浅谈数列求和的方法(关胜喜100501113).doc

浅谈数列求和的方法摘要： 本文旨在讲述数列求和的意义,一些简单的特殊数列求和的方法,理解数列求和中蕴含的数学思想。并能利用数列求和解决一些数列问题。关键词：数列求和方法思想；裂项相消法；错位相减法；分组求和法1. 引言纵观近几年来的高考试题，数列一直被列为重要考察内容之一，数列求和问题更是数列中的一个重要组成部分，常常在压轴题中出现。对于一些既非等差又非等比的特殊数列，学生常感到无从下手求和。高中数学必修五（人民教育出版社）对数列的求和只是介绍了等差数列和等比数列求和公式的推导和应用，而特殊数列求和所用的裂项相消法、错位相减法分组求和法等这些常规的、重要的方法在课本中都没有相关的例题介绍，只是在课本第 47 页第 4 题和第 61 页 A 组第 4 题出现了特殊数列求和的题目。由于课本没有这些方法的详细介绍，教师在教学过程中往往是直接讲结论后让学生模仿着去应用，学生不清楚这个结论逐步形成的过程，就体会不到蕴涵在其中的思想方法，只懂得机械的模仿，在做题时，如果题目稍有变化，他们的思维就转不过弯来，或者时间长了他们就容易遗忘。因此，笔者认为有必要根据特殊数列的不同特点和结构对特殊数列的求和进行分类，并通过一些具体例子归纳出特殊数列求和的方法。2. 正文方法1： 直接求和法 现行高中数学教材的一个弊端是,与初中数学的衔接上处理得不太好。一方面,新课改删去的内容没有及时补充;另一方面,初中有接触的一些富有启发性的例子未能很好地加以利用。在小学与初中数学教学中,学生接触了不少规律题,其实就是在为我们高中数列学习作铺垫,我们必须利用好这些铺垫。如果所给数列是等差数列或等比数列,那么它们的求和问题,（1）等差数列的前n项和公式:（2）等比数列的前n项和公式:当q=1时 ,当q1时,(3)方法2.分组转化求和法 把数列的每一项分成两项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转化成等差或等比数列,这一方法称为分组转化法。 分组求和法原理：分组求和是将不能直接求和的数列适当拆开，分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。即若数列an的通项可转化为的形式，且数列可分别求出前 n 项和 Sn，Tn，则用分组求和法。分组求和方法是转化与划归的数学方法在数列中的具体应用。例 1:在 数 列 an中 ,a1=2,an+1=4an-3n+1,n N*（1）证明:数列an-n是等比数列。（2）求数列an的前n项和Sn。【证明】:由题设an+1=4an-3n+1得an+1-(n+1)=4(an-n),nN*又a1-1=1,所以数列an-n是首项为1,且公比为4的等比数列。【 解 析 】由 (1)可知an-n=4n-1于 是 数 列an的通项公式为an=4n-1+n,所以数列an的 前 n 项 和 Sn= (1 + 4 + 42+ 4n- 1+(1+2+3+n)=方法3.倒序相加求和法 如果一个数列an中,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法。例1求1,2,3,100这样一个等差数列的和。【解析】设这个等差数列的和为Sn =1+2+3+100,再把项的次序反过来,可以写成=100+99+1,把 , 两 式 等 号 两 边 分 别 相 加 , 得2=101+101+101+101,因为有100个101,所以2 =101100=10100方法4.裂项相消求和法 裂项相消法原理：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能相互抵消，剩下首尾若干项。对于，其中 是各项均不为 0 的等差数列，通常用裂项相消法，即利用，其中 d=+1-。裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项相消分为逐项相消和隔项相消两种。裂项相消法步骤：先分析数列的项的结构，把通项“裂”成几项（注意：裂开后的通项当 n=k 和 n=k+d 时能相消情况出现后才行）；解题时对裂开后的通项令 n 取 1，2，3n，然后相加得 ；把和式中每一对相消的式子除去，整理剩下的式子即为所求的和。相消时应该注意消去项的规律，即清楚消去的项和保留的项。把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差。在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干项之和,这一求和方法称为裂项相消求和法。常见的拆项公式有:(1)(2)例3:在 数 列中,求数列的前n项的和。【 解 析 】, 数列的前n项的和方法5.错位相减求和法错位相减法原理：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，即形如，其中为等差数列，为等比数列；列出Sn =，再把式子两边同时乘以等比数列 的公比 q，即 ；然后错开一位，两式相减即可。错位相减法在等比数列求和公式的推导中出现过。错位相减法步骤：在的两边同时乘以公比 q；两式相减，左边为,右边的含有 q 的同次式相减；右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的各项成等比数列，可用公式求和。 错位相减法注意“同、异”。同：利用公差和公比，化不同为整齐划一；异：错位求和法异在合并，合并次数相同的项；错位相减法异在抵消，抵消相同的项。和可采用错位相减法。例2:求数列(a为常数)的前n项的和。【解析】若a=0,则Sn=0；若a=1,则Sn=1+2+3+n=若a0且a1,则Sn=a+2a2+3a3+n (1 -a )当a=0时,上式也成立。 当 a=1时 ,当 a 1时 ,特殊数列的求和除了以上常用的五种方法外，还有拆项转化法、构造法、分段求和法等。3.结论和建议综上所述,数列求和在高中数学教学中有重要地位,在教学中应利用好其丰富的素材,并注意与初中学习相衔接。多角,全方法对其展开研究与解读。要帮助学生掌握其重要的思方法,达到见题知意,方法信手拈来的状态。本文作者经过考,对数列求和公式的教学进行了优化,并作了适当的教学展。但限于本人的学识,论述上难免挂一漏万,不当之处也不少,只是希望通过本文引发大家对数列求和教学的再思,希望能起到抛砖引玉之效。总而言之,数列求和问题的关键在于数列通项公式的表达形式,根据通项公式的形式特点,灵活采用恰当的方法是这类题得解题的诀窍。中应利用好其丰富的素材,并注意与初中学习相衔接。 特殊数列求和出现的问题及采取的对策： 1.特殊数列求和出现的问题：没有认清特殊数列的特征，不会转化通项；未理解每种方法的适用范围，运算时不注意数清项数；没有分清所给的条件，特别是含有参数的求和时不注意分类讨论，或是分类不全面。特殊数列求和过程包含比较繁琐的运算，有不少学生懂得用什么方法去求和，但由于运算有点繁琐，学生计算时容易出错，特别是运用错位相减法解题时往往不能得到正确答案。2.采取的对策：在讲等差数列求和公式的应用及等比数列求和公式的推导时引导学生发散思维、采用多种方法，从这些方法中渗透错位求和与裂项求和的思想，让学生清楚这些求和方法是怎么形成的，要在什么情况下使用。等比数列求和要落实到位，力保运算过程不要出错。增加特殊数列求和题型的练习量。延长这类题型的练习周期。特殊数列求和的基本思路是向等差数列及等比数列的前n项和转化，归结为学生已经解决的问题，因此平时要注重培养学生化归的思想。求特殊数列的和时要注意方法的选取，要注意：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式、计算准确。参考文献1 毛磊,寇冰煜,滕兴虎,等.关于数列极限概念引入的一点探讨J.数学学习与研究,2011(13).2 丁建.数列求和的几种重要方法J.数理化解题研究(高中版),2011(8).3 杨香红.浅谈数列求和的几种常用方法J.读与写(教育教学刊),2011(4).4 田会艳.数列求和的几种常用方法J.新高考(语文数学英语),2009(1).5 杜洁.浅谈求数列通项公式的几种方法J.中学生数理化 (高 中 版学 研 版 ),2011(1).6王力勇.裂项相消法的几点思考J.数学教研，2001（8）：37.7张思明.数列求和方法J.数学通讯，1998（9）：23.8王大成.数列错位相减求和新探J.新课程（教育学术版），2008（7）.9丘新增.不可忽视的求和方法“裂项相消”J.福建中学数学，2011（4）.10 徐明. 对“等比数列的前 n 项和”教学设计的思考J. 中国数学教育（高中版），2009（6）：32-34.2鲁彬. 注重主体性教学的一个案例J. 中学数学教学参考，2002（1 / 2）：20-22.11朱胜强. 一节“偏离”了教学目标的课：等比数列求和公式推导侧记J. 中学数学教学参考，2003（10）：5-6.12乔雅丽. 等比数列求和公式推导的教学反思J. 中学数学教学参考，2004（6）：23-24.13汪晓勤. 几何视角下的等比数列求和公式J. 中学数学教学参考，2006（3）：12-13.14张娟. 数列求和的几种有效方法J. 数理化学习（高中版），2010，（09）.15王友红.一些特殊数列的求和J.考试（高考数学版），2009，（Z4）.16林明成. 数列求和十法J.数理化学习（高中版），2010，（09）.17王海平.数列求和的几种常用方法J.数学学习与研究，2010，（21）.18 梁维高.一般数列的求和方法.19 张小平.常用数列求和的技巧.20 刘晓东.用不动点思想解数列题J.高考数学高分之路,2009.21 陈长松.特殊数列的几种求和方法N.中学生学习报,2004.22 邱蓝青.巧用不动点法解决高考数列问题J.中学数学研究,2009.23蒋远辉，等差数列前几项的方幂和的求法，数 学通报 1990 年第12期24明知白，数列求和北京 师范大学出版社25孙维柞，直接计算自然数的方幂和的一种方法数学通报1990年第6期Methods of series summation(E-mail: 946078536)Abstract:This paper describes the significance of the summation series, special series of simple summation method, understandin