小学六年级数学竞赛讲座 第1讲 数形结合.doc

第一讲 数形结合模块一、基础性公式：例1（1）根据下图计算公式：1+2+3+n= .解：图一和图二中每一行的数字对应相加都是n+1，一共有n 行，所以2(1+2+3+n)=n(n+1)，得到1+2+3+n=。（2）根据下图计算公式：1+3+5+(2n1)= .解：21+3+5+(2n1)=n(1+2n1)=2n2，1+3+5+(2n1)=n2。（3）总结等差数列的求和公式：a1+a2+a3+an= .解：a1+a2+a3+an=；例2（1）根据下图计算公式：1+2+3+(n1)+n+(n1)+3+2+1= 。解：共有n行n列，所以1+2+3+(n1)+n+(n1)+3+2+1=n2.（2）计算3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3= .解：3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3=1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1(1+2+2+1)=926=75.模块二、平方和数列：例3如下图，有三张相同的三角形表格，每张表均有1个1，2个2，3个3，n1个n1，n个n，显然每张表上的数的总和是12+22+32+(n1)2+n2，请回答一下问题：（1）每张表上有多少个数？ ；（2）三张表相同位置上三个数的和都是 ；（3）三张表上数的总和是 ；（4）综上可得：12+22+32+n2= .解：（1）；（2）2n+1；（3）(2n+1)；（4）所以12+22+32+n2=。例4计算：（1）112+122+132+502= ；（2）12+32+52+192= ；解：（1）112+122+132+502=(12+22+32+502) (12+22+32+102) =42925385=42540.（2）12+32+52+192=(12+22+32+192)(22+42+62+182)= =24701140=1330.例5计算：199+297+395+493+501= 。解：用三角数表方法：每个三角形中的数的和是199+297+395+493+501，每个三角形中有1+2+3+50=1275个数，三个三角形中相同位置上三个数的和是101，所以三张表中的所有的数的和是1275101=128773，所以199+297+395+493+501=1287733=42925.解法2：研究一般项，an=n(1012n)=101n2n2，所以a1+a2+a3+a50=101(1+2+3+50)2(12+22+32+502) =128775=12877585850=42925.模块三、其他公式：例6（1）平方差公式的探索：下图中，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用减法表示阴影部分的面积为： ；若将阴影部分分割成两个长方形，再拼成一个大长方形，则大长方形的长为 ；宽为 ；那么a2b2= .解：a2b2；a+b；ab；所以a2b2=(a+b)(ab).（2）平方差公式的探索：下图中，大正方形的边长为a+b，则其面积为(a+b)2，图中、的面积分别为 、 、 、 ，那么(a+b)2= . 解：a2；b2；ab；ab；那么(a+b)2=a2+2ab+b2。（3）观察下图完成右面的式子：(a+b)(c+d)= .请你再想一想：(a+b+c)(d+e+f)= .解：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；(a+b+c)(d+e+f)=ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf。（4）有两组数，A组为6、9、15、20；B组为32、43、25，从每组数中选一个数，再相乘会得到 个积，所有积的和是 。解：会得到34=12个乘积，这些乘积的和是(6+9+15+20)(32+43+25)=50100=5000.随 堂 练 习13+4+5+13+14+15+14+13+5+4+3= 。解：原式=(1+2+3+4+5+13+14+15+14+13+5+4+3+2+1)(1+2+2+1) =1526=2256=219.2计算：152+162+172+302= 。解：原式=(12+22+32+302)( 12+22+32+142) =94551015=8440.3计算：12+32+52+272+292= 。解：原式= (12+22+32+292)(22+42+62+282)=85554060=4495.4计算172+232= 。解：172+232=(203)2+(20+3)2=(2022203+32)+ (202+2203+32) =2(202+32)=818.5计算：159+257+355+293+301= 。解：用三角数表法：每个三角形中的数的和是159+257+355+293+301，每