大学物理 毕奥-萨伐尔定律.pdf

1 7 1 1 电流 电流的连续性方程7 1 1 电流 电流的连续性方程 一 电流 电流密度 电流场一 电流 电流密度 电流场 I S InquS 电流定义电流定义为通过为通过截面截面S S的电荷随时间的的电荷随时间的变化率变化率 为电子的为电子的漂移速度漂移速度大小大小u d d q I t d d d cos qnq u t S d d qnq u t S 2 d d d cos dd cos dd qnq u t S Inqu S tt dnquS dS jnqu j 电流密度矢量电流密度矢量 ddIjS 通过任意曲面通过任意曲面S的电流的电流 dcos d SS IjSjS S iii i jn q u 若有几种载流子 引入 若有几种载流子 引入面元矢量面元矢量 n ddSSe 1 S 2 S 12 jj 组成一个矢量场 组成一个矢量场 电流场电流场 j x y z 引入引入电流线电流线来描述电流场的分布 在大块导体中 电流分布复杂 来描述电流场的分布 在大块导体中 电流分布复杂 电流线上每一点的切线方向切线方向与该 点电流密度的方向电流密度的方向相同 曲线的 疏密疏密程度代表电流密度的大小大小 电流密度电流密度 细致描述导体内 细致描述导体内空间各点空间各点电流的分布 该点 电流的分布 该点正正电荷电荷运动方向运动方向j 方向方向 大小大小 单位时间内过该点且垂直于正电 荷运动方向的单位面积的电荷 单位时间内过该点且垂直于正电 荷运动方向的单位面积的电荷 3 S S d j S I 1 I 2 I t Q Sj i s d d d 二 电流的连续性方程恒定电流条件二 电流的连续性方程恒定电流条件 单位时间内通过闭合曲面向外流 出的电荷 等于此时间内闭合曲面 内电荷的减少量 单位时间内通过闭合曲面向外流 出的电荷 等于此时间内闭合曲面 内电荷的减少量 cosdddSjSjI s SjI d 0d d tQi 若闭合曲面若闭合曲面 S 内的电荷 不随时间而变化 有 内的电荷 不随时间而变化 有 0d s jS 恒定电流恒定电流 0 21 III 恒定电流线是无头无尾的闭合曲线恒定电流线是无头无尾的闭合曲线 导体中各点电流密度的方向和大小都导体中各点电流密度的方向和大小都不随时间变化不随时间变化 的电流 称为恒定电流 又称稳恒电流 的电流 称为恒定电流 又称稳恒电流 j 电流的连续性方程电流的连续性方程 int d d d S q jS t 对于恒定电流 任意时刻进入任意封闭面的电流线的 条数 与穿出封闭面的电流线的条数相等 对于恒定电流 任意时刻进入任意封闭面的电流线的 条数 与穿出封闭面的电流线的条数相等 d0 S jS 这是恒定电流条件这是恒定电流条件 恒定电流恒定电流 4 7 1 2 欧姆定律7 1 2 欧姆定律 一 欧姆定律的微分形式一 欧姆定律的微分形式 理论上可以证明理论上可以证明 当保持金属的温度恒定时 金属中 的电流密度与该处的电场强度成正比 当保持金属的温度恒定时 金属中 的电流密度与该处的电场强度成正比 j E jE 电导率电导率 其倒数称 为 其倒数称 为电阻率电阻率 1 l J EU2U 1 I S 1212 12 UUUU IJS l R S UU JE l S L R 1 第七章 稳恒磁场 第七章 稳恒磁场 第七章 稳恒磁场 第七章 稳恒磁场 5 第七章稳恒磁场第七章稳恒磁场 静止的电荷周围存在电场 而运动的电荷周围不但 有电场而且还存在磁场 静止的电荷周围存在电场 而运动的电荷周围不但 有电场而且还存在磁场 电磁场电磁场 本章着重讨论稳恒电流 或相对参考系以恒定速度运 动的电荷 激发稳恒磁场 不随时间变化的磁场的规律 和性质 本章着重讨论稳恒电流 或相对参考系以恒定速度运 动的电荷 激发稳恒磁场 不随时间变化的磁场的规律 和性质 主要内容主要内容 介绍电流激发磁场的规律 介绍电流激发磁场的规律 毕奥 萨伐尔定律毕奥 萨伐尔定律 反映磁场性质的基本定理 反映磁场性质的基本定理 磁场的高斯定理 和安培环路定理 磁场的高斯定理 和安培环路定理 磁场对运动电荷 电流的作用力 磁场对运动电荷 电流的作用力 洛伦兹力 安培力洛伦兹力 安培力 引入描述磁场的基本物理量 引入描述磁场的基本物理量 磁感强度磁感强度 B 本章研究方法与静电场非常相似 可有意识地对比 本章研究方法与静电场非常相似 可有意识地对比 常用的数学知识 常用的数学知识 矢量叉乘 微积分 定积分 矢量叉乘 微积分 定积分 引言引言 基本磁现象 磁现象的发现要比电现象早得多 公元前六 七 世纪 春秋战国时期 就发现磁石吸铁现象 东汉时期 发明了磁性指南器具 司南 十 一世纪北宋时 发明了 指南针 明朝郑和七下西洋比哥仑布早半世纪 一 基本磁现象 基本磁现象 磁现象的发现要比电现象早得多 公元前六 七 世纪 春秋战国时期 就发现磁石吸铁现象 东汉时期 发明了磁性指南器具 司南 十 一世纪北宋时 发明了 指南针 明朝郑和七下西洋比哥仑布早半世纪 一 基本磁现象 magnetic phenomenon magnetic phenomenon 我国是发现并最早应用磁现象的国家 我国是发现并最早应用磁现象的国家 6 目前还无法获得磁单极 磁极不能单独存在目前还无法获得磁单极 磁极不能单独存在 NS SNSN SNSN SN SNSN SN SNSNSNSN SNSN 磁性 极性和极性的不可分割性磁性 极性和极性的不可分割性 二 电流的磁效应二 电流的磁效应 早期人们认为电现象和磁现象互不相干 直到 十九世纪初 才发现二者的联系 早期人们认为电现象和磁现象互不相干 直到 十九世纪初 才发现二者的联系 1 载流直导线的磁效应1 载流直导线的磁效应 从1807年 1820年4月 丹麦物理学家奥斯特发 现 从1807年 1820年4月 丹麦物理学家奥斯特发 现 载流直导线周围的磁铁会受到力的作用而发生偏 转 载流直导线周围的磁铁会受到力的作用而发生偏 转 三 磁性的起源三 磁性的起源 物质磁性的电本质物质磁性的电本质 安培假说 1822年 一切磁现象都是电流产生的 或运动电荷 磁铁的磁性是分子电流产生的 这一假说又称 安培假说 1822年 一切磁现象都是电流产生的 或运动电荷 磁铁的磁性是分子电流产生的 这一假说又称分子环流假说分子环流假说 物质由分子组成 分子物质由分子组成 分子 电子 绕核旋转 自旋 原子核 质子 中子 电子 绕核旋转 自旋 原子核 质子 中子 电子的运动形成电流 激发磁场 一个分子可能含 多个原子 每个原子又可含多个电子 电子的运动形成电流 激发磁场 一个分子可能含 多个原子 每个原子又可含多个电子 一个分子所有运动着的电子激发的磁场 从总的效 果看 相当于一个环形电流所激发的磁场 一个分子所有运动着的电子激发的磁场 从总的效 果看 相当于一个环形电流所激发的磁场 此环形 电流 此环形 电流 分子电流分子电流 7 分子电流产生的磁场在轴线上 其分子电流产生的磁场在轴线上 其方向方向用右手定 则判定 用右手定 则判定 i v N S N S 磁中性磁中性 N S N S N S N S 成功解释现象 磁铁具有磁性和被磁化 为什么不存在磁单极 成功解释现象 磁铁具有磁性和被磁化 为什么不存在磁单极 总之 无论是磁铁 还是导线中的电流 它们的磁 效应均 总之 无论是磁铁 还是导线中的电流 它们的磁 效应均起源于起源于电流 即运动的电荷 磁场力是电荷之间 的另一种力 电流 即运动的电荷 磁场力是电荷之间 的另一种力 磁铁在外磁场中受到的力矩作用 磁铁在外磁场中受到的力矩作用 7 1 磁场 磁感应强度 7 1 磁场 磁感应强度 一 磁场一 磁场 SN 磁铁 SN 磁铁 SN 磁铁 SN 磁铁 电流电流 电流电流 磁场磁场磁场磁场 磁场 磁铁或电流周围存在的一种能显示 磁力的物质 磁场 磁铁或电流周围存在的一种能显示 磁力的物质 磁场最基本的性质磁场最基本的性质 磁场对磁铁 电流 运动电荷均有磁作用力 磁场对磁铁 电流 运动电荷均有磁作用力 即磁场对磁极有力的作用 磁极与磁极之间的 作用是通过磁场来实现的 即磁场对磁极有力的作用 磁极与磁极之间的 作用是通过磁场来实现的 8 I 载流导体在磁场中移动时 磁场的作用力对其 作功 与电场一样 磁场也是一种场类物质 载流导体在磁场中移动时 磁场的作用力对其 作功 与电场一样 磁场也是一种场类物质 下面借助于磁场中的小磁针来描述磁场方向下面借助于磁场中的小磁针来描述磁场方向 当通有电流I长直导线 各处小磁针指向各异 说明 小磁针所受磁力不 同 但其某一点 其 指向总是确定的 当通有电流I长直导线 各处小磁针指向各异 说明 小磁针所受磁力不 同 但其某一点 其 指向总是确定的 NS NS 规定 小磁针受磁力作用后 静止时 其N极所 指方向即为该点磁场的方向 规定 小磁针受磁力作用后 静止时 其N极所 指方向即为该点磁场的方向 结论 从微观上看 磁力都是运动电荷之间的相互作 用的表现 结论 从微观上看 磁力都是运动电荷之间的相互作 用的表现 结论 结论 从微观上看 磁力都是从微观上看 磁力都是运动电荷之间的相互作 用的表现 运动电荷之间的相互作 用的表现 小结 小结 磁体与磁体之间 磁体与电流之间 以及电流 与电流之间的磁现象 或者可以说 磁体与磁体之间 磁体与电流之间 以及电流 与电流之间的磁现象 或者可以说一切磁现象都可归 结为电流的磁效应 一切磁现象都可归 结为电流的磁效应 电流与磁体的 电流与磁体的本源本源只有一个 只有一个 电荷的运动电荷的运动 运动电荷运动电荷周围空间里存在着磁场 置于其中的另一个 运动电荷受到的磁力实际上是该磁场对它的作用该磁场对它的作用 运动电荷运动电荷运动电荷运动电荷磁场磁场 安培的分子电流假说 内部的分子电流的方向按一定 的方式排列整齐 安培的分子电流假说 内部的分子电流的方向按一定 的方式排列整齐 磁体磁体 9 1 任一点1 任一点P P的磁感应强度的方向的磁感应强度的方向 当试探电荷当试探电荷q q0 0以速度以速度v v沿某特定直线通过磁场 中的点 沿某特定直线通过磁场 中的点P P时 作用于它的时 作用于它的洛伦兹力总等于零洛伦兹力总等于零 与 试探电荷的电量和运动速率无关 与 试探电荷的电量和运动速率无关 这条特定直线 是点 这条特定直线 是点P P的磁场自身的属性 称为的磁场自身的属性 称为零力线零力线 q v B L F 用磁感应强度描述磁场 以矢量表示 用磁感应强度描述磁场 以矢量表示 B 洛伦兹力总等于零的方向洛伦兹力总等于零的方向规定为点规定为点P P的磁感应 强度的方向 的磁感应 强度的方向 二 磁感应强度二 磁感应强度 magnetic induction 分析运动点电荷在磁场中所受洛伦兹力分析运动点电荷在磁场中所受洛伦兹力 2 点点P的磁感应强度的大小的磁感应强度的大小 3 点点P的磁感应强度的指向的磁感应强度的指向 B v F 满足右螺旋关系 电荷速度与该特定方向垂直时受到的磁力最大 满足右螺旋关系 电荷速度与该特定方向垂直时受到的磁力最大 0 F B q v 正试探电荷所受洛伦兹力大小为正试探电荷所受洛伦兹力大小为 0 sin F B q v BvqF 0 v B v F m F v B m F 磁感应强度是描述磁场强弱 的位置点函数 磁感应强度是描述磁场强弱 的位置点函数 点点P P磁感应强度的大小磁感应强度的大小 0 sinFq vB 10 同样可用同样可用磁力线磁力线或或磁感应线磁感应线形象地描绘形象地描绘磁场 磁感应强度 磁场 磁感应强度 的分布 的分布 II I 电流与磁感强度成电流与磁感强度成右手螺旋关系右手螺旋关系 I 11 7 3 毕奥 萨伐尔定律毕奥 萨伐尔定律 Biot Savart s law 在计算静电场时 先确定点电荷的场强公式 同理 对任意形状的带电体视为点电荷的集合 用点电荷 场强公式 场强叠加原理 求电场分布 在计算静电场时 先确定点电荷的场强公式 同理 对任意形状的带电体视为点电荷的集合 用点电荷 场强公式 场强叠加原理 求电场分布 任意形状的载流导线视为无数小段电流组成 任意形状的载流导线视为无数小段电流组成 只须知道小段电流产生磁场的规律 理论上可求出 任意电流激发的磁场分布 只须知道小段电流产生磁场的规律 理论上可求出 任意电流激发的磁场分布 毕奥 萨伐尔定律 小段电流产生磁场的规律 毕奥 萨伐尔定律 小段电流产生磁场的规律 与点电荷的场强公式在静电场的地位相当 与点电荷的场强公式在静电场的地位相当 可以把任意载流导体分成许多电流元可以把任意载流导体分成许多电流元 而整个 载流导体所产生的磁场 而整个 载流导体所产生的磁场 是这些电流元产生磁场的 叠加 是这些电流元产生磁场的 叠加 实验加理论推导毕奥实验加理论推导毕奥 萨伐尔定律萨伐尔定律 一毕奥 萨伐尔定律一毕奥 萨伐尔定律 电流元在空间产生的磁场 电流元在空间产生的磁场 2 0 sind 4 d r lI B 3 0 d 4 d r rlI B I P lI d B d r lI d r B d 真空磁导率真空磁导率 72 0 410 N A 在载流导线上截取一线元 电流元的大小为 方向 线元电流流向 其为矢量 在载流导线上截取一线元 电流元的大小为 方向 线元电流流向 其为矢量 dl Idl dl 1 电流元1 电流元Idl Idl I2 毕奥 萨伐尔定律内容2 毕奥 萨伐尔定律内容 表述 电流元在空间点 产生的磁场为 表述 电流元在空间点 产生的磁场为 P dB Idl 12 7 3 2毕奥 萨伐尔定律的应用毕奥 萨伐尔定律的应用 d d d xxyyzz LLL BBBBBB 矢量合成 矢量合成 xyz BB iB jB k 1 将电流分解为无数个电流元 Idl 2 由电流元求dB 据毕 萨定律 3 将 dB 在坐标系中分解 并用磁场叠加原理做对称 性分析 做对称 性分析 以简化计算步骤 4 对 dB 积分求 B dB 叠加原理 叠加原理 基本步骤基本步骤 r p dB I dl r dB Idl 例例 判断下列各点磁感强度的方向和大小判断下列各点磁感强度的方向和大小 1 5点 点 0d B 3 7点 点 2 0 4 d d R lI B 0 2 0 45sin 4 d d R lI B 2 4 6 8 点 点 毕奥 萨伐尔定律毕奥 萨伐尔定律 1 2 3 4 5 6 7 8 lI d R 0 2 d d 4 r I le B r 13 例1例1 载流长直导线的磁场 载流长直导线的磁场 解解 2 0 sind 4 d r zI B CD r zI BB 2 0 sind 4 d 二毕奥 萨伐尔定律应用举例二毕奥 萨伐尔定律应用举例 y x z I P C D o 0 r B d 1 r 2 z zd 方向均沿方向均沿 x 轴的负方向轴的负方向 B d 因为各电流元产生的磁场方向 相同 磁场方向垂直纸面向里所 以只求标量积分 磁场方向垂直 纸面向里 因为各电流元产生的磁场方向 相同 磁场方向垂直纸面向里所 以只求标量积分 磁场方向垂直 纸面向里 r o r dl I l B 0 2 d d 4 r I le B r sin cot 00 rrrz 2 0 sin ddrz y x z I P C D o 0 r B d 1 r 2 z zd CD r zI BB 2 0 sind 4 d 的方向沿的方向沿x轴的负方向轴的负方向B cos cos 4 sin 4 sin sin4 sin 21 2 2 2 2 1 o o o o L o oo r I d r I r drI B 14 0 0 2r I B 0 2 1 cos cos 4 21 0 0 r I B 无限长无限长载流长直导线载流长直导线 y x z I P C D o 1 2 B r I BP 4 0 2 2 1 半无限长半无限长载流长直导线载流长直导线 B I 延长线上 延长线上 oB x r I Y Z X O lId Bd dB dB p R sin1 解 建立坐 标分割电流 由毕奥 萨 伐尔定律 解 建立坐 标分割电流 由毕奥 萨 伐尔定律 cosdBdB sindBdB p 2 4 oI dBdl r 例2 求载流圆线圈在其轴上的磁场 例2 求载流圆线圈在其轴上的磁场 3 0 d 4 d r rlI B 15 代入以上积分不变量 圆形载流导线在其平面通过圆心的轴线上所激发的 代入以上积分不变量 圆形载流导线在其平面通过圆心的轴线上所激发的 磁场方向只有沿轴的分量 垂直于轴的分量和为零 磁场方向只有沿轴的分量 垂直于轴的分量和为零 cosdBBB x 222 Rxr 22 cos xR R r R 4 2 dl r I dB o 2 3 22 2 2 2 4 cos xR IR dl r I B oo x r x B d x Bd Bd I R O Idl P x x R p o B r I 讨 论 讨 论 1 若线圈有匝若线圈有匝N 2 3 22 2 0 2 Rx IRN B 2 0 x R I B 2 0 得出圆电流环 在其轴上 一点的磁场 磁场方向与 电流满足右手螺旋法则 得出圆电流环 在其轴上 一点的磁场 磁场方向与 电流满足右手螺旋法则 2 3 22 2 2xR IR B o 圆电流环中心的场强 若线圈为N匝 每匝的电 流仍为I 则圆心O点处 圆电流环中心的场强 若线圈为N匝 每匝的电 流仍为I 则圆心O点处 2 oNI B R 16 x RI x p 圆电流环中心的场强圆电流环中心的场强 3 223 2 Rxx 3 Rx 2 3 22 2 2xR IR B o 2 0 3 0 3 0 3 2 2 2 IR B x IS x m x 式中 圆环电流的圆面积 其与电流的流向遵守右手螺旋定则 式中 圆环电流的圆面积 其与电流的流向遵守右手螺旋定则 n mISe 定义 磁距定义 磁距 2 SR n e m S I 附 电偶极子在中垂线 上无穷远处的电场强度 附 电偶极子在中垂线 上无穷远处的电场强度 3 0 4 e o P E r E p e Pql 电偶极矩电偶极矩 33 22 oo n mm Be xx 注意注意 只有圆电流的面积S很小 或者场点距圆电流 很远时 才能把圆电流叫做 只有圆电流的面积S很小 或者场点距圆电流 很远时 才能把圆电流叫做磁偶极子磁偶极子 n eISm 17 试问 对于轴线上任一点P能否与之类推 即部 分园电流在轴线上P点的磁感应强度为 试问 对于轴线上任一点P能否与之类推 即部 分园电流在轴线上P点的磁感应强度为 4 4 如果园电流仅为一部分 对应的角度 为 其圆心处的磁感应强度为 如果园电流仅为一部分 对应的角度 为 其圆心处的磁感应强度为 如 用毕奥 萨伐尔定律求部分 园电流中心处的磁感应强度公式 如 用毕奥 萨伐尔定律求部分 园电流中心处的磁感应强度公式 o I 0 2 4 Idl dB R 000 22 4422 III BdBdlR RRR 答 不能 轴线 上的分量 0 上式仅 为 分量 答 不能 轴线 上的分量 0 上式仅 为 分量 2 2 2 3 22 2 xR IR B o 22 0 R I B R 3 o I R I B 2 0 0 R I B 4 0 0 R I B 8 0 0 I R o 1 x 0 B 推 广 组 合 推 广 组 合 o 2 R I 22 0 R I B 18 A d 4 d I BA 4 0 000 0 211 444 III B RRR o I 2 R 1 R 5 r I BP 4 0 22 0 R I B 例例3 求带电旋转圆盘中心的磁感强度 求带电旋转圆盘中心的磁感强度 解 半径为解 半径为r 的环带上的圆电流的环带上的圆电流dI为为 rrqnId 2 2 dd 圆电流中心磁感强度圆电流中心磁感强度B m 0I 2R r r I Bd 22 d d 00 2 d 2 d 0 0 0 R rBB R 盘心磁感强度 设圆盘带正电荷 盘心磁感强度 设圆盘带正电荷 B的方向垂直纸面向外 的方向垂直纸面向外 r R dr O 19 2 3 22 2 0 2 xR xInR B d d 解 长度为解 长度为dx内的各匝 圆线圈的总效果 是一 匝圆电流线圈的 内的各匝 圆线圈的总效果 是一 匝圆电流线圈的ndx倍 倍 例4 载流螺旋管例4 载流螺旋管 solenoid solenoid 在其轴上的磁场在其轴上的磁场 求半径为求半径为R R 总长度 总长度l l 单位 长度上的匝数为 单位 长度上的匝数为n n的螺线管在其 轴线上一点的磁场 选坐标如图示 的螺线管在其 轴线上一点的磁场 选坐标如图示 l x R I dx 2 1 x1x2 2 1 2 3 22 2 0 2 x x xR xRnI BB d d p o B R l 2 1 2 1 sin 2csc csc 2 0 33 23 0 d dnI R RnI B 选坐标如图示选坐标如图示 cot Rx dd 2 cscRx 2222 csc RxR 载流螺旋管在其轴上的磁场 磁场方向 与电流满足右手螺旋法则 载流螺旋管在其轴上的磁场 磁场方向 与电流满足右手螺旋法则 l x R I xd 2 1 x1x2po 12 0 coscos 2 nI B 20