博弈与社会第一次作业参考答案.pdf

第一次作业参考答案第一次作业参考答案 1 1 考察每一个学生的决策 如果所有学生都独立决策 那么给定其他同学的行为 努 力学习对于他们来说都是最优选择 因此唯一的 Nash 均衡 也是占优均衡 是所有人都努 力 但事实上如果给定所有人都努力 那么仍然是那些天资聪慧的学霸会得最高分 这个结 果是和所有人都不努力一样的 所不同的是 学渣们付出了无谓的挣扎 而学霸也浪费了时 间 这是标准的囚徒困境的体现 2 现实中 所有人并非独立决策 他们可以进行串谋 并且对不讲义气的同学加以惩罚 这些都改变了博弈的条件 因此囚徒困境被打破了 3 让同学重新陷入囚徒困境的方法有两个 一是改变博弈的支付结构 例如对缺考的学 生直接给予不及格 二是设法切断学生之间的联系 让他们单独决策 例如 安排两个距离 较远的教室 随机安排学生去两个教室考试 2 1 博弈的战略矩阵表达如下 这里 华太师选择不同矩阵 华文选择行 华武选择列 表格中的数字分别代表华太师 华文 华武的效用 a 华太师的战略 百鸟朝凤图 华武 百鸟朝凤图万壑争秀图小鸡吃米图 百鸟朝凤图 3 1 2 3 1 2 3 1 2 万壑争秀图 3 1 2 2 3 1 3 1 2 华文 小鸡吃米图 3 1 2 3 1 2 1 2 3 b 华太师的战略 万壑争秀图 华武 百鸟朝凤图万壑争秀图小鸡吃米图 百鸟朝凤图 3 1 2 2 3 1 2 3 1 万壑争秀图 2 3 1 2 3 1 2 3 1 华文 小鸡吃米图 2 3 1 2 3 1 1 2 3 c 华太师的战略 小鸡吃米图 华武 百鸟朝凤图万壑争秀图小鸡吃米图 百鸟朝凤图 3 1 2 1 2 3 1 2 3 万壑争秀图 1 2 3 2 3 1 1 2 3 华文 小鸡吃米图 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 容易知道 对于华太师来说 投票给 百鸟朝凤图 弱占优于投票给其他两种参赛画 作 对于华文来说 投票给 万壑争秀图 弱占优于投票给 百鸟朝凤图 对于华武来说 投票给 小鸡吃米图 弱占优于投票给 万壑争秀图 3 当我们剔除了以上弱被占优策略后 得到的矩阵为 华太师的战略 百鸟朝凤图 华武 百鸟朝凤图 小鸡吃米图 万壑争秀图 3 1 2 3 1 2 华文 小鸡吃米图 3 1 2 1 2 3 这这个化简后的博弈矩阵里 容易看出 对于华文来说 投票给 小鸡吃米图 要弱占 优于投票给 万壑争秀图 而对于华武来说 投票给 小鸡吃米图 则要弱占优于投票给 百鸟朝凤图 因此通过剔除弱被占优战略可知 最终华文华武都会投票给 小鸡吃米图 也就是说 祝枝海的作品将会最终获得优秀 4 很显然 记者的评论并不正确 通过以上的论述 我们知道最终获胜的将不是华太师 最中意的唐伯狮的大作 百鸟朝凤图 而恰恰是其最不喜欢的 小鸡吃米图 这说明 在 策略互动下 华太师 一锤定音 的特权不但没有成为其优势 反而变成了其劣势 3 1 根据纳什均衡的定义 在均衡状态下 没有司机可以通过改变自己的行驶路径来减 少通行时间 容易知道 这意味着 对于所有司机而言 在均衡时选择所有通路的行驶时间 是一样的 由此可知 x 100 45 45 4000 x 100 容易解得 x 2000 即每条路径上都有 2000 名司机通行 均衡时 选择任何一条通行 路径的时间都是 65 分钟 2 当通路建成后 原有的整体路径选择问题事实上转化成了两次路径选择问题 在 第一阶段 每个司机可以选择 AC 或 AD 而在第二阶段 他们可以选择 CB 或 DB 容易 知道 对于每位司机来说 无论他人怎样选择 在第一阶段选择 AC 第二阶段选择 DB 总 能获得最短行驶时间 因此 在纳什均衡时 每位司机都会选择 A C D B 的行驶路径 此 时 每人的行驶时间都是 40 40 80 分钟 也就是说 当新的通路建成后 所有司机的行驶时间不但没有减少 而且增加了 这显 然是有悖于政府的初衷的 4 1 对于参与人 i i 1 2 分别代表奶茶 MM 和奶茶 GG 可得其目标是 max max iii Q i Q QQQbcaQcP ii 对 i Q求解 F O C 可得其的最优反应曲线 b bQca QRQ i ii 2 由对称性 可得 b ca QQ 3 21 此时 市场价格 b ca P 3 2 进而两人的利润为 b ca 9 2 21 Cournot 均衡可以有重复剔除劣策略达到 由于对称性 从谁开始剔除不影响结论 这 里我们假设奶茶 MM 先剔除 第一步 对于奶茶 MM 她首先不会选择大于垄断情形的产量 b ca Qm 2 因此在剔除 劣策略 后 其剩余的策略空间为 0 m Q 第二步 给定奶茶 GG 知道这点 m QQ 1 0 因此由最优反应线可知 其不会选择 m QRQ 2 的产量 因此在剔除 劣策略后 剩余的策略空间为 m QR m Q 第三步 给定奶茶 MM 知道奶茶 GG 的产量不小于 m QR 可知 其产量不会大于 mm QRQRR 2 从而在剔除列策略后 剩余策略空间为 m QR m QR 2 如此反复 可得在第 k 轮后 剩余的策略空间为 mk QR 1 mk QR 1 容易知道这一 区间是不断收缩的 最后收敛到唯一的 Nash 均衡 也即 Cournot 均衡 2 容易知道 奶茶 MM 和奶茶 GG 面临的需求曲线分别为 21 211 211 211 0 2 PP PPbPa PPbPa PPD 和 12 122 122 212 0 2 PP PPbPa PPbPa PPD 进而 可得两人的利润函数分别为 21 21 11 21 11 211 0 2 PP PP b PacP PP b PacP PP 12 12 22 12 22 211 0 2 PP PP b PacP PP b PacP PP 显然 对于奶茶 GG 制定的任何一个价格 2 P 奶茶 MM 可以在此基础上将价格略为降 低一点 即可得到整个市场 同理 对于奶茶 MM 的任何一个报价 奶茶 GG 也有降价冲 动 在两人不断竞相降价后 价格会降低到成本 无法再降 否则亏损 这就达到了 Bertrand 均衡 此时cPP 21 bcaQQ2 21 0 21 严格来说 当价格可以无限可分时 Bertrand 均衡并不能通过重复剔除被占优战略过程 达到 但如果我们设定一个允许调整的最小价格区间 则此离散价格的 Bertrand 均衡就可 以通过重复剔除得到 具体来说 对于两人来说 都不会选择高于垄断情况的价格 m P 也不会选择低于成本 的价格c 因此价格空间为 c m P 将这一价格空间离散化 假设两人可以选择的价格为 c c 2 c Mc 其中 MPm 容易证明 对于两人来说 策略 Mc 被 1 Mc占优 1 Mc被 2 Mc占优 因此剔除结果将只剩下 c 当0 就得到了 Bertrand 竞争 结果 3 i 如图 对一个处于 x 位置的消费者 其从奶茶 MM 处购买奶茶的单位成本为 axaxtP axxatP P 1 1 1 从奶茶 GG 处购买奶茶的单位成本为 bxbxtP bxxbtP P 1 1 1 1 2 2 2 考虑一个处在位置 x的 边际消费者 他从奶茶 MM 处购买奶茶的单位成本同从奶茶 GG 处购买是相同的 即 1 2 1 bxtPaxtP 可以得到 2 1 2 12 ba t PP x 容易知道 处在 x左侧的消费者 从奶茶 MM 处购买奶茶的单位成本更低 他们都会 成为奶茶 MM 的顾客 因此奶茶 MM 面临的需求是 2 1 2 12 1 ba t PP xQ 而处在 x右侧的消费者 从奶茶 GG 处购买奶茶的单位成本更低 他们都会成为奶茶 GG 的顾客 因此奶茶 GG 面临的需求是 2 1 2 1 21 2 ba t PP xQ 据此 我们可以知道 奶茶 MM 和奶茶 GG 的利润分别可以表示为 2 1 2 1 12 1 cP ba t PP 和 2 1 2 2 21 2 cP ba t PP 由一阶条件可得 2 1 2 1 batcP P 2 1 1 2 batcP P 联 立 1 P 2 P可 得 3 1 1 battcP 3 1 2 abttcP 从 而 3 2 1 2 abtPP 因此两人的均衡销量分别为 62 1 1 ba Q 62 1 2 ab Q 均衡利润水平分别为tba ba 3 1 1 62 1 1 tab ab 3 1 1 62 1 2 ii 在本题中 有缘人 当然会在一起 而且两个人会最终会想聚到长街的中点 下面 我们将对此进行证明 第一步 先证明两人必定会 在一起 在上题中 我们已求出了 1 和 2 的表达式 由此可得 0 9 1 3 1 1 tba a 0 9 1 3 1 2 tab b 这意味着如果奶茶 MM 的摊位在奶茶 GG 的左侧 她将摊位 向右移动就能提升利润 而奶茶 GG 将摊位向左移动就能提升利润 类似可知 如果奶茶 MM 的摊位在奶茶 GG 的右侧 则情况将颠倒过来 为提升利润 奶茶 MM 会向左移 而 奶茶 GG 则会向右移 只有两人 在一起 了 这个移动过程才会停止 第二步 再证明只有两人一起在长街中点 才构成 Nash 均衡 如果两人一起在中点左侧 则两人面临的需求同为 1 2 并展开 Bertrand 均衡 同获零 利润 这时 其中任一人向右移动 则可以获得更高需求 得到高于 0 的利润 因此两人都 有偏离的动机 即两人同在中点左侧不可能构成 Nash 均衡 同理可知 人同在中点右侧也 不可能构成 Nash 均衡 只有在中点时 才是 Nash 均衡 综上所述 在本题中奶茶 MM 和奶茶 GG 必定会相会在长街中央 当然这不是由于缘 分的力量 而是由于市场的力量 当奶茶 MM 和奶茶 GG 同在长街中央时 两人展开 Bertrand 价格竞争 这时两人的价 格都等于成本 c 同获利润 0 即两人都为提升利润而移动 但结果却是一起获得了零利润 5 1 有 Nash 均衡 其个数要视 v c 的大小而定 i 如果 v c0 则有 n 个 Nash 均衡 在所有的 Nash 均衡中 只有一个目击者报警 对此可以证明如下 先证明 多于一人报警不构成 Nash 均衡 这是因为 当每一参与人决策时 如果其他 参与人中已有一人报警 则其选择报警的话 得到支付为 v c 而如果选择不报警 则得支 付 v 显然其最优反应是不报警 再证明 仅有一人报警确实构成 Nash 均衡 这只需用定义证明就可以了 前面已经证 明了如果其他人里有一个人报警 则最优反应是不报警 这里只需证明给定其他人都不报警 是 最优反应是报警即可 这一点是直观的 如果其他人都不报警 则选择报警得到的支付 是 v c 而不报警得到的支付是 0 由于 v c 0 因此报警是最优反应 这就证明了仅有一人 报警确实构成 Nash 均衡 由于这样的情况一共有 n 个 因此有 n 个纯战略 Nash 均衡 iii 如果 v c 0 则显然任何战略组合都构成 Nash 均衡 由于每个参与人有两个选择 因 此 Nash 均衡有 2n个 2 i 如果 v c0 则可以根据 选择任何纯战略得到的期望支付 这一事实求解 由本题 的对称性 不妨假设所有人选择报警的概率都为 p 不报警的概率为 1 p 这样 对于每一个目击者 在其选择是否报警时 其他任何目击者都不报警的概率为 1 p n 1 至少有一人报警的概率为 1 1 p n 1 此时其选择报警 可得的期望支付为 v c 不报警得到的期望支付为 1 1 p n 1 v 令两者相等可得 v c 1 1 p n 1 v 从而可以解得 1 1 1 n v c p 从而得到了一个混合战略均衡 每个目击者都以概率 1 1 1 n v c p 选择报警 iii 当 v c 0 时 任何概率的混合所得到的支付都是无差异的