（应用数学专业论文）z2上一类5维3lie代数.pdf

摘要 摘要 n 一李代数是李代数的推广 它是乘法运算为n 元运算的一种多元李代数 我们知 道n 一李代数在物理及几何上都有它的背景 因此研究佗一李代数的结构及应用是非常 有必要的 本文主要研究历域上一类5 维3 一李代数的结构特征及其内导子代数的结 构特征 分别研究了当西 z 4 1 1 2 时汤域上5 维3 一李代数的结构特点及内导子 李代数的结构 证明了当出仇a l 1 2 时磊域上5 维3 一李代数是可解的或是幂零的 3 一李代数 内导子李代数足可解李代数 且并分别给出了内导子的具体表示 论文共分3 部分 第一部分谈了n 一李代数的背景及发展状况 第二部分给出了论 文要用到的基本概念和基本结论 第三部分研究了磊域上5 维3 一李代数的结构及内 导子代数的结构特征 关键词n 一李代数 导子 内导子代数 可解性 幂零性 a 1 s t r a f t a b s t r a c t 一l i ea l g c b r ai sag c n c r a l i z t i o no fl i ea l g c b r a w h i c hi sa na l g c b r a i cs y s t c mw i t h a nn m u l t i p l cl i n e a ro p c r a t i o n t h cn l i ea l g c b r ah a si t sb a c kg r o u n di nm c c l l a n i c s a n dm a n i f b l d s s oi t i sn c c c s s a r yt os t u d yt h cs t r u c t u r ca n da p p l i c a t i o n so ft h c m t h c p a p c rm a i n l yc o n c c r n ss t r u c t u r eo fac l a s so f5d i m e n s i o n a l3 一l i ca l g c b r a sa n dt h c i r i n n e rd e r i v a t i o na l g c b r a s t l l es t r u c t u r co n5d i m c n s i o n a l3 一l i ea l g e b r a so v c r 汤w i t h 1a n d2d i m e n s i o n a ld c r i v c da l g c b r a sa n ds t r u c t u r co fi n n e rd c r i r a t i o na l g c b r a u sa r e s t u d i e dr e s p e c t i v c l y i ti sp r o v c dt h a t5d i m c n s i o n a l3 一l i ea l g c b r a sa r es o l a b l ca n d i n n c rd c r i v a t i o na l g c b r a l sa r es o l v a b l cl i ea l g e b r a u si fd c r i v e da l g c b r a sw i t hd i m c n s i o n1 o r2 a n dt h ec o n c r c t cc x p r c s s i o no ft h c mi sg i v c n t h cp a p e rc o n s i s t so ft h r c cs c c t i o n s t h cb a c kg r o u n da n dd e v e l o p m c n to fn l i e a l g c b r a sa r ci n t r o d u c e di nt h cs c c t i o n1 i nt h es c c t i o n2w g i v es o m ed e f i n i t i o n sa 1 1 d r e s u l t so f 礼一l i ca l g c b r a sw h i c ha r eu s c di nt h ep a p c r i nt h cs c c t i o n3 r cs t u d yt h c s t r u c t u r co f5d i m c n s i o n a l3 一l i ca l g c b r a so v c r 汤w i t h1a n d2d i m c n s i o n a ld c r i c d a l g c b r a s k e y w o r d s n l i ea l g c b r a s d c r i v a t i o i l s i n n c rd e r i r a t i o na l g c b r a l s s o l r a b l c n i l p o t c n c y i i 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我 所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写的 研究成果 也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料 与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致 谢 作者签名 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 学校可以公布 论文的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本学位论文属于 1 保密口 在 年 月 日解密后适用本授权声明 2 不保密陟 请在以上相应方格内打 作者签名 导师签名 事 侈 j 今 锄 旎够赢 日期 巡年上月2 l 同 日期 之型 年二生二月丝r 保护知识产权声明 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的 本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律 行政法规以及河北大学的相关规定 本人声明如下 本论文的成果归河北大学所有 未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权 本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容 如果违反本声明 本人愿意承担相应法律责任 声明人 作者签名 导师签名 日期 盟年二l 月 l f 1 日期 螳吐月止同 日期 出塑年j 二月丛同 0 引言 o 引言 近几年来 人们对李代数的n 一元运算的推广有了很大兴趣 这是由于动力学及数 学的不断发展而产生的 可参看文献 1 2 3 1 目前为止 人们根据对标准j a c o b i 恒等 式的不同理解以及具有的不同性质 对李代数的慨念已经提出了两种不同的推广形式 不同的定义形式 有其不同的应用领域 1 9 8 5 年 v t f i l i p p o v 在文献 4 中提出了n 一李代数的概念 定义了n 一元多重 运算p l i z 满足反对称性及广义的j a u c o b i 恒等式 陋 z n 驰 秒 1 旺1 k 抛 z j 1 在这篇文章中 v t f i l i p p o v 给出了第一个他一李代数的基本例子以及一些结构性慨 念 如半单性 幂零性 还对 n 1 维n 一李代数进行了分类 s h m k a s y m o r 在文 章 5 中介绍并研究了七一可解性 七一幂零性 o k n c a r t a n 子代数 k m i l l g 型以及f i l i p p vn 一李代数的表示 他还证明了类似李代数中的e n g c l 定理 另一种对j a u c o b i 恒等式自然的推广具有形式 一1 矗玩 矗l 慨 z f 协 h o j 2 i 1 i t z j l j n l 这里的和取决于 i 1 一 i 和 j l 一 j 一 的所有满足 i u j 1 一 九一 1 2 2 礼一1 多元有序列 这些在1 9 9 0 一1 9 9 2 提出的理论在文献 6 中发表 作者受f i l i p p o v 在1 9 8 5 年的工作的启发 注意到n 为偶数时 1 一n 一李代数也是 了2 一扎一李代数 至于它们在物理和几何上的背景 我们只介绍f i l i p p o v 孔一李代数 简称为n l i c 代数 一个n 一元李代数结构是一个札一p o i 隅o n 结构 作为一个在光滑流行上的光滑 函数代数的多元导子的实现 函数行列式 删她州黝 河北大学理学硕十论文 是在a c 即 的具有这样结构的一个最简单的例子 1 9 7 3 年 y n a n l b i l 推广了 h a l i l t o n i a n 动力系统 1 提出了n a m b u 动力系统 将空间的二元运算一p o i s s o n 括号 积推广为三元运算一称为n a m b u 括号积 然而 y n a m b u 没有提到相对于n j a c o b i 等式 j 1 中的n 一元括积 后来l c n ot a l 1 t a j a n 在文章f 2 中的开始部分提出了这个 问题 他系统发展了n p o i s s o n 流形 型 j 1 的慨念并称之为n a m b u p o i s s o n 流形 其在n a m b u 动力系统中与p o i s s o n 流形在h a m i l t o n i a n 动力系统中具有同佯的角色 1 9 9 3 年l c n ot a h l t a j a n 提出了n a m b u 括号积的基本恒等式一推广的j a u c o b i 恒等式 作为动力系统的一个相容性条件 2 其像空间的线性n a m b u 结构与n 一李代数的结构 一一对应 所以n 一李代数的研究对动力系统的研究有重要的意义 由于n 一李代数具有多元线性运算 佗一李代数的结构和李代数的结构有很大区 别 因此对n 一李代数结构还需我们进一步研究 我们简单介绍论文的结构 在第二部分介绍本文要用到的一些基本概念和结论 第 三部分研究了该5 维3 一李代数的内导子代数及其结构特征 1 预备知识 1 预备知识 在本章中给出本文要用到的一些基本概念和基本结论 内容主要参考文献 4 9 定义1 1 佗一李代数是域f 上的具有扎一元运算 的线性空间 且满足下 列恒等式 k l 一 z 一1 7 引k 1 1 1 h k 弛 z 1 2 i l 这里矿 7 矿 分别等于o 或1 当盯是偶排列或奇排列时 注 若c 尸 2 则对任意z 4 有z 一z 故 2 1 应写成为 且 k 1 z j 陋 1 z j z 1 z i 巧 z o 1 3 这里i 歹 z i 巧 关于n 一李代数的例子很多 例如假设a 是交换的结合代数 d 1 d 是a 上 的佗个可交换的导子 定义4 上的佗元运算 任取z 1 z a 这里 z 1 1 h l l l 个 正n 1 z l h 个7 山扎n z 巧 z j d i 1 i 歹 n 直接计算可验证 按上述运算构成一个n 一李代数 且当d i m a 时 a 是无限维 的n 一李代数 设 4 是一个n 李代数 对任意以 4 i 1 n 线性变换 月 上2 z n a a 丁1 r z 2 z k l z 3 河北大学理学硕士学位论文 称为由元素z 1 z 一l a 所决定的a 的右乘算子 定义1 2n 一李代数a 的导子d 是a 到自身的线性变换 满足条件 对任意z z n a h 禹 d h 兢 d z 1 4 i l 由等式 1 2 右乘算子及其线性组合是导子称其为内导子 a 的所有导子生成9 f a 的 子代数称为a 的导子代数 记为d e 7 a 记l a 为所有右乘算子生成的子代数即内导 子李代数 从等式 1 2 和 1 4 知 r n l o 一1 r 6 1 6 n 一1 r n l n n 一1 r 6 1 6 一1 一r 6 l k 1 r n l q 一1 n 1 r 6 1 一 6 一1 o 一1 1 5 对a 的子空间a l a 记陋1 为所有元素 0 1 o 生成的子代数 这 里n t a i 1 n 定义1 3n 一李代数a 的理想j 是a 的一个子空间 且满足 a a 特别 若 j r a 卅 o 称 为a 的a b c l 理想 定义1 4 z a z a k a a o 1 6 称为 4 的中心 显然z a 是a 的理想 定义1 5n 一李代数 4 的理想j 称为七一可解的 如果存在7 0 使得 卅 0 这里 o j 一4 一 铆 r 汹 1 预备知识 弘 1 纠 f 产 剐 弘 a 外 毛 如果a 不含有非零的七一可解理想 称a 是七一半单的n 一李代数 七 n 如果七 2 我们简称为a 是可解的 定义1 6 凡一l i e 代数l 的理想 被称为是幂零理想 如果存在r l 使得 0 这里 j 1 j 5 1 8 j 剀 s21 当l 时 称l 是幂零的n 一李代数 从定义可知 如果三幂零的 则l 是七一可解的 定义1 7 设s 丁与g 均为域f 上的李代数 若有g 的理想 与s 同构 而商 代数g 与t 同构 则称g 是t 通过s 的扩张 称为扩张的核 显然 此时有关于李代数的正和列 o s g r o 定义1 8 设李代数g 是李代数丁通过李代数s 的扩张 j 是扩张的核 如果有 g 的子代数k 为j 在g 的补子空间 则称此扩张为非本质扩张 又若k 是g 的理 想 则称此扩张为平凡扩张 如果k 被g 的中心包含 则称此扩张为中心扩张 引理1 1 f 1 2 设a 是历上的5 维3 一李代数 它的一组基是e l e 5 则在同构 的意义下a 仅有如下几类 当垅m a l 0 时 是a 6 e z 的 6 当疵m a l 1 时 设a 1 f e l 则 c 当旋m a l 2 时 设a 1 f e l j f l e 2 伊1 九e 2 e 3 e 4 e 1 c 7 e e 3 e a e z e 2 e 3 e 4 e 1 e 3 e 4 i e l e 3 e 5 c 2 e 3 e 5 e 2 e 1 e e l c 3 k i e 3 e 4 j e 2 e 2 e 3 e 4 j e l e 2 f e l e 4 e 5 j e l e 2 e 4 e 5 j e 2 fb 铅 缸 e l c 7 f e l e 4 e 5 卜e l f e 2 e 4 e 5 j e 2 d 当以仇a 1 3 时 设4 1 f e l f e 2 f e 3 d 7 f e l e 2 e 4 j e 3 e 1 e 3 e 4 e 2 e 2 e 3 e 4 e i f e 2 e 3 e 4 j e 1 f e l e 3 e 4 e 3 e 1 e 2 e 4 e 2 f e 2 e 4 e 5 j e 3 f e 2 e 3 e 4 e e 2 e 4 e 5 e 3 扩 e 3 e 4 e 5 e 2 厂黯裂三三 垤测翼e d 8 2 e 2 e l e 2 2 e l f e 2 e 3 e 4 j e 1 f e i e 3 e 4 e 3 f e i e 2 e 4 j e 2 f e 2 e 4 e 5 e 3 e 3 e 4 e 5 j e 2 f e 2 e 3 e 4 j e 1 f e l e 3 e 4 j e 3 陋i 免 e 4 e 2 f e 2 e 3 e 4 e l f e 2 e 4 e 5 j e 2 e 3 e 4 e 5 j e 3 f e l e 4 e 5 e l l e 2 e 4 e 5 j2e 2 f e 3 e 4 e 5 j e 3 e 当出m a l 4 时 设4 1 f e l f e 2 f e 3 眠 e 1 f e l e 2 e 3 e 4 f e l e 2 e 4 e 3 f e i e 3 e 4 j e 2 f e 2 e 3 e 4 e l e 2 f e l e 2 e 3 e 3 e i e 2 e 4 e 4 f e l e 3 e 4 j e 2 f e 2 e 3 e 4 e l q 龟 印 彩 瞰 h b b q 色白 f l f 叫叫 铅铅 h k 们 彩 j j j j 1 j 彩 凸 出 黝 勘 k fij i f 1 预备知识 7 1 4 3 2 e e e e l f 4 5 5 5 e e e e 船 绑 彩 印 2 2 2 3 k k k b i q e l 2 3 4 e e e e l l l i l i 3 4 4 4 e e e e 2 2 3 3 e e e e l l 1 2 b r k r k b r l l 3 e 河北大学理学硕士学位论文 2 一类5 维3 一李代数的结构 在本章中要研究汤上具有1 维和2 维导代数的5 维3 一李代数的结构和内导子代 数结构 并给出内导子的具体表示形式 假设a 是邑上的5 维3 一李代数 d i m a l 1 且e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 为a 的一组 基 其乘法表分别为引理1 1 中的各种情形 将右乘算子r e l j 一 白 爸f 乏七 e 5 记为r i j 七 这里色表示岛在算子中不出现 e 表示为5 阶矩阵单位 对 a 的任意导子d 即v d d 盯 4 令 5 则d 在基e l e 2 e 3 e 4 e 5 下的矩阵形式为d n 巧岛 这里 历 i j 1 首先研究导代数的维数是1 时的易上的5 维3 一李代数的结构 则有如下定理 定理2 1 设a 是磊上的5 维3 一李代数 d i m a l 1 则有如下结论 1 如果a 是情形6 1 则a 是幂零3 一李代数 因此其c a r t a n 子代数等于a 2 如果a 是情形6 2 则a 是可解非幂零3 一李代数 且其c a r t a n 子代数为 k 邑e 2 易e 3 乙e 4 易e 5 证明 1 当么具有乘法表 6 1 k 白 自 e z 时 a 1 a a a f e l a 2 a 1 a a f e l a a o 所以a 是幂零的 2 当a 具有乘法表 6 2 e 1 e 2 e 3 e 1 时 4 1 陋 a a f e l a 2 汜1 a 1 州 f f e l f e i 4 o 所以a 是可解的 但是 a 1 a a f e l 4 2 a 1 a a f e l a a f e l 8 勺 芦 l i d 0 2 一类5 维3 一李代数的结构 a 七 a 2 1 a a f e l 所以a 是非幂零的 易见k 历e 2 磊e 3 五e 4 磊e 5 是a b e l 子代数 且是自正规 的 因此 k 是a 的c a r t a n 子代数 证毕 下面研究导代数的维数是2 时的汤上的5 维3 一李代数的结构 定理2 2设a 是乙上的5 维3 一李代数 d 溉a 1 2 则有如下结论 1 当a 是情形 c 6 时a 是幂零的3 一李代数 因此其c a r t a n 子代数等于a 2 当4 是情形 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 和 c 7 时 a 是可解非幂零的3 一李代 数 在且各种情形c a r t a n 子代数都存在 证明 1 当a 是情形 c 6 时 a 具有乘法表 j f e 2 e 3 e 4 e 1 i e 3 e 4 e 5 e 2 则a 1 f e l f e 2 因e 1 被包含在a 的中心当中 所以 a 2 4 1 a a j f l e l f e 2 a a f e l a 3 a 2 4 a f e l a a o 所以a 是幂零的3 一李代数 2 当a 是情形 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 和 时 由引理1 1 的乘法表可知 a 1 a 1 f c l f e 2 e l e 2 a o 所以 4 2 f a 4 1 a f e l 尸e 2 f e l f e 2 a o 即证得a 是可解的 但从引理1 1 的乘法表可知 c 1 c 2 c 3 c 4 的每种情形内导子尺 3 4 是非 幂零的线性变换 所以定义1 6 中 a 缸 a 七一1 a a 三 a r 一1 3 4 o 所以a 是非幂零的 类似讨论a 具有乘法表 c t 5 c 7 时 r e a e 5 是非幂零的线性变 换 因此在情形 c 5 c 7 时a 是非幂零的 再据乘法表直接计算知 在情形 c 4 a 具 有2 维的c a r t a n 子代数 k z 2 e x z e a 河北大学理学硕士学位论文 在其它情形具有c a r t a n 子代数 k 磊e 3 易e 4 历e 5 证毕 为方便下面的计算 将右乘算子r e 1 色 白 苣七 e 5 记为r i 歹 七 对任意a 的内导子r f i 七 令 则r i j 七 在基e l e 2 e 3 e 4 e 5 下的矩阵形式为 5 趴删 玩 f l 这里o f 易 则有如下定理 定理2 3设a 是汤上的5 维3 一李代数 击m a l l 则 1 若a 是情形 6 1 则l a 是3 维的a 6 e f 李代数 其中 l 4 磊r 1 2 5 磊r 1 3 5 邑r 1 4 5 且月 1 i 5 最1 i 2 3 4 2 若a 是情形 6 2 则 己 a h 阜五冗 1 4 5 且l 4 是可解非幂零的李代数 其中 h 磊r 2 4 5 易r 3 4 5 是己 4 的a 抛z 理想 j f 2 i 4 5 e 1 i 1 2 3 l a 日 f h r 1 4 5 日 垅m a 3 证明 1 若a 的乘法表为情形 6 1 直接由乘法表计算可得到 月 1 2 3 0 r 1 2 4 0 r 1 2 5 局1 一1 n e0 5 七re 2 一类5 维3 一李代数的结构 r 1 3 4 0 r 1 375 玛1 月 1 4 5 局1 r 2 3 4 0 r 2 3 5 0 r 2 4 5 0 曰 3 4 5 0 易见兄 1 2 5 r 1 3 5 r 1 4 5 为三 a 的一组基 又因为 令 陋1 弓l o f 歹 2 3 4 所以三 4 是a 6 e 2 的李代数 且出m l a 3 2 若a 的乘法表为情形 6 2 直接由乘法表计算可得 r 1 2 3 o r 1 2 4 o r 1 2 5 0 r 1 3 4 o 兄 1 3 5 o r 1 4 5 置l r 2 3 4 o r 2 3 5 0 r 2 4 5 易1 月 3 4 5 b 1 所以r 1 4 5 r 2 4 5 月 3 4 5 构成了厶 a 的一组基 因为 局1 e 3 1 o 局1 e 1 1 岛1 岛l e 1 l b 1 日 磊r 2 4 5 邑r 3 4 5 则日为l 的a 6 e z 理想 且 l 日阜汤月 1 4 5 h l 4 日 日 r 1 4 5 日 以7 n 三 a 3 证毕 定理2 4设c f m 4 1 2 则l a 是可解非幂零李代数 且 1 若a 是情形 c 1 则 且 a h z 2 r 1 2 5 日 磊月 1 3 5 易r 1 4 5 磊曰 2 3 5 易r 2 4 5 1 1 河北大学理学硕士学位论文 是l a 的a 6 e f 理想 日 r 1 2 5 h 击m l a 5 r 1 i 5 最1 i 3 4 r 2 i 5 e 2 i 3 4 r 1 2 5 易2 岛1 2 若a 是情形 c 2 则 且l a 是可解不幂零李代数 其中 l a 日阜尸 日 磊r 1 3 4 乙r 1 3 5 而r 1 4 5 邑兄 2 4 5 为l a 的a 6 e 2 理想 p 磊r 1 2 4 汤r 1 2 5 为l a 的2 维a 6 e f 子代数 且 其中 且 h p 日 出m l a 6 r 1 2 4 e 1 2 易1 r 1 2 5 e 1 l e 2 2 r 1 3 4 岛1 r 1 3 5 e 3 2 兄 1 4 5 风1 局2 r 2 4 5 局l 邑2 3 若a 是情形 c 3 则 l a 日 易月 1 2 5 h 磊r 1 3 5 历r 1 4 5 乙r 2 3 5 易r 2 4 5 为l a 的a c e f 理想 h r 1 2 5 垅竹z 己 a 5 1 2 2 一类5 维3 一李代数的结构 且 r 1 2 5 e 1 2 岛1 易2 r 1 3 5 b 1 玛2 r 1 4 5 局1 局2 r 2 3 5 岛2 r 2 4 5 且2 4 若4 是情形 c 4 则 l a 圩阜z j r 1 2 5 日 邑r 1 2 3 z 2 r 1 2 4 易r 2 3 5 易r 2 4 5 是l a 的a 6 e f 理想 且 h r 1 2 5 日 出m a 5 r 1 2 3 b 1 r 1 2 4 蜀l r 2 4 5 置2 月 2 3 5 易2 r 1 2 5 e 1 2 岛1 岛2 尾1 5 若a 是情形 c 5 则 l 4 日 p 日 汤r 1 3 4 五r 1 3 5 五月 2 3 4 易只 2 3 5 是 a 的a 6 e f 理想 为 a 的4c e z 子代数 p 易r 1 2 3 邑r 1 2 5 日 p h 击r n l a 6 兄 1 2 3 e 1 l 岛2 兄 1 2 5 局2 岛l 易2 r 1 3 4 e 1 2 r 1 3 5 e 3 1 易2 昆2 月 2 3 4 局1 月 2 3 5 岛l 易2 1 3 河北大学理学硕士学位论文 且 6 若a 是情形 c 6 则 l a 日士易r 1 2 5 日 磊r 1 2 3 乙r 1 2 4 易r 1 3 5 易r 1 4 5 为l a 的a 6 e f 理想 且 日 r 1 2 5 h d i m 己 4 5 月 1 2 3 岛2 兄 1 2 4 局2 r 1 2 5 易1 尾2 r 1 3 5 如1 r 1 4 5 玩l 7 若a 是情形 c 7 则 l a 日阜p h 磊r 1 3 4 历r 1 3 5 易r 1 4 5 邑r 2 3 5 是l a 的a 沈2 理想 是l a 的a 厶e f 子代数 p 磊r 1 2 3 易r 1 2 5 h p 日 出m l a 6 r 1 2 3 e 1 1 历2 r 1 2 5 易1 r 1 4 5 e 4 r 1 3 4 局2 j f 2 1 3 5 忍1 尾2 r 2 3 5 b 1 证明 1 若a 的乘法表是情形 c 1 则a 有一组基e l e 2 e 3 e a e 5 的乘法表为 e 2 e 3 e 4 e 1 e l e 3 e 4 e 2 因此使用定理2 2 前面的符号说明及上述乘法表直接计算得 曰 1 2 4 0 e 1 r 1 2 5 e 2 e 2 r 1 2 5 e l e 5 r 1 2 5 0 1 4 2 一类5 维3 一李代数的结构 月 1 3 4 0 e 1 r 1 3 5 o e 3 r 1 3 5 e 1 e 5 r 1 3 5 0 e 1 r 1 4 5 0 e 月 1 4 5 e 1 e 5 兄 1 4 5 e 1 e 2 r 2 3 5 0 幻 r 2 3 5 e 2 e 5 r 2 3 5 0 e 2 r 2 4 5 0 e 4 r 2 4 5 e 2 e 5 r 2 4 5 e 2 e 2 r 2 3 4 0 e 3 r 2 3 4 0 e 4 r 2 3 4 0 因此各内导子的矩阵表示为 易见 r 1 2 3 o r 3 4 5 o r 1 2 3 o r 1 2 4 0 月 1 2 5 e 1 2 易1 r 1 3 4 0 r 17 3 5 屁1 r 1 4 5 置l r 2 3 4 0 r 2 3 5 e 3 2 冗 2 4 5 局2 r 3 4 5 0 r 1 2 5 r 1 3 5 r 1 4 5 r 2 3 5 月 2 4 5 为 a 的一组基 又因为 令 则 但是 岛 o i 仃2 3 4 歹 几 1 2 岛1 e 1 2 e 2 1 邑2 岛2 e 1 2 岛1 岛l 且l e 1 2 易l 局2 局2 局2 易1 日1 日 足r 1 3 5 易r 1 4 5 足r 2 3 5 岛r 2 4 5 l a h 阜邑r 1 4 5 l 1 a a a 日 l 2 a l 1 a l 1 a 日 日 o 2 陋1 4 4 f 日 4 日 l 七 4 o 1 5 河北大学理学硕士学位论文 所以l a 是可解非幂零的李代数 出m l a 5 2 若a 的乘法表是情形 c 2 时 则a 有一组基e l e 2 e 3 e 4 e 5 的乘法表为 因此使用定理2 2 前面的符号说明及上述乘法表直接计算得 e 1 r 1 2 4 e 2 e 2 r 1 2 4 e 1 e 4 r 1 2 4 0 e 1 r 1 2 5 e 1 e 2 r 1 2 5 e 2 e 5 兄 1 2 5 0 e 1 r 1 3 4 0 e 3 兄 1 3 4 e i e 4 r 1 3 4 o e 1 r 1 3 5 0 e 3 r 1 3 5 e 2 e 5 r 1 3 5 0 e 1 r 1 4 5 0 e 4 r 1 4 5 e 2 e 5 r 1 4 5 e l e 2 r 2 3 5 o e 3 月 2 3 5 e 1 e 5 r 2 3 5 0 c 2 r 2 4 5 o e 4 j r 2 4 5 e 1 e 5 r 2 4 5 e 2 e 2 r 2 3 4 o e 3 r 2 3 4 e 2 e 4 r 2 3 4 o 因此用矩阵表示可知 因此 r 1 2 3 0 r 3 4 5 0 月 1 2 5 且1 局2 r 1 3 4 b 1 r 1 3 5 局2 r 1 4 5 b 2 e 5 1 r 2 3 5 岛1 r 2 4 5 墨l 如2 r 1 2 4 蜀2 易1 r 2 3 4 b 2 r 1 2 4 e 1 2 易1 月 1 2 5 e 1 1 岛2 r 1 3 4 邑1 r 1 3 5 岛2 1 6 2 l 2 l e e e e i l j 4 4 5 5 e e e e 3 3 3 3 e e e e 2 l 1 2 e e e e j ll i 1 2 c 2 一类 维3 一李代数的结构 r 1 4 5 磊1 且2 r 2 4 5 肠l 晶2 为l a 的一组基 记 则 h 足r 1 3 4 足月 1 3 5 如曰 1 4 5 局j f 2 2 4 5 p 足r 1 2 4 f 2 r 1 2 5 l 1 a l a a h l 2 a 1 a l 1 4 h 日 o l 2 a l 1 4 a 日 l 4 日 l 七 a 日 o 所以a 是可解非幂零的李代数 且日为l a 的a 6 e z 理想 p 为l a 的a f e f 子代 数 出m 三 4 6 结论 2 得证 同理对情形 c 3 c 4 c 5 c 6 和 c 7 可分别利用其乘法表和线性李代数的结构运 算类似于情形 c 1 c 2 的讨论分别进行证明 证毕 1 7 r f n s r e f e r e n c e s 1 y b i c h i r on a m b u g c n r a l i z c dh a m i l t o n i a nd y n a m i c s p h y s r c v 1 9 7 3 d 7 2 4 0 5 2 4 1 2 2 l c o nt a k h t a j a n o nf o u n d a t i o no ft h cg c n c r a l i z c dn a m b un l c c h a n i c s c o m m i nm a t h c m a t i c a lp h y s i c s 1 9 9 4 1 6 0 2 9 5 3 1 5 3 g m a l r m o g v i l a s i a m v i n o g r a d o v t 1 1 cl o c a l ls t r u c t u r co fn p o i s s o na n d 仃一j a j c o b i m a n i f o l d s j o u r n a l lo fg c o r m c t r ya n dp h y s i c s 1 9 9 8 2 5 1 4 1 1 8 2 4 v t f i l i p p o v n l i ca l g c b r a s s i b m a t z h 1 9 8 5 2 6 6 1 2 昏1 4 0 5 s h m k a s y m o v o nat h c o r yo fn l i ea j g c b r a l s a l g c b r al o g i k a 1 9 8 7 2 6 3 2 7 7 2 9 7 6 p m i c h o r g v i n o g