高等代数真题答案.pdf

姓名 学号 高等代数习题册 1 第六章习题册 1 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R上的线性空间 a 集合 deg f xR xfn 关于多项式的加法和数乘 b 集合 T n AMRAA 关于矩阵的加法和数乘 c 集合 0 nnn xxR 关于数列的加法和数乘 2 设V是数域F 上的线性空间 证明 kkk 这里 V kF 姓名 学号 高等代数习题册 2 3 下述集合是否是 n MR 的子空间 a T n VAMRAA b Vf Af xR x 这里 n AMR 是一个固定方阵 4 叙述并证明线性空间V的子空间 1 W与 2 W的并 12 WW 仍为V的子空间的充分必要条件 5 设 1 S与 2 S是线性空间V的两个非空子集 证明 a 当 12 SS 时 12 Span SSpan S b 1212 Span SSSpan SSpan S c 1212 Span SSSpan SSpan S 姓名 学号 高等代数习题册 3 6 如果 123 fff 是实数域上一元多项式全体所成的线性空间 R x中三个互素的多项式 但其中任意两个 都不互素 那么它们线性无关 试证之 7 设S是数域F上线性空间V的一个线性无关子集 是V中一个向量 S 则 S 线性相关充 分必要条件 Span S 8 a 证明 ijji EEij 是 n MF中全体对称矩阵组成的子空间的一个基 b 求 3 MF 的子空间 f Af xF x 的一个基和维数 这里 010 001 000 A 9 在 4 R中 求向量 在基 1234 下的坐标 其中 1234 12101 11112 03013 11014 姓名 学号 高等代数习题册 4 10 求一个非零向量 使得它在基 1234 下的坐标和它在基 1234 下的坐标相同 这里 1234 与第9题相同 1234 2010 1121 2211 2111 11 在 4 R中 求由向量 1234 2111 1211 3031 1101 所张成的子空间的一个基与维数 12 设 1234 1111 1146 1135 1122 1234 1131 1111 1111 5131 11234 WSpan 21234 WSpan 请分别求 12 WW 和 12 WW 的一个基 姓名 学号 高等代数习题册 5 13 设 12 0 1 1 ijn nijijn nijji Vaaijn Vaaai jn 是矩阵空间 n MR的两个子空间 证明 12 VV 14 设 33232 123 22233222gxxgxxxgxxx 是 F x的 子 空 间V一 个 基 332 123 2122fxxfxxfxx 请问 123 fff 中哪些是属于V 哪些是不属于V 如果属于请给 出它在基 123 g gg 下的坐标 15 4 R中 求由基 1234 到基 1234 的过渡矩阵 并求向量 在指定基 1234 下的坐 标 其中 1 1111 2 1111 3 1111 4 1111 1 11 0 1 2 2 1 3 1 3 11 0 0 4 0 111 1 0 01 姓名 学号 高等代数习题册 6 16 设 123 A A A 和 123 B B B 是矩阵空间 2 MR的子空间V的两个基 其中 123123 100111450321 111000113112 AAABBB 求 a 基 123 A A A 到 123 B B B 的过渡矩阵 b 36 31 C 在基 123 A A A 的坐标 c C在基 123 B B B 的坐标 17 设W是全体实函数关于函数的加法和函数的数乘所成的实数域上的线性空间 1 W是全体偶函数 所 成的子集 2 W是全体奇函数所成的子集 证明 1 W与 2 W是W的子空间且 12 WWW 18 设 1 W与 2 W分别是齐次线性方程组 12 0 n xxx 与 12n xxx 的解空间 证明 12 n RWW 这里R是实数域 姓名 学号 高等代数习题册 7 19 如果 12 VVV 而 11112 VVV 证明 11122 VVVV 第七章习题册 1 判别下列变换是否线性变换 a 是线性空间V中一个固定向量定义 TV b 在 3 R中 定义 22 1231233 T x x xxxx x c 在 3 R中 定义 12312231 22 T x x xxx xxx d 在 F x中 定义 1 T f xf x 2 设V W 分别是数域F上的n维与m维线性空间 12 n 是V的一个基 而 12 n 是 W 中 n 个向量 证明存在唯一的线性映射T VW 使得 1 2 ii Tin 姓名 学号 高等代数习题册 8 3 设V W 是数域F上的两个线性空间 L V W 是V到W的所有线性映射所组成的集合 证明 L V W 关于线性映射的加法与数量乘法 成为数域F上的一个线性空间 4 在 F x中 定义 12 df x T f xTf xxf x dx 证明 1 22 1 TTT TE 5 设T是V的线性变换 向量 V 存在一个正整数k 使得 1 0 k T 但 0 k T 证明 21 k TTT 线性无关 6 证明 设 12 T T 是V的可逆线性变换 则 1 2 TT 也是可逆线性变换 并且 111 1 221 TTT T 7 设T是V的线性变换 证明T是单射线性变换的充分必要条件是T把线性无关的向量组变为线性无关 的向量组 姓名 学号 高等代数习题册 9 8 设V W 是数域F上的 两个线性空间 而T VW 是线性映射 证明kerT与 T V分别是V与W的 子空间 又若dimV有限 证明 dimkerdim dimTT VV 9 在线性空间 2 MF定义线性变换 T XAXXA 其中 12 34 A 求T在基 11122122 EEEE 下的矩 阵 10 设 1234 VSpan ffff 为函数空间的4维子空间 其中 1 cosfbx 2 sinfbx 3 cosfxbx 4 sinfxbx 求微分变换D在基 1234 ffff 下的矩阵 11 T是n维线性空间V上的一个线性变换 如果存在 V 使得 1 0 n T 但 0 n T 证明在V中存 在一个基 使得 T在该基下的矩阵为 0000 1000 0100 0010 A 姓名 学号 高等代数习题册 10 12 设V是n维线性空间 求dim L V V 并找出 L V V 的一个基 13 证明与n维线性空间V的所有线性变换可交换的线性变换是数乘变换 14 设 123 131 1 2 1 211 是 3 R的一个基 定义线性变换为 123 505 0 1 1 369 TTT 求T在基 123 下的矩阵并求 T 其中 2 1 5 15 设APPB 其中 1581 0269 0037 0004 P 0234 0023 0002 0000 B 求 10 A 16 若A可逆 证明AB与BA相似 姓名 学号 高等代数习题册 11 17 若A与B相似 C与D相似 证明 0 0 A C 与 0 0 B D 相似 18 设A与B相似 C与D相似 请举反例说明AC与BD不一定相似 AC 与BD 不一定相似 19 设 123 103 0 1 1 210 123 100 010 001 eee 在定义为 1 5 0 3 T 2 0 1 6 T 3 5 1 9 T 已知 3 R中线性变换T在基 123 下的矩阵为 100 110 002 求T在基 123 e e e 下的矩阵 20 设 12n e ee 是线性空间V的一个基 11 nn jijijiji ii a eb e ijij AaBb 已知 12 n 线性无关 T是V上的线性变换使得 1 2 ii Tin a 证明T在基 12 n 下的矩阵为 1 A B b T在基 12 n e ee 下的矩阵为 1 BA 姓名 学号 高等代数习题册 12 21 证明 12 12 n niii diagdiag 其中 12 n i ii 是 1 2 n 的一个排列 22 设V为数域F上的线性 空间 T是V的线性变换 若 0 是T 的特征值 则对任意 fF 0 f是 f T的特征值 且T的属于 0 的特征向量也是 f T的属于 0 f的特征向量 23 设 12 是线性变换T的两个不同的特征值 12 分别是属于 12 的特征向量 证明 12 不是T 的特征向量 24 设T是V的线性变换 证明 T是可逆线性变换充要条件零不是T的特征值 并且若 是T的特征值 则 1 是 1 T 的特征值 25 设A B 是n阶方阵 证明若 1 BP AP 则 Tr BTr A 姓名 学号 高等代数习题册 13 26 设V是复数域上的线性空间 123 是V的有序基 T是V上线性变换 它在有序基 123 下 的矩阵为 310 410 482 A 求T的特征值与特征向量 27 求 1111 1111 1111 1111 A 的特征值与特征向量 28 证明不可能存在n阶方阵A和B使得ABBAE 姓名 学号 高等代数习题册 14 29 求下面矩阵 12121 11211 12121 11211 24242 A 的特征值 30 设A是一个n阶下三角矩阵 证明若A的对角线元素 1122nn aaa 且A不是对角阵 则A不可 对角化 31 设A是3阶方阵 11 2 是A的三个特征值 101 111 011 是分别属于特征值11 2 的三个特征向量 求A 32 设 142 034 043 A 求可逆矩阵P使得 1 P AP 为对角阵 并求 k A 姓名 学号 高等代数习题册 15 33 设A是一个n阶下三角矩阵 证明若A的对角线元素 iijj aa ij 则A可对角化 34 已知T在一个基下的矩阵为 310 410 482 A 试问T是否可以对角化 35 对于n阶方阵A 定义 n C ADMFADDA a 证明 C A是 n MF的子空间 b 设 1 BP AP 定义映射 1 f DP DP 证明f是 C A到 C B的同构映射 c 设A是n阶对角矩阵 它的特征多项式为 12 12 s ccc Ds ddd 其中 12s d dd 两两 不同 证明 222 12 dim s C Accc 姓名 学号 高等代数习题册 16 36 设 n AMF 证明 n MF的子空间 Vf Af xF x 的为数等于 A m的次数 37 设A为准对角矩阵 12 s diag A AA 其中 i A为 i n阶方阵 它的最小多项式为 1 2 i mis 证 明 12 As mmmm 即A的最小多项式是 12s A AA 的最小多项式的最小公倍式 38 设 101 011 112 A 求A的最小多项式 39 求矩阵 0101 1010 0101 1010 A 的最小多项式 并判断它们是否可对角化 40 证明 A是幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为零 姓名 学号 高等代数习题册 17 41 设T是矩阵空间 n MF上的线性变换定义为 T T AA 证明 T是否可对角化 42 若W是V的一维子空间 T是V的线性变换 则W是T 子空间充分必要条件W中任一非零向量都 是属于同一特征值的特征向量 43 设V是复数域上n维线性空间 1 T 2 T是V 的线性变换 且 1 22 1 TTT T 证明 1 T 2 T至少有一个公共特 征向量 44 设T是线性空间V的线性变换 W是T 子空间 证明 W TT mm 45 设T是线性空间V的可逆线性变换 W是T 子空间 证明W也是 1 T 子空间 46 设A是实方阵 则存在实可逆方阵P使得 1 P AP 为上三角阵的充分必要条件是A的特征值全为实 数 姓名 学号 高等代数习题册 18 47 设T是3维线性空间V的线性变换 它在基 123 下的矩阵为 210 021 002 A a 证明如果W是T的非零不变子空间 则 1 W b 证明不存在两个T 子空间 12 W W 使得 12 VWW 48 设 12 T T 是n维线性空间V的两个线性变换 并且 11 22 1 TTTT T V 是属于 的 1 T特征向量 证明 2 0 1 2 i WSpan Ti 是 2 T 子空间 也是 1 T 子空间 49 设T是n维线性空间V的两个线性变换 f x g xF x d xf x g x h xf x g x a 证明如果 f xg x 则ker ker f Tg T b ker ker ker f Tg Td T c ker ker ker h Tf Tg T 姓名 学号 高等代数习题册 19 第八章习题册 1 试求下列各 矩阵的秩 并判别哪些矩阵是可逆的 如可逆 求出其逆矩阵 a 2 2 2 11 1 1 1 1 b 2 101 0 1 1 c 5 125 5 1 2 用初等变换求 矩阵 210 0 21 00 2 的标准形 和不变因子 姓名 学号 高等代数习题册 20 3 求下列 矩阵 3100 4 100 61 21 14511 的标准形和行列式因子 4 设 A与 B 均为 m n的 矩阵 证明 AB 的充分必要条件是存在m 阶可逆 矩阵 P 和n阶可逆 矩阵 Q使得 PAQB 5 求下列 矩阵的行列式因子及其标准形 a 100 0 10 00 1 000 b 211 2 21 12 1 姓名 学号 高等代数习题册 21 c 0 1 2 2 1 000 1 00 01 0 000 0001 n n 6 设 201 111 100 A 求 7 A 7 设 F 证明 A 为可逆矩阵当且仅当 与 A 互素 8 证明下列方阵 00 00 00 a a a 00 01 00 a a a 10 01 00 a a a 不能相似 9 证明n方阵A与其转置 矩阵 T A相似 姓名 学号 高等代数习题册 22 10 求矩阵 011 101 110 A 的有理标准形 11 设 矩阵 A的等价标准形为 O OO 其中 242 1 1 2 1 diag 求 A的初等因子 12 设 矩阵 5 6 A 的秩为4 初等因子为 32 1 1 1 1 求 A的标准形 13 设A的初等因子为 22 1 1 1 求不变因子 14 求下列 矩阵 A的初等因子 a 2 000 00 1 0 0 1 00 1 000 A 姓名 学号 高等代数习题册 23 b 110 4 30 10 2 A 15 求下面矩阵A的若当标准形J和过渡矩阵P 使得 1 JP AP 并求 9 A a 110 111 011 A b 548 8512 101 A 姓名 学号 高等代数习题册 24 c 532 854 433 A 16 设A是n阶方阵 12 An f xF x 证明 12 f An fff 第九章习题册 1 对于 n A BMR 定义 T A BTr AB 请验证 是 n MR的内积 2 设 1 2 是V的两个内积 对于 V 定义 12 请验证 是V的内 积 姓名 学号 高等代数习题册 25 3 向量 V 则 当且仅当 对任意 V 成立 4 在欧氏空间中 22 11 44 5 设 为酉空间V的内积 对于 V 定义 2 f zz 求z使得函数 f z最小 6 设 4 VR 在标准内积之下 求 2 1 3 2 与 1 22 1 的夹角 7 设 是 2 C上标准内积 试证 2 C上不会有非零线性变换T 使得 0T 对所有 2 C 都成立 8 在 4 R中求一单位向量 与 1111 1111 2 11 3 TTT 正交 姓名 学号 高等代数习题册 26 9 设 12 n 为V的一个基 数 12n b bbF 则V 中存在唯一向量 使得 1 2 ii b in 10 在 2 R x中定义内积为 1 0 f gf x g x dx 求 2 R x的一个标准正交基 由 2 1x x 出发正交化 11 设 12 是欧氏空间V一个基 11 12 G 是内积在基 12 的度量矩阵 求V的一个标准基 12 设A B 为酉阵 证明AB也是酉阵 姓名 学号 高等代数习题册 27 13 设 112 120 111 A 求正交阵Q和上三角阵R 使得AQR 14 设V是n维欧氏空间 0 是V中固定向量 证明 0 WxVx 是V的子空间并且 dim1Wn 15 设 12 V V 是欧氏空间的两 个子空间 证明 12121212 VVVVVVVV 16 证明非齐次线性方程组 TT A AXA b始终有解 姓名 学号 高等代数习题册 28 17 设A是欧氏空间V的一个变换 如果A保持内积不变 即对任意的 V 都有 AA 证明A一定 是线性的 因而它是正交变换 18 如果A是正交变换 证明 A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间 19 设 12 m 和 12 m 是n维欧氏 空间中两个向量组 证明存在一个正交变换A使得 1 2 ii Aim 的充分必要条件是 1 2 ijij i jm 20 证明 上三角的正交矩阵必为对角矩阵 并且对角线上的元素为1或1 21 如果 是正交矩阵A的特征值 证明 1 也是A的特征值 姓名 学号 高等代数习题册 29 22 设T内积空间V的线性变换 如果对任意的 V 都有 TT 则称T为斜埃尔米特变换 一个矩阵A 如果满足 T A A 则称A为斜埃尔米特阵 证明 T为反对称充分必要条件T在一个标准正 交基下的矩阵为斜埃尔米特阵 23 设T内积空间V的斜埃尔米特变换 证明T的特征值是零或纯虚数 24 设T内积空间V的斜埃尔米特变换 如果W是V的T 子空间 证明W 是T 变子空间 25 设A为n阶实矩阵 证明 存在正交矩阵T 使得 1 TAT 为上三角矩阵充分必要条件为A的特征多项 式的根全是实的 26 如果A是实对称阵 则存在正交阵Q使得 1 1 n Q AQdiag 其中 1 n 是A的特征值 姓名 学号 高等代数习题册 30 27 求正交矩阵Q 使得 1 Q AQ 成为对角矩阵 a 220 212 020 A b 744 418 481 A 28 求一个实对称矩阵A 使得 12 11 11 是A的特征向量 A的特征值是2 11 姓名 学号 高等代数习题册 31 29 设A B 都是实对称矩阵 证明A B 相似充分必要条件A B 的特征多项式相同 第十章习题册 1 证明线性空间V上的双线性函数 f 为反对称充分必要条件对任意的 V 都有 0f 2 线性空间V上的双线性函数 f 称为非退化的 如果 0f 对任意的 V 成立 则 0 证 明 双线性函数f非退化充分必要条件f在V的任一个基下的矩阵A是非奇异的 3 求二次型f对应的对称矩阵 a 222 1122233 2244fxx xxx xx b 1 1232 3 123 312 231 x fxxxx x 姓名 学号 高等代数习题册 32 c 123123 3 323 fxxxxxx 4 设A B 是n阶对称方阵 证明对任意n维列向量X有 TT X AXX BX 证明AO 5 证明 12 n diag 与 12 n iii diag 合同 其中 12n i ii 是1 2n 的一个排列 6 设 1112 2122 AA A AA 为对称矩阵