浅谈矩阵的秩及其应用定稿.doc

山西师范大学本科毕业论文 浅谈矩阵的秩及其应用姓 名李欢院 系数学与计算机科学学院专 业数学与应用数学班 级07510101学 号0751010125指导教师张富荣答辩日期2010.12.20成 绩 浅谈矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。【关键词】矩阵 矩阵的秩 线性方程组 非零子式的最高级数 初等变换A Brief Introduction on the rank of Matrix and the Application of the rank of MatrixAbstract In matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations.At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations.In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application. 【Key Words】 matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation目 录一、引言(01)二、矩阵的秩的有关概念 (01)三、矩阵中的相关定理及命题(02)四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣的比较(03) (一)矩阵的秩两种计算方法(03) (二)两种计算方法的优劣比较(04)五、矩阵运算中矩阵的秩的关系(05)六、矩阵秩的应用(08) (一)矩阵的秩在线性方程组中的应用(08) (二)矩阵的秩在解析几何中的应用(10) (三)矩阵的秩在其它方面的应用(10)参考文献(12)致谢(12)IIIIII浅谈矩阵的秩及其应用学生姓名：李欢 指导老师：张富荣一、引言矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。许多学者都认为，“在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变换下的不变量，矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况有密切的联系”。分析矩阵的秩在行列式、线性空间中的应用，可以将有关行列式、线性方程组问题转化矩阵的问题来解决,可以省略一些中间过程，减少计算量，使复杂的问题简单化，有利于线性代数的学习。深刻地理解矩阵的秩会对学习、研究线性代数后续课程有很大帮助。二、矩阵的秩的有关概念为了介绍矩阵的秩，首先介绍级子式的概念定义11 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编 王萼芳 石生明 修订 高等代数-3版. M北京:高等教育出版社，2003，9。 级子式 在阶矩阵中任意选定矩阵的行和列,将位于这些所选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序组成的一个新的行列式,称为矩阵的的一个级子式。定义22 李尚志 编著 线性代数M北京：高等教育出版社，2006.5。 矩阵的秩 设所含的非零子式的最高阶数为,则称为矩阵的秩,记为.当时,不含任何非零子式,定义矩阵的秩为0，记为.矩阵的秩可分为行秩和列秩。所谓矩阵的行秩是将矩阵的每一行看成一个向量,那么该矩阵就可以认为是由这些行向量组成的,这些行向量组的秩就是矩阵的行秩；同样,将每一列看成一个向量,那么列向量组的秩就是矩阵的列秩。我们将行秩与列秩统称为矩阵的秩。简单地说,矩阵的行秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的行向量的个数；矩阵的列秩就是矩阵经过初等变换化为阶梯形矩阵后，新矩阵中非零的列向量的个数。显然，阶矩阵的非零子式的最高阶数比中的任何一个都小，可记为.若,当时称为行满秩,同样，若，当时称为列满秩；如果,并且当达到最大值时，称为满秩方阵。 例 对于矩阵矩阵的行向量为,计算可得，向量组的秩为3,那么可知，矩阵的行秩为3.矩阵的列向量为,计算可得，向量组的秩为3,那么可知，矩阵的列秩为3.矩阵的行向量,则矩阵.矩阵列向量为,经计算向量组,的秩为3,则矩阵的列秩为3.三、矩阵中的相关定理及命题命题11一个矩阵的秩为级子式,而所有的级子式(若矩阵存在级子式)全都为0. 命题2 矩阵经初等变换后，矩阵的秩不发生改变.定理11 矩阵的行秩和列秩是相等的. 证明1 设所讨论的矩阵为而A的行秩为,列秩为.要证,先证.以代表矩阵的行向量组,不妨设是它的一个极大线形无关组。因为是线性无关的,所以只有零解,这也就是说,齐次线形方程组只有零解.则方程组的系数矩阵的行秩因此在它的行向量中可以找到个是线性无关的,比如向量组线性无关，在这些向量上再添加若干个分量后所得的新的向量组依然是线性无关的。并且它们正好是矩阵的个列向量,由于它们的线性无关性，由此可知矩阵的列秩至少是,也就是说.同理可得.这样就证明了,进而说明矩阵行秩与列秩相等。由此可以看出上例中的行秩和列秩相等绝非偶然情况，而是对任意的矩阵都有行秩等于列秩。因此，我们将矩阵的行秩和列秩通称为矩阵的秩,且三者相等。定理21 阶矩阵的行列式为零的充要条件为.证明1 充分性 因为矩阵的秩等于矩阵的行秩,且,所以矩阵的行秩小于,因此可知矩阵的行向量组是线形相关的,由行列式的性质可得,矩阵的行列式为零。必要性 当时,矩阵为零,结论显然成立。假设结论对成立。讨论的情形,若第一列元素均为零,则.若存在不为零的元素,不妨设利用初等变换将其余各行的第一列元素消成零, 则其中,且为矩阵的行向量。因为矩阵的行列式为零,所以由归纳假设的行向量线性相关。因此，向量组线性相关，进而可得出也是线性相关的，即.由归纳假设可得结论对任意得都成立。由定理2可得出推论,的充要条件是四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣比较(一) 矩阵的秩的两种计算方法方法一 求矩阵的非零子式的最高级数由定义知，矩阵的秩为矩阵中存在的非零子式的最高级数。又根据命题1可知若一个矩阵的秩为等价于矩阵中有一个级子式不为,同时所有的级子式全都为0.因此,我们可以得到计算矩阵的秩的一种方法，若存在级子式不为0,而所有的级子式(如果有的话)全部为0,那么矩阵的秩即为.方法二 进行初等变换由上述定理可知，矩阵的秩等于矩阵行秩或列秩,且由命题2可知矩阵经初等变换后矩阵的秩不发生改变,因此，我们可以得到计算矩阵的秩的另一种方法，利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵,所得矩阵中的非零的行数或列数即为矩阵的秩。对于上述所给的例子对于矩阵方法一 因为 所以,又因为该矩阵不存在4级子式,因此得出.方法二 矩阵有3个非零的行向量,因此行秩为3,从而矩阵的秩为3.对于矩阵方法一 因为 所以.对于的3级子式由16种可能,取1,2,4行和1,3，4列计算得 所以.方法二 (二) 对于两种方法,初等变换逻辑性不强,没有层次感,相比之下求级子式，直接明了易于理解。当矩阵阶数时,两种方法相差无几,计算量与难度也相差不大。而当阶数3时,初等变换法明显优于求矩阵的级子式,并且随着阶数的增加两种方法的难度差距也随之增大。对于阶矩阵，若行列式不为零,它的级子式有种可能,级子式有种可能,其他子式的可能情况更多,因而用这种方法的计算量比较大,相对的正确率也比较低,而用初等变换的方法步骤简练,中间过程比较少,相对来说计算量比较小,出错的可能性也比较低。因此, 求级子式的方法有局限性，相对而言初等变换的方法优于求非零子式最高级数的方法。五、矩阵运算中矩阵的秩的关系 (以下讨论的关系中均为可进行运算的矩阵) 关系1 .证明 若能证明,则可证明结论成立。以为例 令表示的列向量,表示的列向量,计算可得,也就是说， 可以由 线性表出,所以.同样,可得,因此得出.关系2 .证明 令为 的列向量为 则的列向量为.因而可以得的列向量组,可以由,线性表出,即 .结论成立。关系3 .证法一因为 所以 .证法二 设,，因此 存在可逆矩阵使得,令,则因此可得 ,而,所以 ,而总行数为，可以得出.即.结论成立。关系4 若,则.证法一 可得，由关系3可得.证法二 表示矩阵的列向量,则,因此有.设, ,则可以由个,即.关系5 若 则.证明 由可得,进而可得,由关系4得 .又因为,可得,且,由关系2得.所以.关系6 若 则.证明 由可得,进而可得由关系4得 .又因为,可得且,.由关系2得,所以 .关系7 . 证明 若方程组的任意非零解，有，那么,则也是方程组的非零解。若方程组，有，在的两边同左乘得,即.由此可得方程组的非零解。可以看出，方程组与方程组同解，则两个方程组基础解系所含向量的个数相同。因为方程组的基础解系所含解的个数等于方程组未知量的个数减去系数矩阵的秩，所以结论成立，即关系8 若是 使得.证明3 黄光谷 黄东 李杨 蔡晓英 编 高等代数辅导与习题解答M华中科技大学出版社， 2005.3。充分性 ，其中为,所以矩阵为列满秩.必要性 矩阵 ,的前,于是存在阶可逆矩阵使得,其中为令，则有再令,则有于是令,则结论成立。同样的，若是阶可逆矩阵使得.关系9 阶矩阵的秩为,则有的和 ,使得.证明3由于因此存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得则有,其中，由关系8可知，分 六、矩阵秩的应用矩阵与线性方程组有密切的关系,在判断线性方程组的解得情况时,矩阵的秩起着十分重要的作用。定理14 陈志杰 编 高等代数与解析几何(上册) M 北京：高等教育出版社，2008.12。 证明 必要性 记系数矩阵为,列向量组为,增广矩阵为,列向量组为.则线性方程组可以写成由此可以看出可以由线性表出,因此,与是等价的,因而有相同的秩,即充分性4 若,说明与有相同的秩,因若为列向量组 可以由线性表出,又因于是，向量组与其极大线性无关组是等价的。所以，可以由线性表出,即是向量组的一个线性组合,例 对于方程组讨论解 系数矩阵 增广矩阵若要方程组有解则需.由此可以看出当时 。当,且时 方程组有唯一解。当时 方程组无解。对于非齐次线性方程组来说，为其系数矩阵，为其增广矩阵，当时，若,则方程组有唯一解，若,则方程组有无穷多组解；当时，方程组无解。矩阵的秩不仅可以用来判断非齐次线性方程组有无解,而且还可以用来判断线性方程组解的情况，进而确定其通解的结构。以下定理可根据矩阵的秩判断解的情况。定理21 .其中为方程组的系数矩阵,且.例 （1） 解 方程组的系数矩阵为，计算系数矩阵的行列式,方程组的系数矩阵为则方程组化简为 （2）由于线性无关，表示方程组的通解。因此，方程组的通解为 其中当时，,方程组只有零解。用来判断给出一般方程的空间两直线的位置关系。 ； ；解的情况，由于每个线性方程都代表一个平面,方程组表示两平面的交线，即所给出的直线所