大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法.pdf

第八章第八章 第九节第九节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值 及其求法 多元函数的极值 及其求法 一 多元函数的极值 二 多元函数的最值 三 多元函数的条件极值 一 多元函数的极值 二 多元函数的最值 三 多元函数的条件极值 A B C D z f x y f 在顶点在顶点A B C D处有极大值处有极大值 x z 0 y 7 7 多元函数的极值多元函数的极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 A B C D z f x y f 在点在点D处有极大值处有极大值 D是尖点 是尖点 x z 0 y 7 7 多元函数的极值多元函数的极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z 一 多元函数的极值一 多元函数的极值 定义 定义 若函数 则称函数在该点取得 若函数 则称函数在该点取得极大值 极小值 极大值 极小值 例如 例如 在点 在点 0 0 有极小值 在点 有极小值 在点 0 0 有极大值 在点 有极大值 在点 0 0 无极值 极大值和极小值 统称为 无极值 极大值和极小值 统称为极值极值 使函数取得极值的点称为 使函数取得极值的点称为极值点极值点 00 yxfyxf 或 或 22 43yxz 22 yxz yxz 00 yxyxfz在点在点 的某邻域内有的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 必要条件 定理 1 必要条件 设函数设函数 yxfz 在点在点 00 yx具有偏导数 且在点具有偏导数 且在点 00 yx处有极值 则 处有极值 则 0 00 yxf x 0 00 yxf y 多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 不妨设不妨设 yxfz 在点在点 00 yx处有极大值 处有极大值 则对于则对于 00 yx的某邻域内任意的的某邻域内任意的 00 yxyx 都有都有 yxf 00 yxf 证证 故当故当 0 yy 0 xx 时 有 时 有 BAC 时 若 时 若0 A 有极小值 有极小值 2 当 2 当 0 2 BAC 时没有极值 时没有极值 3 当 3 当 0 2 BAC 时可能有极值 也可能没有 极值 还需另作讨论 时可能有极值 也可能没有 极值 还需另作讨论 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证由二元函数的泰勒公式 由二元函数的泰勒公式 对于任一 对于任一 0100 PUkyhx 有 有 0000 yxfkyhxff 2 2 1 0000 2 kyhxfhkkyhxfh xyxx 00 2 kyhxfk yy 10 BAC 即 即 0 2 000000 yxfyxfyxf xyyyxx 7 因因 yxf的二阶偏导数在的二阶偏导数在 01 PU内连续 由不等式内连续 由不等式 7 可知 存在点可知 存在点 0 P的邻域的邻域 0102 PUPU 使得对任一 使得对任一 0200 PUkyhx 有 有 0 2 xyyyxx fff 8 由由 8 式可知 当式可知 当 0200 PUkyhx 时 时 xx f 及及 yy f 都不等于零且两者同号 于是 都不等于零且两者同号 于是 6 式可写成 式可写成 2 1 2 2 2 xyyyxxxyxx xx fffkfkfh f f 当当kh 不同时为零且不同时为零且 0200 PUkyhx 时 上式右端方括号内的值为正 所以 时 上式右端方括号内的值为正 所以 f 异于异于零零 且与 且与 xx f 同号 同号 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 注 将将 yxf xx 在点在点 00 kyhx 处的值记为处的值记为 xx f 其他类似 其他类似 又由 又由 yxf的二阶偏导数的连续性知的二阶偏导数的连续性知 xx f 与与A同号 因此 同号 因此f 与 与 A同号 当同号 当0 A时时 00 yxf为极小值 当为极小值 当 0 A时时 00 yxf为极大值 为极大值 2 设 设 0 2 BAC 即 即 0 2 000000 yxfyxfyxf xyyyxx 9 i 先假定 i 先假定0 0000 yxfyxf yyxx 则 则0 00 yxf xy 分别令 分别令 hk 及 及 hk 则由 则由 6 式可得 式可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 10101010 1010 2 kyhxfkyhxf kyhxf h f yyxy xx 及及 2 2 20202020 2020 2 kyhxfkyhxf kyhxf h f yyxy xx 其中 其中 1 0 21 BAC 5 0 1 f 0 A xyxyxyxf933 2233 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点在点 3 0 处 不是极值 在点 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 处 为极大值 66 xyxf xx 0 yxf yx 66 yyxf yy 12 A 0 B 6 C 0612 2 BAC 0 A 在点在点 1 2 处 不是极值 处 不是极值 6 0 12 CBA 2 1 f 0 6 12 2 z z BAC 函数在函数在P有极值有极值 将将 1 1 P代入原方程 代入原方程 有有 6 2 21 zz 当当2 1 z时 时 0 4 1 A 所以所以2 1 1 fz为极小值 为极小值 当当6 2 z时 时 0 4 1 z 为极小值 为极小值 33 yxz 222 yxz 在点在点 0 0 并且在 并且在 0 0 都有都有 0 2 BAC 33 yxz 可能为可能为 0 0 0 0 0 222 yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 多元函数的最值二 多元函数的最值 函数 函数 f 在闭区域上连续 函数 在闭区域上连续 函数 f 在闭区域上可达到最值在闭区域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点 边界上的最值点 驻点 边界上的最值点 特别 特别 当区域内部最值存在 且当区域内部最值存在 且只有一个只有一个极值点极值点P P 时 时 大 大 大 大 依据依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 为极小 值为极小 值 Pf为最小 值为最小 值 Pf 例 4例 4 求二元函数 求二元函数 4 2 yxyxyxfz 在直线在直线 6 yx x轴和 轴和 y轴所围成的闭区域 轴所围成的闭区域 D上的最大值 与最小值 上的最大值 与最小值 解解 先求函数在先求函数在D内的驻点 内的驻点 x y o 6 yx D D 如右图如右图 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解方程组解方程组 0 4 0 4 2 22 2 yxyxxyxf yxyxxyyxf y x 再求再求 yxf在在D边界上的最值 边界上的最值 在边界在边界0 x和和0 y上上0 yxf x y o 6 yx D 在边界在边界6 yx上 即上 即xy 6 代入原方程得代入原方程得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 由 02 6 4 2 xxxf x 得得 4 0 21 xx 2 6 4 x xy 64 2 4 f则则 2 6 2 xxyxf 得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点 1 2 且且4 1 2 f x y o 6 yx D 在边界在边界6 yx上 即上 即yx 6 代入原方程得代入原方程得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 由 0 6 2 6 4 2 yyyf y 得得 2 6 21 yy 4 6 2 y yx 64 2 4 f则则 比较后可知比较后可知 4 1 2 f为最大值 为最大值 64 2 4 f为最小值 为最小值 2 6 2 yyyxf 例 5例 5 求函数 求函数 94 22 yxyxf 在 在 4 22 yxD上 的最大值与最小值 上 的最大值与最小值 解 解 1 求函数在 1 求函数在D内的驻点 内的驻点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解方程组解方程组 08 02 yyxf xyxf y x 0 0 得驻点得驻点 2 求 2 求 yxf在在D的边界 的边界 4 22 yx 上的最值 上的最值 4 22 得代入将得代入将yxfyxi 133 2 yyxf yg 记记 的驻点 求的驻点 求 yg06 yyg令令0 y 22 4yx 代入边界代入边界 2 x 0 2 得两点得两点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 22 得代入将得代入将yxfxyii 253 2 xyxf xh 记记 的驻点 求的驻点 求 xh06 xxh令令0 x 22 4xy 代入边界代入边界 2 y 94 22 yxyxf 2 0 得两点得两点 3 求出这五个点的函数值 3 求出这五个点的函数值 19 0 0 f 13 0 2 f 25 2 0 f 比较后可知比较后可知 25 2 0 f为最大值 为最大值 19 0 0 f为最小值 为最小值 例 6例 6 求 求 1 22 yx yx z 的最大值和最小值 的最大值和最小值 0 1 2 1 222 22 yx yxyyx z y 得驻点 得驻点 2 1 2 1 和 和 2 1 2 1 解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 1 2 1 222 22 yx yxxyx zx 即边界上的值为零 即边界上的值为零 2 1 2 1 2 1 z 2 1 2 1 2 1 z 所以最大值为所以最大值为 2 1 最小值为 最小值为 2 1 因为因为 0 1 lim 22 yx yx y x 例7 例7 解 解 设水箱长 宽分别为 设水箱长 宽分别为 x y m 则高为 则水箱所用材料的面积为 令得驻点 某厂要用铁板做一个体积为 则高为 则水箱所用材料的面积为 令得驻点 某厂要用铁板做一个体积为 2的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱 问当长 宽 高各取怎样的尺寸时 才能使用料最省 问当长 宽 高各取怎样的尺寸时 才能使用料最省 m 2 xy 2 Ayx xy y 2 xy x 2 yx yx 22 2 0 0 y x 0 2 2 2 x yAx 0 2 2 2 y xAy 3 m 2 2 33 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 因此可断定此唯一驻点就是最小值点 长 宽均为高为 水箱所用材料最省 因此可断定此唯一驻点就是最小值点 长 宽均为高为 水箱所用材料最省 2 3 3 33 2 22 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 即当 时 即当 例8 例8 有一宽为 有一宽为 24cm 的长方形铁板 把它折起来做成的长方形铁板 把它折起来做成 解 解 设折起来的边长为 设折起来的边长为 x cm 则断面面积 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽 倾角为 一个断面为等腰梯形的水槽 倾角为 A cos2224xx x224 2 1 sin x sincossin2sin24 22 xxx x 积最大 积最大 2 0 120 xD 为为 问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x224 cos24x cos2 2 x 0 sin cos 222 x 令令 x A sin24 sin4x 0cossin2 x A 解得 由题意知 最大值在定义域 解得 由题意知 最大值在定义域D 内达到 而在域内达到 而在域D 内只有 一个驻点 故此点即为所求 内只有 一个驻点 故此点即为所求 0sin 0 x sincossin2sin24 22 xxxA 0 120 2 xD 0cos212 xx 0 sin coscos2cos24 22 xx cm 8 60 3 x o 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 三 条件极值 拉格朗日乘数法三 条件极值 拉格朗日乘数法 例如 函数例如 函数 22 1yxz 0 a x y z 满足约束条件 满足约束条件 0 y 极大值为 1 满足约束条 件 极大值为 1 满足约束条 件 10 aay 极大值 为 极大值 为 2 1a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 极值问题极值问题 无条件极值 条 件 极 值 无条件极值 条 件 极 值 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 条件极值的求法 条件极值的求法 方法1 代入法 方法1 代入法 求一元函数的无条件极值问题 例如 求一元函数的无条件极值问题 例如 转化转化 0 下在条件下在条件 yx 的极值求函数的极值求函数 yxfz 0 xyyx 中解出从条件中解出从条件 xxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论函数 讨论函数 zyxfu 目标函数 满足 约束条件 约束方程 目标函数 满足 约束条件 约束方程 0 zyx 的条件极值 问题 的条件极值 问题 设函数 设函数 zyxf和 和 zyx 都有连续的一 阶偏导数 且 都有连续的一 阶偏导数 且 0 zyx z 则 则 0 zyx 确定了隐函数 确定了隐函数 yxzz 于是得 于是得 方法2 拉格朗日乘数法 方法2 拉格朗日乘数法 yxzyxfu 令令0 x z z f x f ux0 y z z f y f uy 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 因因 z x x z z y y z 代如上方程组得代如上方程组得 0 x z z x f f 0 y z z y f f z z f 令令 则有则有 0 0 0 0 zyx f f f zz yy xx 上式中解出上式中解出x y z 即为稳定点 即为稳定点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 x z z f x f ux0 y z z f y f uy 用拉格朗日乘数法求条件极值的步骤为 用拉格朗日乘数法求条件极值的步骤为 目标函数 约束方程 目标函数 约束方程 zyxfu 0 zyx 设函数 设函数 zyxf和 和 zyx 都有连续的一 阶偏导数 且 都有连续的一 阶偏导数 且 0 zyx z 称为拉格朗日函数 其中参数 称为拉格朗日函数 其中参数 称为拉格朗日 乘子 称为拉格朗日 乘子 1 构造函数 1 构造函数 zyxzyxfzyxF 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解出解出 zyx 其中 其中zyx 就是可能的极值点 的坐标 即条件极值的稳定点 就是可能的极值点 的坐标 即条件极值的稳定点 3 判定此稳定点是否为条件极值的极值点 3 判定此稳定点是否为条件极值的极值点 2 解方程组 2 解方程组 0 0 0 0 zyxF zyxzyxfF zyxzyxfF zyxzyxfF zzz yyy xxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxfzyxF 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 例如 例如 求函数 下的极值 求函数 下的极值 在条件在条件 zyxfu 0 zyx 0 zyx 21 zyxzyxzyxfF 0 21 xxxx fF 0 21 yyyy fF 0 21 zzzz fF 0 1 F 0 2 F 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 例9 要设计一个容量为要设计一个容量为 0 V 则问题为求则问题为求x y 令 解方程组 令 解方程组 解 解 设 设 x y z 分别表示长 宽 高 下水箱表面积 最小 分别表示长 宽 高 下水箱表面积 最小 z 使在条件使在条件 x F02 zyyz y F02 zxxz z F0 2 yxyx F0 0 Vzyx 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱 试问 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱 试问 0 Vzyx yxzyzxS 2 2 0 VzyxyxzyzxF x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点得唯一驻点 22 3 0 Vzyx 3 0 2 4 V 由题意可知合理的设计是存在的 由题意可知合理的设计是存在的 长 宽为高的 长 宽为高的 2 倍时 所用材料最省 倍时 所用材料最省 因此 当高为因此 当高为 3 0 4 V x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考 思考 1 当水箱封闭时 长 宽 高的尺寸如何 1 当水箱封闭时 长 宽 高的尺寸如何 提示 提示 利用对称性可知 利用对称性可知 3 0 Vzyx 2 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价 最省 应如何设拉格朗日函数 长 宽 高尺寸如何 2 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价 最省 应如何设拉格朗日函数 长 宽 高尺寸如何 提示 提示 2 0 VzyxyxzyzxF 2 长 宽 高尺寸相等 长 宽 高尺寸相等 之间的最短距离 与平面求旋转抛物面 之间的最短距离 与平面求旋转抛物面22 22 zyxyxz例10例10 解解 22 6 1 022 22 zyxd dzyxP yxzzyxP 的距离为到平面 则上任一点为抛物面设 的距离为到平面 则上任一点为抛物面设 分析 分析 最小 即 且使满足 使得本题变为求一点 最小 即 且使满足 使得本题变为求一点 22 6 1 22 6 1 0 22 22 zyxd zyxdzyx zyxzyxP 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 22 6 1 222 yxzzyxzyxF 令令 4 3 0 2 22 3 1 2 02 22 3 1 1 02 22 3 1 22 yxz zyxF yzyxF xzyxF z y x 8 1 4 1 4 1 zyx解此方程组得解此方程组得 得得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 64 7 2 4 1 4 1 4 1 6 1 min d 8 1 4 1 4 1 即得唯一驻点即得唯一驻点 处取得最小值 驻点 故必在 一定存在 且有唯一根据题意距离的最小值 处取得最小值 驻点 故必在 一定存在 且有唯一根据题意距离的最小值 8 1 4 1 4 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 11 例 11 将正数 12 分成三个正数将正数 12 分成三个正数zyx 之和 使得 之和 使得 zyxu 23 为最大 为最大 解解令令 12 23 zyxzyxzyxF 12 0 02 03 23 3 22 zyx yxF yzxF zyxF z y x 解得唯一驻点解得唯一驻点 2 4 6 6912246 23 max u 则则 故最大值为故最大值为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 12例 12 在第一卦限内作椭球面 在第一卦限内作椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的切平面 使切平面与三个坐标面所围成的四面 体体积最小 求切点坐标 的切平面 使切平面与三个坐标面所围成的四面 体体积最小 求切点坐标 解解设设 000 zyxP为椭球面上一点 为椭球面上一点 令令 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyxF 则则 2 0 2 a x F Px 2 0 2 b y F Py 2 0 2 c z F Pz 过 过 000 zyxP 的切平面方程为 的切平面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 02 0 xx a x 02 0 yy b y 0 02 0 zz c z 化简为化简为 1 2 0 2 0 2 0 c zz b yy a xx 该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 0 2 x a x 0 2 y b y 0 2 z c z 所围四面体的体积所围四面体的体积 000 222 66 1 zyx cba xyzV 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 在条件 在条件 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 下求 V 的最小值 下求 V 的最小值 令令 lnlnln 000 zyxu 由由 01 0 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 000 c y b y a x GGG zyx 000 zyxG 000 lnlnlnzyx 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 所围四面体的体积所围四面体的体积 000 222 66 1 zyx cba xyzV 当切点坐标为 当切点坐标为 3 a 3 b 3 c 时 时 四面体的体积最小四面体的体积最小abcV 2 3 min 即即 01 0 21 0 21 0 21 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 c z b y a x c z z b y y a x x 3 3 3 0 0 0 c z b y a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得可得 例 4例 4 求二元函数 求二元函数 4 2 yxyxyxfz 在直线在直线 6 yx x轴和 轴和 y轴所围成的闭区域 轴所围成的闭区域 D上的最大值 与最小值 上的最大值 与最小值 解解2 先求函数在先求函数在D内的驻点 内的驻点 x y o 6 yx D D 如右图如右图 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解方程组解方程组 0 4 0 4 2 22 2 yxyxxyxf yxyxxyyxf y x 得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点 1 2 且且4 1 2 f 再求再求 yxf在在D边界上的最值 边界上的最值 在边界在边界0 x和和0 y上上0 yxf x y o 6 yx D 在边界在边界6 yx上 可用条件极值求上 可用条件极值求 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令 6 4 2 yxyxyxyxF 06 0 4 0 4 2 22 2 yxf yxyxxf yxyxxyf y x 解得解得 2 4 yx 64 2 4 f则则 比较后可知比较后可知 4 1 2 f为最大值 为最大值 64 2 4 f为最小值 为最小值 例 5例 5 求函数 求函数 94 22 yxyxf 在 在 4 22 yxD上 的最大值与最小值 上 的最大值与最小值 解解2 1 求函数在 1 求函数在D内的驻点 内的驻点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解方程组解方程组 08 02 yyxf xyxf y x 0 0 得驻点得驻点 2 求 2 求 yxf在在D的边界 的边界 4 22 yx 上的最值 上的最值 可用拉格朗日乘数法求 可用拉格朗日乘数法求 4 94 2222 yxyxyxF 令 令 04 0 4 2 0 1 2 22 yxF yF xF y x 2 0 yx解得 解得 0 2 yx或 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 94 22 yxyxf 3 求出这五个点的函数值 3 求出这五个点的函数值 19 0 0 f 13 0 2 f 25 2 0 f 比较后可知比较后可知 25 2 0 f为最大值 为最大值 19 0 0 f为最小值 为最小值 四 内容小结四 内容小结 1 函数的无条件极值问题1 函数的无条件极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 2 函数的条件极值问题2 函数的条件极值问题 1 简单问题用代入法 1 简单问题用代入法 yxfz 0 0 yxf yxf y x 如对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 如对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值 解方程组 第二步 判别 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值 解方程组 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数 确定定义域 及约束条件 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数 确定定义域 及约束条件 3 函数的最值问题3 函数的最值问题 在条件 求驻点 在条件 求驻点 yxfz 0 yx yxyxfF 0 xxx fF 0 yyy fF 0 F 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题习题7 9 P122 1 2 2 3 3 4 6 8 9 11 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 解解 不是 不是 例如例如 22 yxyxf 当当0 x时 时 2 0 yyf 在在 0 0 取极大值 当 取极大值 当0 y时 时 2 0 xxf 在在 0