大学物理学 赵肇熊 吴实 答案.pdf

总习题答案February 17 2014 第一章质点力学 运动学 1 1 一个物体沿着直线运动 其加速度a 4 3t SI 若x0 5 v0 0 计算该物体在t 10 s 时的速 度和坐标 解答 任意时刻的速度 v t v0 t 0 adt t 0 4 3t dt 4t 1 5t2 t 0 4t 1 5t2 将t 10代 得v 10 190 m s 任意时刻的坐标 x t x0 t 0 v t dt 5 2t2 0 5t3 将t 10代 得x 10 705 m 1 2 质点从坐标原点开始沿着x轴运动 其速度为v t 4t sin t SI 计算该物体在t 10 s时的加 速度和坐标 解答 加速度 a 10 dv dt t 10 4 2cos t t 10 4 2 任意时刻的坐标 x t x0 t 0 v t dt t 0 4t sin t dt 2t2 cos t t 0 2t2 cos t 1 将t 10代 得x 10 200 m 1 3 如下图所示 一个物体沿着x轴运动 其速度v t 函数曲线分为三段 问 三个阶段的加速度各是多 少 三个阶段的位移各为多少 总习题1 3图 解答 加速度a dv dt 其 何意义就是图线v t 切线的斜率 位移 x v t dt是速度曲线下 的 积 OA阶段的加速度a v t 4 2 2 m s2 位移 x OA下 的 积 4 m AB阶段的加速度a v t 6 4 4 2 1 m s2 位移 x AB下 的 积 10 m BC阶段的加速度a v t 2 6 6 4 2 m s2 位移 x BC下 的 积 8 m 1 4 半径为 R 的轮子沿着 x 轴滚动 其角速度是 轮子边缘某一个点 P 的轨迹称为 旋轮线 其轨迹 方程为 x R t Rsin t y R Rcos t 1 总习题答案第一章质点力学 计算任意时刻的速率v 加速度 a 解答 速度 vx dx dt R R cos t vy dy dt R sin t 速率 v v2 x v 2 y R 1 cos t 2 sin2 t R 2 2cos t 2R sin t 2 加速度 ax dvx dt R 2sin t ay dvy dt R 2cos t a a2 x a 2 y R 2 1 5 如下图所示 在河堤上安装一个高于水面 h 的定滑轮 用绳子通过滑轮将水面上的船拉向岸边 收 绳的速率 v0均匀不变 当船到河堤的水平距离为 s 时 船速 vs多大 提示 船速是距离 s 缩短的快慢 ds dt 收绳的速率v0是绳子缩短的快慢 总习题1 5图 解答 令绳 的长度为l 由于绳 在缩短 所以v0 dl dt 根据 何关系有 l2 s2 h2 其中l s都随着时间t变化 h是常量 等式两边对时间t求导数得 d l2 dt d s2 dt d h2 dt d l2 dl dl dt d s2 ds ds dt 0 2l dl dt 2s ds dt 化简得 vs ds dt l s dl dt s2 h2 s v0 1 6 如下图所示 路灯距离地面H 人的身高h 若人以均匀的速率v0远离路灯 那么人头顶在水平地面 的阴影D以多大的速率V 远离路灯杆 提示 利用相似三角形 总习题1 6图 2 总习题答案第一章质点力学 解答 从图中可以看出 的速度就是 AB 的变化率 v0 dAB dt 影 D 的速率就是 CD 的变化率 V dCD dt 由三 形相似 SAB SCD 可得到 AB H h CD H 注意到H h都是常量 上式两边对时间求导可得 v0 H h V H V H H hv0 1 7 长度为l 的梯子搭在直角墙边 在某时刻 梯子与墙壁的角度为 且梯子的下端向外移动的瞬时速率 是v1 此刻梯子的上端向下滑动的速率v2多大 总习题1 7图 解答 设梯 的 平跨度为x 垂直 度为y 则 v1 vx dx dt v2 vy dy dt 将等式x2 y2 l2两边对时间t求导数 2x dx dt 2y dy dt 0 即 2xvx 2yvy 0 v2 x y v1 tan v1 令解 设梯 的 平跨度为x 垂直 度为y 则 y l2 x2 l2 x2 1 2 对时间t求导数 v2 vy dy dt 1 2 2x l2 x2 dx dt tan v1 1 8 一个质点从静止出发 沿着半径r 3 m的圆周运动 其切向加速度at 3 m s2 当总加速度与半径 成45 角时 计算所用的时间以及此期间所经过的路程 解答 根据at dv dt可得 dv atdt v t v0 t 0 atdt 0 t 0 3dt 3t 度为45 时 切向加速度与法向加速度 相等 将an at展开可得 v2 r 3 3t 2 3 3 t 1 s 根据v ds dt可知 ds vdt 质点的位移 s 1 0 v t dt 1 0 3tdt 1 5 m 1 9 以国际单位制度量 某质点以初始角速度 0 10做圆周运动 其角加速度 10e t 1 何时切 向加速度与法向加速度大小相等 2 质点转过的最大角位移是多少 3 总习题答案第一章质点力学 解答 根据 d dt 任意时刻的 速度 t 0 t 0 dt 10 t 0 10e tdt 10e t 设圆周的半径为r 当切向加速度与法向加速度 时 2r r 10e t 1 t ln10 2 30 根据 d dt 质点的 位移 t 0 t dt 10 1 e t 从上式可以看出 随着时间的增加 位移逐步增 当t 达到最 位移 10 1 10 某质点的运动规律为x Acos t y B sin t 其中A B 都是常量 证明r v是常矢量 解答 r ix jy iAcos t jB sin t v dx dt i dy dt j i Asin t j B cos t r v Acos t B cos ti j B sin t Asin tj i AB cos2 t sin2 t i j ABk 1 11 质点沿直线运动 加速度a 4 t2 式中a的单位为m s2 t的单位为s 如果当t 3 s时 x 9 m v 2 m s 求质点的运动方程 解答 在这 t0 3 x0 9 v0 2 v t v0 t t0 a t dt 2 t 3 4 t2 dt 4t 1 3t 3 1 m s x t x0 t t0 v t dt 3 4 t 2t2 1 12t 4 牛顿定律 1 12 粗糙的水平路面上放置质量m的重物 摩擦系数 用大小恒定的力F 拽拉 拉力与水平方向的夹 角 可以变化 问 多大时重物获得的加速度最大 解答 设地 向上的 持 为N 在垂直 向受 平衡 F sin N mg 在 平 向 顿第 定律为 F cos N ma 上述 式消去 持 N 得 ma F cos mg F sin 要使得加速度a最 就是要求上式等号右侧取得极 値 根据微积分中的极値条件 d d F cos mg F sin 0 求解得 arctan 1 13 质量为m的子弹以v0的初速度水平射入沙土墙壁中 进入墙壁后 它受到与速度成正比的水平摩擦 阻力f kv 计算子弹的速度随时间变化的函数关系 4 总习题答案第一章质点力学 解答 由f ma得 kv m dv dt dv v k m dt 积分得 lnv v v0 k mt t 0 v v0e k mt 1 14 质量为m的快艇在速度达到v0时关闭发动机 受到阻力而减速 阻力大小与速度的平方成正比 即 f kv2 证明它在水面上再行驶距离x时的速度为v v0e kx m 解答 利 隐函数的求导法则 a f m k mv 2 dv dt k mv 2 dv dx dx dt dv dxv k mv 2 dv dx k mv dv v k m dx v v0 dv v x 0 k m dx ln v v0 k mx v v0 e kx m 1 15 以初速度v0竖直上抛一个物体 除重力外 还受到空气阻力f kv 计算上升的最大高度H 解答 以垂直向上为正 向 由f ma得 kv mg m dv dt 左右两边都乘以 度的微分 dh得 kv mg dh m dv dt dh m dh dt dv mvdv 分离变量得 m k v v mg k dv dh 积分 m k 0 v0 v mg k mg k v mg k dv H 0 dh 注意上式中积分上下限的对应 计算得 H mv0 k m2g k2 ln v0 mg k mg k 相对运动 1 16 如图所示 重力场中的升降梯携带一个定滑轮以a0加速上升 定滑轮的质量以及摩擦忽略不计 计 算绳子中的张力T 总习题1 16图 解答 以定滑轮为参照系 则该 惯性系中需要添加竖直向下的惯性 ma0 设重物系统相对于定滑轮的加速度 为a 对于m1列 程 T m1g m1a0 m1a 对于m2列 程 m2g m2a0 T m2a 综合上述两个等式 可以得到 a m2 m1 m1 m2 g a0 5 总习题答案第一章质点力学 T 2m1m2 m1 m2 g a0 1 17 如图所示 重力场中的升降梯携带一个桌子以a0加速上升 质量为m1的物体与桌面之间的摩擦系 数为 定滑轮的质量以及摩擦忽略不计 计算绳子中的张力T 总习题1 17图 解答 以桌 为参照系 则该 惯性系中需要添加竖直向下的惯性 ma0 设重物系统相对于桌 的加速度为a 对于m1列 程 平 向T N m1a 垂直 向m1g m1a0 N 对于m2列 程 垂直 向m2g m2a0 T m2a 综合上述三个等式 可以得到 a m2 m1 m1 m2 g a0 T m1m2 1 m1 m2 g a0 动量 1 18 质量m 0 5 kg的物体沿直线运动 其位移x 4ln 1 2t SI 计算0 t 0 因为碎片的射出 炮弹射程增加多少 忽略空气阻力 解答 在爆炸的瞬间 平动量守恒 炮弹爆炸前 平速度为v0cos 设爆炸后炮弹的相对于地 的速 度为v 则碎 相对于地 向前运动的速度为v u Mv0cos m v u M m v 爆炸前后炮弹 平速度的增量为 v v v0cos mu M 炮弹 平速度的变化并不影响垂直 向的运动 炮弹上升到最 点花费的时间和从最 点下降的时间相 同 均为 T v0sin g 平射程增加 v T muv0sin Mg 7 总习题答案第一章质点力学 1 23 一条质量m1 100 kg长度l 3 m的小船停在水面上 质量m2 50 kg 的人从船头走到船尾 在 此过程中小船的位移多大 假定水的阻力很小 总习题1 23图 解答 解法 平动量守恒 只考虑动量 可得到 m1v1 m2v2 m1 t 0 v1dt m2 t 0 v2dt 速率的积分就是路程 所以 m1l1 m2l2 其中 相对于地 前 的路程l1与船相对于地 后退的路程l2之和就是船长l l1 l2 l 联 上述两式得 l1 m2l m1 m2 1 m 解法 以 前进的 向为正 向 平动量守恒 可得到 m1v1 m2v2 0 m1v1 m2 v2 v1 m2v1 0 其中 v2 v1 是 相对于船的速度 它的积分就是船长l m1l1 m2l m2l1 0 l1 m2l m1 m2 1 m 这 的负号表 船的位移与 的位移 向相反 功与能量 1 24 一维空间的保守力场F 1 2x 规定Ep x 0 5 0 求此力场的势能函数 解答 Ep x 0 5 x Fdx 0 5 x 1 2x dx x2 x 0 25 1 25 如图所示 通过高度为h的定滑轮 用恒定大小的拉力F 将质量为m的物体从60 处拉到垂直位置 忽略滑轮以及绳子的质量 忽略一切摩擦力 物体开始处于静止状态 计算物体通过垂直位置时的速度 总习题1 25图 解答 当物体处在中间任意 个位置时 拉 的 平分量 Fx F cos F x h2 x2 初始位置的坐标为x0 htan60 3h 拉 做功 W 0 x0 Fxdx F 0 x0 x h2 x2 dx Fh 8 总习题答案第一章质点力学 根据动能定理 W Ek 1 2mv 2 v 2Fh m 1 26 质量m 2 kg的物体沿着x轴运动 初速度v0 1 m s 该物体受到沿着x轴正向的作用力F x 从x 0运动至x 6 m 问在该过程中F 的冲量多大 总习题1 26图 解答 F 做的功 W 6 0 F x dx 图线下 的 积 24 J 根据动能定理 W 1 2mv 2 6 1 2mv 2 0 v6 5 m s 根据动量定理 I mv6 mv0 8 N s 1 27 质量 m 2 kg的物体沿着 x轴运动 初速度 v0 2 m s 该物体受到沿着 x 轴正向的作用力 F t 如下图所示 问在0 t 0 时 则系统的机械能 E 1 2kx 2 mAgx 利 机械能守恒定律 结合上述两式 可以得到 x mAg k mA mB g k 2mAg k mBg k 捨去負根 弹簧被压缩时 的平衡 程给出 F mAg kx x kx mAg mA mB g 1 34 如下图所示 半径 R 的四分之一光滑圆槽放在光滑的地面上 小滑块从圆槽顶端下滑 当落至底部 时 相对于地面的速度多大 此时滑块对圆槽的压力多大 假定圆槽与滑块质量相等M m 总习题1 34图 解答 滑块运动 底部时 滑块与圆槽之间的作 为竖直 向 因此 者 平 向均没有加速度 以圆 11 总习题答案第一章质点力学 槽为参照物 滑块相对于圆槽做圆周运动 在底部 滑块相对圆槽的速度为v V N mg m v V 2 R 在下落过程中 没有耗散 做功 机械能守恒 mgR 1 2mv 2 1 2MV 2 滑块与圆槽在 平 向不受外 平动量守恒 mv MV 联 上述三式以及m M 可得到 v V gR N 5mg 1 35 如下图所示 动量是mv0的小钢柱打到一个总质量为M 的静止弹簧靶上 弹簧的劲度系数为k 忽 略一切摩擦阻力 计算弹簧的最大压缩长度 总习题1 35图 解答 当钢柱慢慢减速 靶慢慢加速 使得 者的速度相等时 弹簧被压缩的长度最 平 向没有阻 平动量守恒 设共同的速度是v 最 压缩长度是s mv0 m M v 钢柱与软弹簧的碰撞可以看做完全弹性的 1 2mv 2 0 1 2 m M v 2 1 2ks 2 联 上述两式可得到 s v0 mM k m M 1 36 长度为l 的细线拴着一个质量为M 的沙袋 动量为mv0的子弹水平射入沙袋 问沙袋向上摆动的最 大高度是多少 解答 弹打 沙袋的过程中 有内摩擦 做功 机械能不守恒 但是 平动量守恒 mv0 m M v 沙袋与 弹上摆过程中 只有重 做功 机械能守恒 1 2 m M v 2 m M gh 解得 h 1 2g mv0 m M 2 1 37 质量M 的软木块停在摩擦系数为 的水平面上 质量m的子弹水平射入木块后 木块能够滑行s 距 离 问子弹的水平初速度v0多大 解答 弹打 块的过程时间很短 摩擦 的冲量忽略 因此 平动量守恒 mv0 m M v1 者结合后 摩擦 做功 最终停 摩擦 做的功等于机械能的增加量 m M gs 0 1 2 m M v 2 1 从上述两式中消去v1 即可得到 v0 m M m 2 gs 12 总习题答案February 17 2014 第二章连续介质力学 转动惯量 2 1 半径为R 质量为m的均匀细圆环绕它的一条直径转动 根据定义计算它的转动惯量 总习题2 1图 解答 以环 为坐标原点建 极坐标 平坐标轴为转轴 每个质元到转轴的距离为l Rsin 对应的 圆 为 d 整个圆周的 度为2 总质量为m 则该质元的质量为 dm m 2 d J L l2dm 2 0 R2sin2 m 2 d mR2 2 2 0 sin2 d mR2 2 2 0 1 cos2 2 d 1 2mR 2 2 2 半径为R 质量为m的均匀细圆环绕它的一条切线转动 根据定义计算它的转动惯量 总习题2 2图 解答 以环 为坐标原点建 极坐标 每个质元到转轴的距离为l R Rcos 对应的圆 为 d 整 个圆周的 度为2 总质量为m 则该质元的质量为 dm m 2 d J L l2dm 2 0 R2 1 cos2 m 2 d mR2 2 2 0 3 cos2 2 d 3 2mR 2 2 3 已知均匀薄圆盘质量为m 半径为R 根据平行轴定理和正交轴定理 证明若圆盘绕它自己边缘的一 条切线旋转 则转动惯量为5mR2 4 总习题2 3图 解答 以圆盘中 为原点建 直 坐标系 使得 z 轴垂直于圆盘 则 Jz 1 2mR 2 根据垂直轴定理有 Jx Jy Jz 根据对称性可知Jx Jy 故有Jy 1 4mR 2 作切线平 于y 轴 则根据平 轴定理 J Jy mR2 5 4mR 2 13 总习题答案第二章连续介质力学 2 4 在半径为R2的均匀薄圆盘中心再挖去半径为R1的圆盘 剩余的圆环总质量为 m 证明剩余部分相 对于中垂轴的转动惯量为m R2 1 R 2 2 2 解答 圆盘的 密度为 m R2 2 R21 将该圆盘切割为细圆环 其转动惯量 dJ r2dm r2 2 rdr 2m R2 2 R21 r3dr 总转动惯量 J 2m R2 2 R21 R2 R1 r3dr m 2 R2 2 R 2 1 另解 设圆盘的 密度为 半径为 R2的 圆盘质量为 m2 R2 2 挖去的 圆盘质量为 m1 R2 1 剩余部分的质量m R 2 2 R 2 1 圆盘的转动惯量 J2 1 2m2R 2 2 1 2 R 4 2 圆盘的转动惯量 J1 1 2m1R 2 1 1 2 R 4 1 剩余部分的转动惯量 J J2 J1 1 2 R 4 2 R 4 1 1 2 R2 2 R 2 1 R2 2 R 2 1 1 2 m R2 2 R 2 1 2 5 用薄铁皮焊接一个密封的圆桶 其直径以及高度均为D 总质量是m 该圆桶相对于中心轴线的转动 惯量多大 解答 设单位 积铁 的质量为k 则圆桶端盖的质量为 m1 k D 2 2 k 4 D2 圆桶侧壁的质量为 m2 k D D k D2 圆桶的总质量 m 2m1 m2 3 2k D 2 k 2 3 m D2 两个端盖可视为均匀圆盘 其总转动惯量为 2 1 2m1 D 2 2 k 16 D4 侧壁的转动惯量为 m2 D 2 2 k 4 D4 圆桶总转动惯量为 J k 16 D4 k 4 D4 5k 16 D4 5 24mD 2 转动定律 2 6 如下图所示 重物的质量m1 m2 定滑轮的半径为r 转动惯量为J 软绳与滑轮之间无相对滑动 滑轮的轮轴处无摩擦 物体 与水平支撑面之间的摩擦系数为 计算重物加速度a的大小 总习题2 6图 14 总习题答案第二章连续介质力学 解答 设滑轮两侧绳 的张 分别为F1 F2 重物1加速下落 m1g F1 m1a 1 重物2向右加速 F2 m2g m2a 2 定滑轮加速转动 F1r F2r J Ja r 3 式 1 r 2 r 3 得 m1gr m2gr r m1 m2 J r2 a a m1g m2g m1 m2 J r2 另解 假设重物下落距离l 时 速率为v 则此刻滑轮的 速度 根据动能定理 重 与摩擦 做功 等于系统动能增量 m1gl m2gl 1 2 m1 m2 v2 1 2J 2 将 v r 代 上式化简 可得到 m1g m2g l 1 2 m 1 m2 J r2 v2 在该式中 l 与v 是随着时间变化的 两边对时间求导 可得到 m1g m2g dl dt 1 2 m 1 m2 J r2 2v dv dt 其中 dl dt v dv dt a a m1g m2g m1 m2 J r2 2 7 如下图所示 定滑轮由两个半径不同的轮子拼接而成 总转动惯量为J 半径分别为r1 r2 且r1 r2 重物的质量m1 m2 软绳与滑轮之间无相对滑动 滑轮的轮轴处无摩擦 计算滑轮的角加速度 的大小 总习题2 7图 解答 设悬挂两个重物的绳 的张 分别为F1 F2 定滑轮转动 周 重物1下降的距离 于重物2 上升 的距离 因此两个重物运动的加速度是不同的 定滑轮的 加速度是共同的 重物1加速下落m1g F1 m1a1 m1r1 1 重物2加速上升F2 m2g m2a2 m2r2 2 定滑轮加速转动F1r1 F2r2 J 3 式 1 r1 2 r2 3 得 m1gr1 m2gr2 m1r2 1 m2r 2 2 J m1gr1 m2gr2 m1r2 1 m2r22 J 2 8 如下图所示 两个定滑轮的半径分别为R1 R2 转动惯量分别为J1 J2 绳子的质量忽略不计 两端 分别悬挂的重物质量为m1 m2 软绳与滑轮之间无相对滑动 滑轮的轮轴处无摩擦 计算重物的加速度 a的大小 15 总习题答案第二章连续介质力学 总习题2 8图 解答 设悬挂两个重物的绳 的张 分别为F1 F2 两定滑轮之间的 平绳 张 为F0 两个滑轮的线 速度 线加速度相同 但是 速度 加速度不等 重物1加速下落m1g F1 m1a 1 重物2加速上升F2 m2g m2a 2 滑轮1顺时针转动F1R1 F0R1 J1 1 J1a R1 3 滑轮2顺时针转动F0R2 F2R2 J2 2 J2a R2 4 式 1 2 3 R1 4 R2得 m1g m2g m1 m2 J1 R2 1 J2 R 2 2 a a m1g m2g m1 m2 J1 R2 1 J2 R22 另解 利 动能定理求解 重物1下落的距离与重物2上升的距离相同 设为h 重 做功等于系统动 能的增量 m1gh m2gh 1 2m1v 2 1 2m2v 2 1 2J1 2 1 1 2J2 2 2 其中 1 v R1 2 v R2 代 上式得 m1 m2 gh 1 2 m 1 m2 J1 R21 J2 R22 v2 两边对时间求导 m1 m2 g dh dt 1 2 m 1 m2 J1 R21 J2 R22 2v dv dt 其中 dh dt v dv dt a 代 即可得 a m1 m2 g m1 m2 J1 R2 1 J2 R22 2 9 某通风扇在角速度为 时撤去动力 叶片受到空气阻力矩而减速 假设阻力矩的大小与转速成正比 比例系数为k 叶片的转动惯量为J 问多长时间后转速降为初始值的一半 此时叶片转过了多少转 解答 根据转动定律M J Jd dt k J d dt d k J t 0 dt t e kt J 令 2 可得到t J ln2 k 在此期间 叶 转过的 度为 t 0 t dt J k e kt J t 0 J 2k 转过的转数为 2 J 4 k 另解 第 问可以有另外 种解法 k J d dt J d d d dt J d d 16 总习题答案第二章连续介质力学 分离变量 积分 0 d J k 2 d 计算得 J 2k 角动量 2 10 如图所示 光滑水平桌面上 长为H 质量为m1的均匀细棒能绕一端自由转动 开始时 细棒静止于 水平桌面上 现有长度为r H 2的轻质细线牵引质量为m2的小球 在水平桌面内以速度v20垂直撞击 细棒并粘在一起 细线的固定点与细棒的转轴近似重合 求细棒和小球一起运动时的角速度 总习题2 10图 解答 将细棒与 球看做系统 平桌 的 撑 平 于转轴 所以不予考虑 在 平 向存在的外 是 由细线以及细棒的转轴产 的 所以 平 向的动量不守恒 但是这两个 是通过转轴的 矩为零 因 此该系统的 动量守恒 球的转动惯量J2 m2r2 m2H2 4 初始 速度 20 v20 r 2v20 H 在碰撞之前 球的 动量 J2 20 1 2m2v20H 碰撞后 球与细棒 起运动 相对于转轴的转动惯量为 J1 J2 1 3m1H 2 1 4m2H 2 根据 动量守恒定律 1 2m2v20H 1 3m1H 2 1 4m2H 2 可得 6m2v20 4m1 3m2 H 2 11 如下图所示 转动惯量J1半径为R 的定滑轮以角速度 10顺时针转动 总质量m2初速度v20的一 束液态黏胶逆时针方向直射到滑轮边缘 滑轮与黏胶一起转动的角速度多大 总习题2 11图 解答 系统的 动量守恒 以顺时针为正 向 黏结之前系统的总 动量为 J1 10 m2v20h 设黏结之后的 速度为 黏胶形成 个薄圆环 其转动惯量为m2R2 所以系统的 动量为 J1 m2R2 由 动量守恒得 J1 10 m2v20h J1 m2R2 J1 10 m2v20h J1 m2R2 17 总习题答案第二章连续介质力学 2 12 如下图所示 转动惯量 J1半径为R1的定滑轮A 以角速度 10顺时针转动 转动惯量J2半径为 R2 的滑轮B初始静止 缓慢的靠近滑轮A并通过边缘的摩擦力以达到共同的转动线速度 共同的转动线速 度多大 总习题2 12图 解答 两个滑轮的转动轴不相同 动量的参考标准不 致 因此不能 动量守恒 设共同的线速度是 v 末态 速度分别为 1 2 则必有 v 1R1 2R2 1 设两轮之间的摩擦 为f 对于A滑轮进 分析有 fR1 dt J1 1 J1 10 2 对于B滑轮进 分析有 fR1 dt J2 2 2 联 2 3 两式得 J1 10 J1 1 J2 2 再把 1 式代 得 J1 10 J1 v R1 J2 v R2 v J1 10 J1 R1 J2 R2 2 13 质量为m1的均匀圆盘在水平面内以角速度 0无摩擦的转动 圆盘边缘停着一只质量为m2的小虫 如果小虫爬到圆盘的中心 圆盘的角速度变为多大 解答 令圆盘的半径为R 在边缘时 系统的总转动惯量为 J0 1 2m1R 2 m2R2 爬到圆盘的中 后 其转动半径为零 故系统的总转动惯量为J 1 2m1R 2 在 爬 过程中 外 矩 所以系统总 动量守恒 J0 0 J m1 2m2 m1 0 2 14 水平的均匀圆盘质量为m 半径为R1 可以绕中垂轴无摩擦的转动 圆盘上有一个质量为m 的人 开始时 系统静止不动 当人在圆盘上绕中心轴以半径R2转动时 圆盘必然倒转 若人相对于圆盘的速 率是v 问圆盘倒转的角速度多大 解答 设 对地的 速度为 20 圆盘对地 速度为 10 则 相对于圆盘的 速度为 21 20 10 v R2 圆盘的转动惯量为mR2 1 2 的转动惯量为mR 2 2 根据 动量守恒有 1 2mR 2 1 10 mR 2 2 20 0 联 上述 式消去 20 可得到 10 2R2v 2R2 2 R21 转动能量 18 总习题答案第二章连续介质力学 2 15 如下图所示 定滑轮半径为r 转动惯量为J 软绳与滑轮之间无相对滑动 滑轮的轮轴处无摩擦 弹 簧的劲度系数为k 系统刚开始处于静止状态且弹簧无变形 计算物体m 的最大下落速率以及最大下落 距离 总习题2 15图 解答 重物下落过程中 只有弹簧和重 做功 机械能守恒 设下落 度h时 重物的速率为v 则滑轮的 速度为 v r 以刚开始下落的位置作为弹性势能和重 势能的零点 则有 0 1 2mv 2 1 2J 2 1 2kh 2 mgh 化简为 1 2 m J r 2 v2 mgh 1 2kh 2 在下落过程中 先是重 于弹性 加速下落 然后弹性 于重 减速下落 当弹性 等于重 时 加速度为零 下落速度最 即mg kh h mg k 代 式 得最 速率 vm mg mk Jk r2 当下落的速率v 0时 下落的距离最 将v 0代 式 得 hm 2mg k 另解 根据式 速率v 取得极 値时 等价于式 右侧的 次函数mgh 1 2kh 2 取得极 値 该 次函数的图像是 条开 向下的抛物线 与横轴有两个交点 mgh 1 2kh 2 0 h1 0 h2 2mg k 抛物线的最 点必然位于两个根的中点h mg k 将它回代式 即可得到最 速度vm 因为v2 0 故式 的右侧mgh 1 2kh 2 0 从抛物线的图像可以看出0 h 2mg k h的极 値hm 2mg k 2 16 如下图所示 长度为D 质量为M 的均匀细棒可以绕端点自由转动 另一端固定一个质量为m 的小 球 若系统从水平位置开始摆动 当摆动 角时 角速度多大 总习题2 16图 解答 系统的总转动惯量J 1 3MD 2 mD2 当摆动 时 细棒的重 下降 1 2Dsin 球重 下降 Dsin 在下落过程中 重 做功转化为系统的动能 Mg 1 2Dsin mg Dsin 1 2J 2 将J 代 计算得 3M 6m g sin M 3m D 另解 利 重 矩做功等于动能增量 来求解 19 总习题答案第二章连续介质力学 系统转动 任意 度 时 棒的重 矩为Mg 1 2Dcos 球的重 矩为mg Dcos 重 矩做功 W 0 Md 0 Mg 1 2Dcos mg Dcos d Mg 1 2Dsin mg Dsin 可以看到重 矩做的功与重 做的功 其结果是相同的 动能定理W 1 2J 2 即可得到最终结论 流体 2 17 自来水管从地面延伸至楼顶 地面部分内径4 cm 流速2 m s 压强3 105Pa 楼顶的高度为5 m 水管内径2 cm 计算楼顶水管中的水压 重力加速度取g 10 m s2 解答 已知v1 2 m s D1 4 cm p1 3 105Pa h1 0 D2 2 cm h2 5 m 根据连续性 程 v1S1 v2S2 v1 D2 1 4 v2 D2 2 4 得v2 8 m s 根据伯努利 程 p1 gh1 1 2 v2 1 p2 gh2 1 2 v2 2 代 数据 3 105 0 1 2 103 22 p2 103 9 8 5 1 2 103 82 计算得p2 2 21 105Pa 综合 2 18 如下图所示 两个定滑轮通过皮带连在一起 半径分别为R1 R2 转动惯量分别为J1 J2 皮带的质 量忽略不计 与滑轮之间无相对滑动 滑轮的轮轴处无摩擦 若在滑轮 上施加大小为M0的外力矩 计 算该滑轮的角加速度的大小 总习题2 18图 解答 两个滑轮的线速度 线加速度相同 但是 速度 加速度不同 假设滑轮 转过 度 1时 两个滑轮的 速度分别为 1 2 根据动能定理 M0 1 1 2J1 2 1 1 2J2 2 2 两个滑轮 带相连 所以其线速度相等 1R1 2R2 联 上述 式消去 2得 M0 1 1 2 J1 J2R2 1 R2 2 2 1 上式两边对时间t求导 可得到 M0 1 1 2 J1 J2R2 1 R2 2 2 1 1 消去 1 1 M0 J1 J2R2 1 R22 另解 设上层 带的张 为Fu 下层 带的张 为Fd 两个滑轮的切线加速度相等 R1 1 R2 2 a 1 20 总习题答案第二章连续介质力学 令顺时针转动为正向 对于滑轮 M0 Fd Fu R1 J1 1 J1a R1 2 对于滑轮 Fu Fd R2 J2 2 J2a R2 3 式 2 R1 式 3 R2得 a M0 R1 J1 R2 1 J2 R22 加速度 1 a R1 M0 J1 J2R2 1 R22 21 总习题答案February 17 2014 第三章静电场 电荷与电场 3 1 如下图所示 长为 L 的直线上均匀分布有线密度为 的正电荷 在直线延长线上与直线一端相距 a a 0 的位置放置了一个电量为 q 的点电荷 计算该电荷受到的静电力的大小 总习题3 1图 解答 以直线的右端为座标原点 左 为正 向 在座标为 x 处取 段长度为 dx 的线段 其电荷量为 dQ dx 该电荷元在q 处激发的电场强度为 dE dQ 4 0r2 dx 4 0 a x 2 由于该电场的 向不变化 因此总电场为 E L 0 dx 4 0 a x 2 4 0 1 a x L 0 4 0 L a L a 电荷q 受到的电场 为 F qE q 4 0 L a L a 另解 电荷元 dQ与 q 的作 为 dF qdQ 4 0 a x 2 q dx 4 0 a x 2 因为所有的作 都在同 个 向上 故总作 为 F L 0 q dx 4 0 a x 2 q 4 0 L a L a 3 2 如下图所示 长为2L的直线上均匀分布有线密度为 的正电荷 计算在直线的中垂线上与直线相距 为a的位置的电场强度 2L a P 总习题3 2图 解答 本题需要根据 微元 思想求解 dE dq 4 0r2 我们需要将这个表达式 具体的坐标表 以棒的中 为原点 线电荷 向为x轴 y 轴经过P点 令电 荷元的坐标为x 长度为 dx 其带电量 dq dx 到P点的距离为r x2 a2 根据电荷的对称性 总电场 定是垂直向上 因此我们只需要计算电场的y 分量 dEy dE cos dq 4 0r2 cos dx 4 0 x2 a2 a x2 a2 总电场 E L L dEy L L a dx 4 0 x2 a2 3 这个积分需要换元处理 从图中可以看出 sin x x2 a2 x atan dx asec2 d 22 总习题答案第三章静电场 代 上式得 E 2 1 d 4 0asec 4 0 sin 2 1 从图中可以看出 积分上限x2 L 积分下限x1 L sin 2 x2 a2 x2 2 L a2 L2 sin 1 x1 a2 x2 1 L a2 L2 所以 E 2 0a L a2 L2 3 3 如下图所示 用细绝缘线弯成的半圆形环 半径为R 其上均匀地携带正电荷Q 求圆心O 点处的电 场强度E 提示 电荷元 dq dl Rd dE 总习题3 3图 解答 从图的对称性可以发现 总电场是垂直向下的 dE dq 4 0R2 sin Rd 4 0R2 sin 其中电荷线密度 Q R 总电场垂直向下 E 4 0R 0 sin d 2 0R Q 2 0 2R2 电通量 3 4 如下图所示 有一立方形的闭合曲面 边长 a 0 1 m 已知空间的场强分布为 E 200i 300j 100k V m 分别计算通过表面 的电通量 总习题3 4图 解答 各个平 的 积S a2 0 01 以 体的外法线为正 向 可得到 S1 0 01i S2 0 01j S3 0 01k 根据电通量的定义 1 E S1 200i 300j 100k 0 01i 2 V m 2 200i 300j 100k 0 01j 3 V m 3 200i 300j 100k 0 01k 1 V m 3 5 如下图所示 有一立方形的闭合曲面 边长a 0 1 m 已知空间的场强分布为Ex bx Ey Ez 0 b 1000 V m2 1 求通过该闭合面的总电通量 2 求该闭合面内的净电荷量 23 总习题答案第三章静电场 总习题3 5图 解答 1 因为电场只有x分量 所以只有x 向的两个平 存在通量 当电场线与 积垂直 与 积的法 线平 式 电通量 电场 积 在a位置 电场穿 平 通量为负値 a Ex a2 x a ba3 1 在2a位置 电场穿出平 通量为正 2a Ex a2 x 2a 2ba3 2 总通量为 1 2 1 V m 2 根据 斯定理 q 0 q 0 8 854 10 12C 3 6 设匀强电场的场强E与半径为R 的半球面的对称轴平行 计算通过此半球面的电场强度通量 解答 构造 个半径为R 的圆形平 将其与半球 拼合为 个完整的闭合曲 若均匀电场的电场线 从平 穿过 必然从半球 穿过 因此通过半球 的电通量与通过平 的通量相同 E S E R2 3 7 将电量为q 的点电荷放在一个立方体的顶点上 则通过立方体表面的总电通量大小为多少 解答 电荷所在平 的通量为零 其它三个 的通量为q 24 0 总通量为q 8 0 高斯定理 3 8 在半径为a的球形空间中分布着体密度为 的均匀电荷 证明球体内外的电场分布为 E r 3 0 er r a a3 3 0r2 er r a 总习题3 8图 解答 根据对称性 球体内外的电场 向 定是沿着半径 向的 在距离球 为r 处 场强 E 定是 相等的 构造如图中虚线所 的半径为r 的闭合 斯 在该闭合球 处 场强的 相等且处处与球 垂直 电通量 电场 积 e S E dS E 4 r2 若r a 则该 斯 内的电荷量为 qin 4 3 r 3 若r a 则该 斯 内的电荷量为 qin 4 3 a 3 24 总习题答案第三章静电场 根据 斯定理 e qin 0得 E 4 r2 4 3 0 r3 r a 4 3 0 a3 r a 化简 并考虑到E的 向沿着半径er 向 可得证 3 9 横截面半径为a的无限长圆柱空间中均匀分布有体密度为 的电荷 根据高斯定理证明圆柱内外空间 的电场分布为 E r 2 0 er r a a2 2 0r er r a 总习题3 9图 解答 根据对称性 电场 向垂直于中 轴并沿着半径 向 即er的 向 构造 个长度为h 半径为r 的圆柱 显然 圆柱左右两个端 与电场平 电通量为零 只有圆柱的筒状侧 有电通量 在筒状侧 处 场强 相等 且始终与侧 垂直 电通量 场强 积 e 左 右 側 0 0 E S側 E 2 r h 若r a 则该 斯 内的电荷量为 qin a2 h 根据 斯定理 e qin 0得 E 2 r h 1 0 r2 h r a a2 h r a 继续化简并添加电场 向er即可得结论 3 10 某无限长均匀带电空心圆筒面半径为a 电荷线密度为 证明圆筒面内外的电场分布为 E 0 r a 总习题3 10图 解答 根据对称性 电场 向垂直于中 轴并沿着半径 向 即er的 向 构造 个长度为l 半径为r 的圆柱 显然 圆柱的两个底 与电场平 电通量为零 只有圆柱的筒状侧 有电通量 电通量 场 强 积 E 2 r l 根据 斯定理 e qin 0得 E 2 r l 1 0 0 r a 继续化简并添加电场 向er即可得结论 25 总习题答案第三章静电场 3 11 如下图所示 均匀带电的两个同心球壳半径分别为 r1 r2 总电量分别为 q1 q2 计算空间的电场 分布 总习题3 11图 解答 根据对称性 球体内外的电场 向 定是沿着半径 向的 设距离球 为r 处 场强 为E 电 通量 e E 4 r2 根据 斯定理 e qin 0得 E 4 r2 1 0 0 r r1 q1 r1 r r2 q1 q2 r2 r 继续化简并添加电场 向er即可得 E 0 r r1 q1 0r2 er r1 r r2 q1 q2 0r2 er r2 r 3 12 厚度为a的无限大均匀带电平板 电荷体密度为 判定其周围电场的方向并计算电场的大小 总习题3 12图 解答 以板的中 对称 为界 将空间分为两个区域 空间电场与平板垂直 并且向两侧发散 构造 个 的柱形闭曲 横跨中 对称 的两侧并且在两侧的 度相等 设柱形的半 度为l 底 积为A 显然 只有柱形的两个底 有电通量 e 2EA 根据 斯定理 e qin 0得 2EA 1 0 2Al l a 2 Aa l a 2 化简得 E l 0 l y1 0 计算两点之间的电压U12 解答 限长直线电荷周围的电场与直线垂直 场强 的分布为 E 2 0y 根据电势的定义计算 U12 y2 y1 Edy y2 y1 2 0y dy 2 0 ln y2 y1 3 15 长为L的直线上均匀分布有线密度为 的电荷 在直线延长线上与导线一端相距a的位置放置了一 个电量为q 的点电荷 若将该电荷移动至无穷远处 电场力做功多大 解答 根据叠加原理计算a位置的电势 Ua L dq 4 0r 1 4 0 L 0 dx x a 4 0 ln a L a 电场 做功 Wa q0Ua q0Ua q 4 0 ln a L a 3 16 两个同心的均匀带电球面 半径分别为r1 r2 r1 R 距离球 为r 且r r1的位置 位于两个球 的内部 两个球 电荷在这个内部位置产 的电势之和为 U r q1 4 0r1 q2 4 0r2 距离球 r1 r r2的位置 位于球 1的外部 在球 2的内部 电势之和为 U r q1 4 0r q2 4 0r2 在r2 r 处 两个球 产 的电势之和为 U r q1 4 0r q2 4 0r 3 17 两个均匀带电的同心球壳半径分别为r1 10 cm r2 30 cm 电量分别为q1 10 nC q2 15 nC 计算距离球心r 20 cm以及r 50 cm处的电势 解答 r 20 cm处于两个球壳之间 故 U r q1 4 0r q2 4 0r2 9 109 10 10 9 0 2 15 10 9 0 3 900 V r 50 cm处于两个球壳之外 U r q1 4 0r q2 4 0r 9 109 10 10 9 0 5 15 10 9 0 5 450 V 27 总习题答案第三章静电场 3 18 半径为R 的均匀带电圆盘 电荷面密度为 以无穷远为势能零点 计算圆心O 处的电势 提示 将 圆盘切割为许多同心圆环 解答 将圆盘切割为许多半径为 r 宽度为 dr 的窄圆环 每个圆环的 积为 dA 2 rdr 带电量 dq dA 该圆环在中 O处的电势为 dU dq 4 0r 2 rdr 4 0r dr 2 0 总电势 U R 0 dr 2 0 R 2 0 3 19 如下图所示 电偶极子p ql 证明无限远处的A点电势为 U p r 4 0r3 p er 4 0r2 其中r是从偶极子中心O指向A点的位置矢量 A O r r p r 总习题3 19图 解答 正 负电荷在A处激发的电势和为 U q 4 0r q 4 0r q r r 4 0r r 根据图 r r l 2 cos r r l 2 cos 略去 阶 限 量l2 可得到 r r lcos r r r2 l2 4 cos2 r2 所以有 U qlcos 4 0r2 pcos r 4 0r3 p r 4 0r3 3 20 证明 在均匀电场E中 电偶极子p的电势能可以表示为 Ep p E pE cos 解答 根据例题 电偶极 在电场中受到的 矩 为 M pE sin 并且此 矩倾向于令 减 因 此M pE sin 若规定 90 的 向为势能零点 Ep 90 Md 90 pE sin d pE cos p E 导体与电容 3 21 球形电容器是由半径分别为RA和RB的两个同心的金属壳所组成的 设RA RB 证明球形电容 器的电容为 C 4 0 RARB RB RA 28 总习题答案第三章静电场 解答 令内球携带正电荷Q 外球携带负电荷 Q 根据 斯定理 两个球 之间的电场强度为 E Q 4 0r2 电压 UAB RB RA Edr Q 4 0 RB RA RARB 电容 C Q UAB 4 0 RARB RB RA 3 22 有的计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片 它下面隔一定空气隙是一块固定金属片 这样两 块金属片就组成一个小电容器 当键被按下时 此小电容器的电容就发生变化 与之相连的电子线路就能 检测出是哪个键被按下了 从而给出相应的信号 设每个金属片的面积为50 0 mm2 两金属片之间的距 离是0 600 mm 如果电子线路能检测出的电容变化是0 250 pF 那么键需要按下多大的距离才能给出必 要的信号 解答 提 平板电容 C 0S d 直接代数计算 综合 3 23 如下图所示 电荷线密度为 1的无限长直线与电荷线密度为 2的有限长直线共面放置 计算它们之 间的相互作用力 总习题3 23图 解答 限长直线电荷1在外部空间激发的场强为