词 多点成形 曲面拓展 曲面桥接 过渡曲面 压边面 连续条件 第一章 绪论 1 1 多点成形简介 无模成形 1 是近年来日趋发展与成熟的一种崭新的塑性加工方法 它的基本思想是采 取某些特殊措施 在同一设备上只需作某些基本调整 即可成形多种复杂形状的工件 从 而可以取代模具的设计与加工 实现一机多用的目的 目前在国内外已出现的无模成形方 法主要有如下几种 柔性辊轧制 滚球成形 喷丸成形 graft 成形 数控钣金以及本文重 点要研究的多点成形等 多点成形属于钣金曲面的无模成形范畴 它借助于高度可调的基本体群构 成所需的曲面形状 以实现大型板材的三维曲面成形 其实质是利用计算机来控 制离散基本体的相对高度 使其快速变化 以空间的离散点来逼近连续表面的柔 性加工方法 多点成形方法主要适用于多品种 小批量 大型板类件的三维曲面 成形 多点成形方法起源 发展于日本 其原始思想是利用可以互相错动的 钢丝束集 对 板材实行压制与成形 2 在多点成形的发展过程中 日本的东京大学 3 东京工业大学 4 京 都大学 5 等的学者们以及美国麻省理工学院的 David E Hardt 6 9 等人都进行了技术上的探讨 和实验研究 对其发展作出了一定贡献 他们制出了样机 但基本上停留在实验室阶段 李明哲 10 14 教授在日本日立公司从事博士后研究阶段 对多点成形技术作了大量细致 全面 的研究工作 使多点成形技术在工艺及设备上有了很大的突破 并主持研制成功了世界上 第一台实用样机 从而使多点成形技术从实验室阶段走向了实用化阶段 多点成形设备的发展经历了三个阶段 第一阶段 实用样机的初步探索 其标志是日本三菱重工业株式会社的熊本 15 等人开 发的三列压机 该压机上下各有三列冲头 每列为 10 个 通过对冲头的各种控制能够用 于一般板料的弯曲加工 加工时间约需传统加工方法的三分之一左右 但由于整体设计不 周 只能用于近似二维曲面成形 而不能用于复杂的三维曲面成形 第二阶段 为了完成某一研究任务或证实某一思想而设计的实验室装置 比如 八对 模装置 它是 1980 年由美国麻省理工学院的 Hardt 在研究 适于钣金成形 模具形状可 变的机器 时设计的实验室原型机 6 第三阶段 实用样机的出现 李明哲教授 1993 年在日本日立公司开发出了第一代多 点成形实用样机 整个设备由微机控制 集 CAD CAM CAT 于一体 在板成形过程中实现 了自动化 该多点压机已成功地用于三维曲面 如球面 马鞍面等 形状的实际生产 工 作效率比传统的线状加热等方法提高了数十倍 而且制品精度得到了极大的提高 表面质 量也能得到保证 1 2 多点成形中的曲面造型及曲面拓展 常见 CAD 系统的组成如图 1 1 所示 它主要由输入输出部分 包括对数据的查询和检 查 数据库 程序库 又称方法库 如有限元分析程序包 优化设计包等 应用程序及人 机对话界面等部分组成 MPF CAD CAM 多点成形计算机辅助设计与制造 系统也是基于这种开发模式完成 的 1 2 1 MPF CAD CAM 中的曲面造型 计算机辅助设计 CAD 和计算机辅助制造 CAM 16 是机械工程专业在自动化和计算机 应用方面发展起来的一门学科 CAD CAM 集成技术 17 18 在飞机 轮船 汽车的设计与制造 中广泛用于结构的有限元分析 设计数据库的建立 自由曲面设计 构件受力变形显示 工业自动化控制等诸多方面 曲面造型技术是 CAD 系统的关键技术之一 它是指构造曲面的方法和手段的总称 一般的曲面构造法有 扫描法 拉伸法 混成法 曲面拓展法 多点成形 MPF 是一种近年来才发展起来的新型柔性加工技术 主要是用于成形三 维曲面的 且非规则曲面较多 所以曲面造型是其他一切工作的基础 它在多点成形 CAD 系统中占有重要的地位 19 在 CAGD 中 曲面基本上可以分为两种类型 一类是初等解析 曲面 如球面 马鞍面 扭曲面等 20 其数学特征是可以用初等解析方程完全表达出来 另 一类是自由形曲面 汽车 船舶 飞机的外形零件基本上都为自由形曲面 其数学特征是不 可以用初等解析方程完全表达出来 我们需要表达的工件表面均属于这两类 或由这两类组 人机会话 绘图 应用程序 程序库 方法库 数据输入和输出 查询 数据完整性检查 数据库 图 1 1 CAD 系统环境的基本组成 Fig 1 1 Elemental compose of CAD system 合而成 在这里我们选择了非均匀有理 B 样条 NURBS 方法来进行工件表面的曲面造型 在 MPF CAD CAM 21 中 针对不同的原始数据 形成了四种输入方法 四条边界法 网 点坐标法 截面轮廓线法和规则几何形状法 1 2 2 曲面拓展的几种方法 曲面的拓展是指从原有曲面出发按一定的要求和规则 把曲面拓展扩大的 一种曲面构造方法 曲面拓展是 CAD 系统曲面造型中的重要组成部分 由于它 涉及到曲面之间拼接 曲面间连续性保证等一系列问题 所以这种造型方法也是 曲面造型中最为复杂的方法 曲面的拓展由于考虑的因素比较多 分类的标准也不完全相同 因此曲面 拓展的方法也各异 如果 考虑是否进行曲面分割 即按拓展后曲面与原曲面的关系来分类可 以把曲面分成两类 1 整体拓展法 顾名思义 利用这种方法生成的拓展曲面与原曲面连成一体 这种曲 面拓展方法对于不同的曲面所需要的工作量也不相同 对于用几何参数描 述的规则曲面 这种方法非常容易实现 我们只需要通过改变几何参数 把原有的曲面进行放大就完成了曲面的拓展 由于这种方法只是修改曲面 的几何参数 所以曲面描述的复杂度没有增加 在通常情况下 规则的几 何曲面的拓展都是通过这种方法来实现 但是 对于自由曲面情况就不一 样了 由于自由曲面大多数是拟合曲面 如 NURBS 曲面 是通过控制点 利用不同的拟合方法来形成曲面的 所以每一次曲面的拓展都会带来控制 顶点的增加 因此这种方法必然增加曲面描述的复杂度 2 分割拓展法 分割曲面拓展法是指原有曲面经过拓展后 拓展曲面与原曲面分属于 两个不同的曲面 这种曲面的拓展方法一般只应用于复杂的自由曲面造型 中 而规则的参数化曲面很少采用这种方法 由于拓展后曲面与原曲面是 不同的曲面 所以在采用这种方法时 关键的技术是如何保证拓展曲面与 原曲面的几何连续 相邻边的光滑过渡等 曲面拓展后 拓展曲面与原曲面的连续性保证是衡量曲面拓展质量的重要 因素 如果按两个曲面的连续性来分类的话 曲面拓展法又可以分为以下几种方 法 1 连续性不变曲面拓展法 曲面的这种拓展方法 一般是指规则的几何参数曲面 由于规则的参 数化曲面在拓展时一般只是作一下参数的修改 所以拓展后的曲面不改变 原有曲面的连续性 对于这种曲面我们在进行曲面拓展的时候 也不讨论 其连续性 2 切平面连续的曲面拓展法 切平面连续的曲面拓展是指在曲面拓展后 原曲面与拓展曲面保证切 平面是连续的 也就是两块曲面片在它们的公共边界上的每一处都具有相 同的切平面 这是两块曲面光滑连接过渡的基本要求 3 曲率连续的曲面拓展法 这种曲面的拓展方法要求较高 它不但要求曲面几何连续 即有公共 的边界 切平面连续 即在公共边界上有相同的切平面 对公共边上两 曲面片的曲率也提出了要求 通过这种方法拓展后的曲面如果是二次以上 的曲面 曲面在边界处达到 C2连续 能够使拓展曲面与原曲面比较光滑的 过渡 得到效果较好的曲面 这种方法也是曲面拓展中较为复杂的一种方 法 不过由于这种方法效果好 一般情况下都能满足设计要求 所以这种 方法得到了广泛的应用 1 2 3 曲面拓展的研究现状 1962年Beizer 22 提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统 名为UNISURF 随后 Forrest 23 Gordon 和 Riesenfeld 24 等对 Bezier 方法作了深入研究 揭示了 Beizer 与 Bernstein 多项式的联系 从而使其具有更坚实的理论基础 60 年代末 70 年代初 在 Bezier 方法的基础上 人们开始注意 B 样条理论在自由曲线曲面 造型中的运用 最初的成果包括 Riesenfeld Gordon Coons Versprille 25 和 Clark 26 等的论著 70 年代到 80 年代 NURBS 方法得到了广泛的研究和运用 70 年代 初 Versprille 完成了有关 B 样条的博士论文 80 年代 Lane 和 Cohen 等提出了 离散 B 样条和分割技术 Boehm 提出了 B 样条节点插入算法 27 波音公司的 Fuhr 和 Blomgren 实现了 NURBS 曲线 曲面与 Beizer 曲线 曲面的相互转换 随后 Piegl 和 Tiller 28 等人系统的论述了 NURBS 方法和具体运用 自 70 年代中期开始 国内对 Beizer 方法作了大量的研究 早期的成果包括 常庚哲 吴骏恒 29 苏步青 刘鼎元 30 汪绍国和施法中 31 等人的论文 席平研 究了 Beizer 曲面的求交和拼合 蒋钰开发了 Beizer 曲线曲面造型的原型系统 在国内对于 NURBS 的研究开始于 70 年代末 北京航空航天大学对非均匀 B 样 条和 NURBS 方法作了系统的研究 发表了大量的论文 施法中撰写了关于 NURBS 的专著 与此同时 南京航空航天大学和西北工业大学也深入探索了 NURBS 的理论和应用 据了解 基于 NURBS 曲面的拓展技术是一项较为复杂的工作 而且曲面拓 展的质量与曲面的可拓展性 曲面自身的性状 也有密切的关系 所以一些有关 曲面拓展的方法也不是十分实用的 尽管近年来 一些学者都在这一方面进行了 的研究 但是收效却不是很大 美国 Ohio 州 Toledo 大学材料加工工程系的 S Shetty 和 P R White 32 在 B 曲面拓展时选择的目标曲面的边界 拓展曲面 V 向 U 向 图 1 2 曲面拓展示意图 Fig 1 2 Surface extension picture 原曲面 样条曲线曲面拓展方面进行了重要的研究 Shetty 和 White 首次提出了基于边界 对称方式反射的曲面拓展方法 这种方法的提出很好地解决了由于曲面拓展的不 确定性给曲面拓展带来困难 此种方法由曲线的拓展派生得来 通过分别拓展自 由曲面 NURBS 控制网格上的曲面控制线 得到完整的拓展曲面网格 完成曲面 的拓展 通过这种方法拓展后的曲面 拓展曲面的效果较好 原曲面和拓展曲面 保证了曲面之间的切平面连续和曲率连续 国内也有一些学者在这方面进行了研究 如北京航空航天大学的余正生 雷毅 33 他们按曲面边界处的切向不变的原则 即曲面沿该曲面边界处的切向进 行拓展 提出了利用节点插入技术 按给定精度离散 NURBS 曲面的方法来进行 曲面拓展 首先 把 NURBS 曲面在需要拓展的边界上进行节点插入 按精度离散曲面 边界 得到离散的曲面边界点 然后对这些边界点按曲面在该点的切线方向拓展 即可得到拓展曲线的端点 再对这些端点进行插值 即可得到拓展曲面的边界线 由原曲面的边界线和拓展的曲面边界线可得到拓展曲面 利用这种方法生成的拓 展曲面只能是直纹面如图 1 2 和图 1 3 所示 这种曲面的拓展方法只能保证曲面在边界处的切平面连续的要求 但不能保证曲面在 边界上处处曲率连续的要求 只是在离散节点处的曲面曲率才得到连续性的保证 曲面 NURBS 曲面 的控制点越多 对曲面离散的精度越高 因而 拓展曲面的计算量非常大 1 3 本文研究的意义及主要内容 1 3 1 本文研究的意义 曲面拓展是曲面造型的一种重要手段 研究曲面拓展造型方法对于曲面 CAD 系统的发 展有十分重要的意义 拓展造型丰富曲面造型的方法 减轻设计者的劳动强度 对于 MPF CAD CAM 系统而言 曲面拓展造型的意义就更大了 在利用多点成形设备成形时 由于多点成形本身的成形工艺条件 必然要产生如直边效 应等缺陷 所以在设计多点成形件的时候 与普通模具成形件设计相比提出了更高的要求 要求设计者既要考虑成形件的所需形状 又要充分考虑多点成形自身的工艺特点 给设计带 来了一定的难度 设计一套使用户满意的多点成形 CAD 系统 要求系统自身有一套方法满 足多点成形工艺特性的要求 而不是把工作留给用户 1 MPF CAD CAM 工艺计算中曲面拓展的应用工艺计算中曲面拓展的应用 图 1 3 拓展后形成的直纹面 Fig 1 3 Straight surface after surface extension 在多点成形的过程中 许多成形件的尺寸往往远远小于多点成形设备的成 形尺寸 但是 如果我们事先只有成形件曲面形状的数据 只能通过传统的手法 计算出成形件确定部分的冲头行程位置数据 而其他部分的冲头点的行程数据就 无法得到控制 在实际的多点成形过程中 不希望相邻两排冲头之间的高度相差 很大 所以 要求找到一种能按一定的曲面拓展法保证各冲头之间的高度均匀变 化 使成形过程尽量均匀 生产出性能优良的制件 曲面拓展最重要的问题是 要保证拓展后的曲面与原曲面的连续关系 既要同时满足几何连续和曲率连续 曲面柔性拓展的方法保证了曲面的二阶连续 几何连续和曲率连续 通 过节点插入 曲面分割技术保证了拓展后的曲面不破坏原曲面的曲面形状 利用 这种方法 曲面拓展后曲面的性能较好 满足工艺计算的要求 2 成形件曲面与压边面之间的过渡曲面设计 成形件曲面与压边面之间的过渡曲面设计 在冲压成形中 成形件的质量与压边面的设计有密切的关系 一方面要设计合理 有 效的压边圈 另一方面还要找到压边面与成形件曲面之间的过渡曲面 这项工作通常在其他 CAD 软件中 多数采用分片曲面造型 再通过缝合 拼接完成 这种方法对设计者要求较 高 而且工作量大 设计出的过渡曲面有时还难以达到要求 利用曲面拓展方法 成形件曲面与压边面 之间的过渡曲面设计一气呵成 这样生成的过 渡曲面与成形件曲面和压边面的连续性较好 曲面光滑过渡 除个别情况以外 一般不再需 要调整 修改 总之 研究曲面拓展无论是对于 CAD 技 术的发展 还是对于 MPF CAD CAM 系统的 运用都具有十分重要的意义 3 曲面拓展对抑制直边效应的作用 曲面拓展对抑制直边效应的作用 多点成形时的直边效应 如图 1 4 所示 主要产生于柱面类件的成形中 成形后两端存 在未变形区 卸载后仍为直边 这种现象在整 体模具成形中也同样存在 多点成形又有其不 同的特点 多点成形时 直边效应产生的原因如下 由多点成形的变形过程可以看出 上面的最外基本体 E 不对板材施加作用 否则将导 致板材的反向弯曲 因此 自下模基本体 e 的接触点之外再没有弯矩的作用 必然是直边 从受力的特点上看 越是靠近边部 弯矩越小 而且开始接触的时间越晚 接触作用的时间也越短 故相对于中间部位来说 靠近边部的板材变形小 弹性 变形的成分所占的比例较大 卸载后弹性恢复也较大 因此曲率半径也变得越大 虽然在分段成形中亦存在直边效应 但是此效应可在分段成形中自然消除 如图 1 5 和图 1 6 所示 实际上在多点成形的应用中 对于大尺寸的制件分段成形是一种克服直边 效应的有效方法 采用这种方法 使板材的各个部位 均建立基本相同的变形过程 因此 各个部位所受的弯矩 接触作用的时间 产生的塑性变形以及产生的回弹也基本相同 从而 消除了由于变形不均匀引起的直边效应 图 1 4 直边效应示意图 Fig 1 4 Frank border domino effect 对于大尺寸制件我们通常采用分段成形来抑制直边效应 如果对于尺寸较小制件也采用 分段成形的话 就会使成形的效率下降 体现不出多点成形的优势 所以有必要找出一种针 对小型件的更有效的方法来抑制直边效应 最简单 有效的处理方法是 在设计板材的成形 形状时 有意识地保留一定的空间 使直边效应产生在所需成形形状的外边 使得经过裁减 以后的制件能够达到所要求的形状 1 3 2 本文研究的主要内容 多点成形作为新兴的柔性制造技术是以综合性的多学科知识为手段应用于塑性成形领 域的 以大型板材的三维成形为主要目的的板材成形技术 这项技术的推广与应用具有巨 大的社会和经济价值 多点成形 CAD CAM 软件的开发研究对多点成形技术与设备的实际 应用起着至关重要的作用 CAD 系统是多点成形软件的重要组成部分 而曲面拓展是多点 成形 CAD 系统曲面造型的重要内容 本文结合多点成形 MPF CAD 系统 重点讨论了有关自由曲面 NURBS 曲面 的曲 面拓展问题 本文的研究内容主要包括以下几部分 1 针对多点成形的特点 本文提出了曲面柔性拓展的方法 根据曲面的拓展量 进 行曲面分割 再对分割后曲面进行控制点的反射对称 得到拓展曲面 这种基于曲面控制点 对称的曲面拓展方法 生成的拓展曲面性质良好 并且与原曲面的连续性得到了很好的保证 2 对于板料曲面与模具压边面之间的过渡曲面设计 本文提出了一种基于桥接思想 的曲面拓展方法 利用曲面拼接方法 并根据曲面间的连续性条件 建立了曲面桥接的数学 模型 3 本文对影响桥接拓展曲面的参数 如曲面连续性要求 拟合次数 拟合点数等 进行了详细的分析 并对桥接曲面归纳出影响曲面质量的关键性因素 4 对拓展后曲面效果较差的拓展曲面 本文分析了曲线 曲面的光顺问题 讨论了 曲线 曲面的光顺准则 并对几种实用的光顺方法进行了详细的讨论 提出了网格能量法的 数学模型 对拓展后曲面提出了两种不同的曲面光顺方法 能量法和网格能量法 5 探讨了曲面 CAD 造型系统中曲面拓展造型子系统 曲面拓展模块的设计方案 并在 Microsoft VC IDE Integrated Develop Environment 下 利用 OPENGL 提供的图形 程序开发包实现了曲面拓展和曲面桥接 图 1 6 分段成形消除直边效应示意图 Fig 1 6 Eliminate Frank border domino effect by subsection forming 图 1 5 分段成形与一次成形的对比实验 结果 上件为分段成形 下件为一次成形 Fig 1 5 Results comparison between s bsection forming and once forming 第二章 曲面柔性拓展 在 MPF CAD CAM 系统设计中 曲面柔性拓展技术是一种非常重要的曲面造型技术 在多点成形系统中 基于 NURBS 形式表示的曲面柔性拓展对于柔性压边面的设计和对成形 制件的直边效应抑制都具有重要的实际意义 2 1 NURBS 理论在曲面造型中的应用 曲线和曲面表示是计算机图形学的重要内容 34 它是描述物体的外形及建立所画对象 数学模型的有力工具 曲线 曲面设计是计算机辅助几何设计 CAGD 中的一个重要研究 领域 光滑曲线和曲面是通过线段或多边形的逼近来绘制的 事实上 许多性能很好的曲线 和曲面在数学上不光只用少量几个参数 比如控制点 来描述 而且可以精确地描述实际曲 面 在计算机图形学中常用的曲线曲面有 Bezier 曲线曲面 B 样条曲线曲面和孔斯曲面 采 用分段或分片参数多项式的形式 这些曲线有许多特别适合于计算机图形需要的特点 目前 人们普遍采用的方法是给定曲线 曲面上的点集 Pi Pij 通过插值与拟合 设计曲线与曲面 拟合方法的主要指标有 所生成曲面的连续性 即曲面是否光顺 曲面对 所给型值点的逼近程度 拟合算法是否简单 可靠 快速 拟合形状的局部可控性等等 在 CAGD 中 关于曲面的设计尽管已经有了许多经典的方法 但都存在着各种限制和缺点 Coons 曲面需要给定型值点处的切矢值 且不具有形状的局部可控性 三次 Hermite 插值不 仅需要切矢值 而且拟合曲面不能满足 C2二阶导数连续的条件 三次 Bezier 曲线采用顶点 矢量表示曲线 曲面 相对于切矢量更加方便 但它靠曲线 曲面的拼接组合 Bezier 曲线 曲面 难以保证在拼接处的 C2连续性 七十年代 人们转向对 B 样条曲线 曲面拟合方法 的研究 由于采用分段或分片多项式样条的方法 不仅解决了曲线段 曲面片之间的连续性 问题 又使其形状具有可控性 并且 B 样条的德布尔 考克斯递推公式具有计算稳定 方 便的优点 在此基础上又发展了非均匀有理 B 样条 NURBS 增加了曲线 曲面的形状控 制因素 使曲线 曲面设计的交互性得到提高 设计更加简单可靠 35 2 1 1 非均匀有理 B 样条曲线 曲面 在 IGES 标准 36 中采用非均匀有理 B 样条 NURBS 曲线和曲面后 基于 NURBS 的实用 造型系统得到了迅速的发展 采用 NURBS 形式具有以下优点 对标准解析形状及自由曲 线和曲面 提供了统一的 精确的数学表达式 提供了额外自由参数权系数 以控制曲线 或曲面形状 NURBS 是非有理 Bezier 或 B 样条形式的推广形式 对于非有理形式的许多 众所周知的性质和计算技术 很容易推广到有理的形式 一条 NURBS 曲线方程可以表示为 n i kii n i kiii uN uNd uP 0 0 2 1 其中 i d表示曲线的控制点 i 对应控制点的权值 NURBS 曲线主要有以下特点 1 局部性 2 强的凸包性 3 仿射与透视变换下的不变性 4 节点区间内无限次连续可微的 节点C rk 次可微 r 为节点重复度 5 某个权因子为 0 相应控制顶点对曲线没有影响 6 特定情况下 NURBS 曲线可转化为 B 样条曲线 贝齐尔曲线 与 NURBS 曲线类似 所有的不规则形状的曲面均可统一表示成 NURBS 曲面的形式 一张nm 次 NURBS 曲面可以表示如下 n i m j jiljki n i m j jijiljki WvBuB VWvBuB vuP 00 00 2 2 其中 ji V 为曲面控制点 ji W 为权值 ki B 为 K 次规范 B 样条基函数 其递推公式为 0 0 0 1 0 1 1 1 11 1 1 1 0 kuB uu uu uB uu uu uB uuu uB ki iki ki ki iki i ki ii i 其他 2 3 2 1 2 NURBS 曲线插入节点技术 以齐次坐标表示三维空间的 NURBS 曲线 可以这样定义 对于给定的一组控制顶点 i d xi yi zi i 0 1 n 及相联系的权因子 i i 0 1 n 则有相应的带权控制点 Vi i di i xi i yi i zi i i 0 1 n 定义了一条四维的k次非有理B样条P u 然后取它在 1 那个超平面上的中心投影 即得三维空间里定义的一条 k 次 NURBS 曲线 uP uP称为 P u 的齐次曲线 因此对 k 次 NURBS 曲线 P u 插入节点 27 先对带权控制点 定义了一条高一维的 k 次非 有理B样条P u 进行插入节点 然后取它在 1那个超平面上的中心投影 即得所要求的插入 节点后 NURBS 曲线 设已给一条 k 次 B 样条曲线 1 0 n j kjj uNVuP 2 4 其中 B 样条基由节点矢量 1110 knknii uuuuuuU 完全决定 在曲线定 义 域 内 插 入 节 点 11 nkii uuuuu于 是 得 到 新 的 节 点 矢 量 1110 knknii uuuuuuuU 由 U决定了一组新的 B 样条基 原来的 B 样条 曲线就可以用这组新的 B 样条基与未知新顶点 j V i 0 1 n 1 表出 1 0 n j k jj u NV u P 2 5 设沿分割方向为 次 其中的一条控制网格线为 10n VVVV 节点向量为 110 kn uuuU 现在要求在节点区间 1 ii uu内插入新的节点 u 则新的节点向量为 22110 1110 kniii knii uuuuuu uuuuuuU 根据新的节点向量 U 计算新的控制点 V 其算法如下 1 2 1 0 2 1 1 0 1 1 1 nririj rikikij uu uu kjj VVV jkj j j jjjjj 式中 r 为所插入的重复度 若原节点序列中不存在 这个节点 则 r 0 若已在原节点序列中 出现 次 则 r m 这时新的控制点 V 与原控制点 V 关系在四维空间满足 jjjj jjjjjj j WW VWVW V 1 11 1 1 插入节点前后权因子的关系为 jjjjj WWW 1 1 2 1 3 MPF CAD CAM 系统中 NURBS 造型的运用 对于标准形状的曲面 可由解析式表达 但解析方程不能很好地表述自由曲线 曲面 对于自由曲线 曲面可由 Ferguson 方法 Bizer 方法 Coons 方法和 B 样条方法等方法来表 示 但是 由于这些方法的自身的局限性使的它们不能精确的表示标准解析形式的曲线 曲 面 如果在同一个几何造型系统中同时并存两种表示模型 就违背了单一系统几何表示的唯 一性原则 很容易造成混乱 而且因此建立的几何造型系统也将十分庞大 所以这种方法是 不可取的 从 NURBS 的性质可知 采用 NURBS 方法可以成功的解决这一问题 它提供标准解 析方程表示成 NURBS 形式的统一的数学表达形式 采用这种方法的 CAD 系统 几何数据 表达是唯一的 避免了庞大系统管理上的混乱现象 简单的数据结构 使得系统易于实现和 维护 在 MPF CAD CAM 系统中 针对不同的原始数据 形成了如下四种输入方法 四条 边界法 网点坐标法 截面轮廓线法和规则几何形状法 其中 前三种方法利用 NURBS 方 法进行曲面造型 能够处理各种复杂形状 四条边界法是利用四条边界曲线来生成曲面 网 点坐标法利用给定的网格数据点来生成插值曲面 截面轮廓线法则是给定曲面上的若干截面 线来生成曲面 第四种方法利用普通解析方法进行曲面造型 能够快速准确地处理球形 马 鞍形 扭曲形三种工程中常见的规则形状 2 2 满足曲率连续的曲面柔性拓展 曲面的柔性拓展是曲面拓展常用的一种曲面造型方法 它的主要思想是通 过原始曲面的约束直接生成拓展曲面 一般实现这种拓展曲面的方法有以下两 种 1 曲面控制点的拓展 这种方法的主要出发点是目标曲面的控制点 通过一些具体的法则 由曲面原 始控制点得到拓展后曲面的控制点 由于这种方法简单 易于实现 所以是一种最 常见的方法 2 曲面型值点的拓展 这种拓展方法通过目标曲面上的型值点得到拓展曲面 曲面生成时必须通过一次 拓展曲面的重新构造 即有拓展后曲面上的型值点重构出曲面的控制点 流程见图 这样就加大了曲面拓展的难度 所以通常情况下 这种方法使用得较少 2 2 1 基本原则 本文讨论基于控制点拓展的 NURBS 曲线曲面拓展 主要是关注拓展达到的连续性的阶 数 据了解 有些关曲面拓展的方法不是很实用的 有一种曲面柔性拓展的可行方法是反射 Bezier 曲线的划分子曲线来获得拓展部分 但这种方法推广到 NURBS 曲线时 不能确保正 权因子 本文讨论的方法可用于自由曲线曲面的拓展 只要原实体的权因子是正的话 拓展部 分的权因子也一定为正 曲线曲面拓展问题一般涉及到数据点的外推 为了得到合理的拓展 必须选取一些原 始数据点 控制点或是型值点 在本文中指的是控制点 再使用 反射 策略 32 所谓 反射 就是对这些原始数据点关于曲线端点的法平面对称的映射 如图 2 1a 所示 原始数据点的 原始曲面控 制点 拓展曲面控 制点 拓展曲面 原始曲面型值 点 拓展曲面的构 造 拓展曲面 拓展曲面型值 点 选取必须根据达到理想的拓展形状来选取 再对这些数据点进行反射 如一条曲线按曲率增 加的方向变化 反射后拓展部分按曲率减少的方向变化 这里要讨论的 NURBS 曲线曲面的拓展 实际上就是反射控制顶点 曲线拓展就是在拓展 端点的法平面来反射曲线的控制顶点 其权因子在反射前后保持不变 对于曲面的拓展 反射 在边界处所有行的控制顶点 把曲面控制顶点人为划成行和列 如图 2 1a 可以看到反射控制顶点确保了拓展处的切向和曲率连续 关于法平面的反射 使得 P1 P0 Q1共线 P2 P1 P0 Q1 Q2共面 这些都是在几何上切平面连续和曲率连续的必要条 件 如上面曲线拓展 对于曲面的拓展原理也是一样 如图 2 1b 是曲面拓展的示意图 2 2 2 曲线 曲面在拓展处的连续性分析 曲线 曲面要满足曲率连续则要求在两曲线 曲面之间必须有公共边界并在公共边界上 有公共的切平面 切平面联系 下面将分别讨论切向和曲率连续的充分条件 37 1 切平面连续性 39 41 设 ppv uP和 qqv u Q是有一条公共边界的两个曲面片 如图 2 2 所示 参数域到曲面 的映射如图 2 2 所示 用公共参数 qp vus 来定义这条边界 即有 0 0 s sQP 沿这条 边界有相等的单位法矢 导矢 0 sPvp 0 sQuq 0 sQs共面 即 0 0 0 0 sQssQssP su v q p 2 6 P3 P2 P1 P0 Q0 Q1 Q2 Q3 法平面 a 曲线拓展 图2 1 曲线 曲面的拓展 Fig 2 1 Extension of curve and surface 原曲面 拓展曲面 b 曲面拓展 其中 s 和 s 是任意函数 且 s 0 改写齐次坐标或简写为 P Q HWP QH WsQsQ 0 0 或简写为 QH WQQ 令 q uu 和 p vv 2 PPHPHv WWPWPP vv 2 QQHQHu WWQWQQ uu 2 QQsHQHss WWQWQQ 代入 1 式并化简 即得两曲面达到切平面连续的条件为 HHH QQssP sv 2 7a QQQp WWsWsW suv 2 7b 其中 H H Q p Q P W W 为与s无关的常数 以上已经讨论过 切平面连续要求对于曲 面的每排控制顶点 决定切平面连续的控制顶点共线 因此 s 必须为0 在边界上的每排控 制顶点的拓展度数都相等 为了对每排控制顶点达到相容性 s 设定为常数 0 式 2 7a 2 7b 方程式可转化为 HHH QQP uv 0 2 8a QQP WWW uv 0 2 8b P P Q p u p v q v q u Q 0 sPvp 0 sQ vq 0 sQ s 图2 2 两曲面拼接 Fig 2 2 Two surfaces jointing 对于第i排控制顶点有 iji HssHssH QsQQ 0 0 0 0 Iji HssHssH PsPP 1 0 0 1 0 iiiviv HH q ssHssH PP P k sPP 1 0 0 1 0 iiiuiu HH q ssHssH QQ q k sQQ iii QssQssQ WsWW 0 0 0 0 iii PssPssP WsWW 1 0 0 1 0 iiiviv Pp p ssPssP WW P k sWW 1 0 0 1 0 iii u Qiu QQ q ssssQ WW q k sWW 其中 kp为P曲面的次数 1 kq为Q曲面的次数 1 010 vvP p k 010 uuq q k 代入 2 8a 2 8b 方程式 即得切平面连续应满足的充分条件 iiiii HHH q HH p QQQ q k PP P k 0 1 0 01 1 1 0 0 0 2 9a 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 iiiii QQQ q pp p WWW q k WW P k 2 9b i 0 1 2 nq 其中 nq为P曲面和Q曲面的公共边界线控制顶点的个数 这样 就得到两曲面在公共边界线满足切平面连续的充分条件为式 2 9a 2 9b 对 于两曲线在公共端点满足切向连续的充分条件为 2 9a 2 9b 式 且nq取 1 2 曲率连续性 Kahmann 42 43 提出对于上面两个切平面连续的曲面片 P和Q达到曲率连续的充分条 件为 0 0 0 0 0 0 0 sQssQssQs sQssQsVsP suss usuuvv 2 10 对于曲面的每排控制顶点 决定曲率连续的控制顶点共面 因此两曲面关于s的各阶导 矢前的系数设置为 0 即0 sss 若取 s 0 可得 2 阶参数连续 即C2 因此曲率连续是比2阶参数连续要求松弛的2 阶几何连续 即G2 如上面介绍切平面连续的方法一样 为了拓展曲面与原曲面达到G2连续 Vs设置为 0 V s 设置为 0 曲率连续的条件表示为 0 0 0 0 00 sQsQVsP uuuvv 2 11 这里 2 0 V 用带权的齐次坐标来表示 2 2 2 2 QQHQHQH Q Q qHuu ppHPHpH p p pHvv WWQWQWQ W W WQQ WWPWPWP W W WPP uuuu u uu vvvv v vv 2 12 代入 2 11 式并化简得 HQ P Qvv QH P P HH QWV W W WVP WQV W W QVP u v P uu u v uuvv 2 2 0 2 0000 0 2 0000 把 2 0 V 代入上式中的一阶导矢项得到 Q H QQP HHH W Q WWVW QQVP uuuvv uuuvv 2 2 000 000 假设上式齐次坐标项与权因子项没有公因子 则得 HHHH QQQVP uuuvv 2 000 2 12a QQQP WWWVW uuuvv 2 000 2 12b 这里 是不依赖于s的常数 象上面得到切平面连续性的充分条件一样 再根据 B 样条张量积的特性 可得曲率连续的 条件为 iii iii i i i HHH q HHH qq HHH PP QQQ q k QqqQqqQq qqq kk V PppPppPp ppp kk 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 0 00 10100 10 2 0 0 10100 10 2 0 2 13a iii iii i i i QQQ q QQQ qq PPP PP WWW q k WqqWqqWq qqq kk V WppWppWp ppp kk 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 0 00 10100 10 2 0 0 10100 10 2 0 2 13b i 0 1 2 nq 1 其中 121 pp kk vvp 121 qq kk uuq 这样 就得到两曲面在公共边界线满足曲率连续的充分条件为 2 13a 2 13b 式 对于 两曲线在公共端点满足曲率连续的充分条件为 2 13a 2 13b 式 且nq取1 2 3 曲面柔性拓展方法步骤 由以上曲面控制点对称方法 曲面连续性的讨论 我们对以控 制点为对称对象 保证拓展曲面保持曲率连续的曲面柔性拓展方法进 行总结 首先确定曲面的拓展率 设为 通过这个值来确定对原始 曲面分割 以曲面的 u 向 在节点向量为 u0处拓展 为例 沿 u 向 的节点向量如下 4434421 4434421 p pk ffffnpp k uuuuuukukuuuu 1210000 n 为曲面 u 向的控制点数 令 P1 P0 P2 P3 P4 P5 P6 P1 P0 P2 P3 P4 P5 P6 S1 S2 S3 S0 a 拓展前的曲线 b 分割后曲线 c 拓展后的曲线 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P0 Q0 Q1 Q3 Q2 图 2 3 曲线拓展示意图 Fig 2 3 Extension of curve 12 010 1 pp p kk k uup uup 则可求得 0 q 1 q 其他 00 0 pp q 其他0 0 0100 101 1 pppp ppp q 得到沿 u 向拓展参数 0 100 0 uuu f 当曲面的向量为标 准 IGES 时 即 uf 1 0 u0 0 0 则令 延展 延展 f uuu uuu 11 0 设曲面在 u0处向外拓展 曲面 u 向在 u 处分割后的节点向量变 为 4434421 4434421 4434421 p ppk ffffn k pp k uuuuuuuuuukukuuuu 1210000 根据上述公式 在 u 处对曲面进行分割 以其中 u 向一条控制网 格线为例 如图 2 3 所示 图 2 3a 为分割前的网格曲线 以 3 次为例 分割后原网格线表示的曲线 从 s3到 s0 可由 s3 s2 s1 s0来表示 如图 2 3b 所示 按照上述对称法则 在 u0处按该处的法平面对称分割后控制点 如图 2 3c 所示 这 时相应的节点向量也在 u0处作对称 得到对称向量为 4434421 4434421 4434421 444344421 p p pp pp k ffffn k kk kk uuuuuuuuu uuuuuuuuuuuu 1 21000012 2 14 其中 uu uu uu p p k k 22 11 简化其他参数条件 qp kk 1 0 1 则1 2 00 v 则式2 9a和2 9b 可以化简为 iiiii HHH q HH p QQQ q k PP P k 0 1 0 01 1 1 00 2 15a 0 0 1 0 1 1 1 00 iiiii QQQ q pp p WWW q k WW P k 2 15b 而式 2 13a 和式 2 13b 可化为 iii iii i i i HHH q HHH qq HHH PP QQQ q k QqqQqqQq qqq kk PppPppPp ppp kk 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 0 0 10100 10 2 0 10100 10 2 0 2 16a iii iii i i i QQQ q QQQ qq PPP PP WWW q k WqqWqqWq qqq kk WppWppWp ppp kk 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 0 0 10100 10 2 0 10100 10 2 0 2 16b 这样可由式 2 15b 解得相应的 i 值 在其中取最大的 max i 并由 2 16a 2 16b 式和 求解相应的参数 和 再由 2 15a 和 2 15b 式调整拓展 参数线的切点和相应的权因子 最后根据 2 16a 2 16b 式来调整拓展参数线的 曲率点和其相应的权因子 2 4 曲面拓展后处理 按上述的曲面柔性拓展方法对曲面进行拓展后 曲面沿拓展方向的节点矢量发生了变 化 形成了非标准形式 对于有些曲面控制网格存在自相交的曲面 拓展后曲面的控制网格 发生畸变 所以必须对拓展后的曲面进行一定的处理 2 4 1 曲面标准 NURBS 的转化 曲面拓展后 u v两个方向的节点向量如式2 14 在这种情况下节点向量的取值范围 超出了标准节点向量0 1的范围 对
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