单摆,弹簧问题.doc

单摆单摆是一种简谐运动，其运动的周期公式为，关于单摆有如下等效问题：一、等效摆长例1如图1所示，三根细线于O点处打结，两根细线的另一端均固定在同一水平面上相距L的A、B两点上，使ABO成直角三角形，BAO=30。已知OC线长为L，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是（）A让小球在纸面内振动，其周期 B让小球在纸面内振动，其周期C让小球在垂直纸面方向振动，其周期D让小球在垂直纸面方向振动，其周期解析：让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为圆心，摆长为L，周期为： 。让摆球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为；，周期为：。故正确的选项为A。点评：关于等效摆长的求解，首先是确定等效悬点，再求出等效悬点到摆球重心的距离。二、等效重力加速度例2光滑斜面倾角为，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图2所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为L，求单摆作简谐运动的周期。 解析：单摆不摆动时，与小车相对静止一起沿斜面向下作加速运动，加速度为，悬线与斜面垂直，如图3所示，此时悬线拉力为：故单摆做简谐运动时的等效重力加速度故作简谐运动的周期为。点评：关于等效重力加速度的求解，先确定等效平衡位置，再利用在等效平衡位置时，处于相对静止状态时悬线的拉力F求出等效重力加速度。如单摆处于向上加速（或向下减速）及向下加速（或向上减速）的状态时，等效重力加速度。三、等效运动例3如图4所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点同时由静止释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D。其中甲是从圆心A出发做自由落体运动；乙沿弦轨道从一端B到达另一端D；丙沿圆弧轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（ ）A甲球最先到达D点，乙球最后到达D点 B甲球最先到达D点，丙球最后到达D点C丙球最先到达D点，乙球最后到达D点 D甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点解析：设圆的半径为R，甲球做自由落体运动，到达D点的时间为；乙沿弦轨道作加速运动，利用等时圆性质可得到达D点的时间为；丙沿圆弧轨道运动，其运动等效为单摆运动，到达D点时间为，它们三者的时间关系为tBtCtA，则甲球最先到达D点，乙球最后到达D点，故正确的选项为A。点评：当质点沿圆弧运动时，圆的半径远大于圆弧的长度，运动的圆心角小于10度，其运动可等效为单摆。弹簧问题一、弹簧弹力大小问题弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx，其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。 例1质量分别为m和2m的小球P、Q用细线相连，P用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是A若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为gB若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为0和gC若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为gD若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上，因此剪断瞬间P的加速度为向上2g，而Q的加速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为零，因此P、Q的加速度均为竖直向下，大小均为g。选C。例2如图所示，小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均为=37?。下列判断正确的是A剪断d瞬间P的加速度大小为06gB剪断d瞬间P的加速度大小为075gC剪断e前c的拉力大小为08mgD剪断e后瞬间c的拉力大小为125mg分析与解：剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等，为075mg，因此加速度大小为075g，水平向右；剪断e前c的拉力大小为125mg，剪断e后，沿细线方向上的合力充当向心力，因此c的拉力大小立即减小到08mg。选B。二、临界问题两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。特点：1接触；2还没分开所以有共同的速度和加速度；3弹力为零。这种临界问题又分以下两种情况：1仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。例3如图所示，两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力F压A，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力F，A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是A木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长B木块AB分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力C木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B的总重力D木块A、B分离时，弹簧的长度可能大于原长分析与解：以A为对象，既然已分开，那么A就只受重力，加速度竖直向下，大小为g；又未分开，A、B加速度相同，因此B的加速度也是竖直向下，大小为g，说明B受的合力为重力，所以弹簧对B没有弹力，弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物体质量是否相同无关。例4如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端与木块B相连，木块A紧靠木块B放置，A、B与水平面间的动摩擦因数均为。用水平力F向左压A，使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F，A、B向右运动，下列判断正确的是AA、B一定会在向右运动过程的某时刻分开B若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长C若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短D若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长分析与解：若撤去F前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B克服摩擦阻力做的功，那么撤去F后，A、B虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长A、B就停止滑动，没有分离。只要A、B在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时A、B间的弹力为零，因此A的加速度是aA=g；而此时A、B的加速度相同，因此B的加速度aB=g，即B受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选B。例5如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态。（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？（2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？【点拨解疑】力F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2，方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为。（2）力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg。那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2，这就是说F/2=mg。则F=2mg因此，使A、B不分离的条件是F2mg。2除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。（弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长，）可看成连接体。例6一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a（ag匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma当N=0时，物体与平板分离，所以此时因为，所以。例7如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=02s内F是变力，在02s以后F是恒力，g=10m/s2，则F的最小值是 ，F的最大值是 。分析与解：因为在t=02s内F是变力，在t=02s以后F是恒力，所以在t=02s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在002s这段时间内P向上运动的距离：x=mg/k=04m因为，所以P在这段时间的加速度当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin=ma，又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m（a+g）=360N例8一弹簧秤的秤盘质量m1=15kg，盘内放一质量为m2=105kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初02s内F是变化的，在02s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2）分析与解：因为在t=02s内F是变力，在t=02s以后F是恒力，所以在t=02s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘的质量m1=15kg，所以此时弹簧不能处于原长，这与例2轻盘不同。设在0_02s这段时间内P向上运动的距离为x，对物体P据牛顿第二定律可得： F+N-m2g=m2a对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得：令N=0，并由述二式求得，而，所以求得a=6m/s2当P开始运动时拉力最小，此时对盘和物体P整体有Fmin=（m1+m2）a=72N当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m2（a+g）=168N例9如图所示，质量均为m=500g的木块A、B叠放在一起，轻弹簧的劲度为k=100N/m，上、下两端分别和B与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力F拉A，使它以a=20m/s2的加速度向上做匀加速运动。求：经过多长时间A与B恰好分离？上述过程中拉力F的最小值F1和最大值F2各多大？刚施加拉力F瞬间A、B间压力多大？分析与解：设系统静止时弹簧的压缩量为x1，A、B刚好分离时弹簧的压缩量为x2。kx1=2mg，x1=010m。A、B刚好分离时，A、B间弹力大小为零，且aA=aB=a。以B为对象，用牛顿第二定律：kx2-mg=ma，得x2=006m，可见分离时弹簧不是原长。该过程A、B的位移s=x1-x2=004m。由，得t=02s分离前以A、B整体为对象，用牛顿第二定律：F+kx-2mg=2ma，可知随着A、B加速上升，弹簧形变量x逐渐减小，拉力F将逐渐增大。开始时x=x1，F1+kx1-2mg=2ma，得F1=2N；A、B刚分离时x=x2，F2+kx2-2mg=2ma，得F2=6N以B为对象用牛顿第二定律：kx1-mg-N=ma，得N=4N三、弹簧振子的简谐运动轻弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子。无论此装置水平放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下，弹簧振子的振动都是简谐运动。弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子的总机械能E等于弹簧的弹性势能Ep和振子的动能Ek之和，还等于通过平衡位置时振子的动能（即最大动能），或等于振子位于最大位移处时弹簧的弹性势能（即最大势能），即E=Ep+Ek=Epm=Ekm简谐运动的特点之一就是对称性。振动过程中，振子在离平衡位置距离相等的对称点，所受回复力大小、位移大小、速度大小、加速度大小、振子动能等都是相同的。例10如图所示，木块P和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，O为平衡位置，BC为木块到达的最左端和最右端。有一颗子弹竖直向下射入P并立即留在P中和P共同振动。下列判断正确的是A若子弹是在C位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变B若子弹是在B位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期变小C若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变D若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅减小，周期变大分析与解：振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。在B或C射入，不改变最大弹性势能，因此不改变振动能量，也不改变振幅；但由于振子质量增大，加速度减小，因此周期增大。振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。在O点射入，射入过程子弹和木块水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞，动能有损失，继续振动的最大动能减小，振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关，但与弹簧的劲度和振子的质量有关。子弹射入后，振子质量增大，因此周期变大。选D。例11如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列判断中正确的是A在B位置小球动能最大B在C位置小球加速度最大C从AC位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D从BD位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加分析与解：AC小球受的合力一直向下，对小球做正功，动能增加；CD小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，因此在C位置小球动能最大。从B到D小球的运动是简谐运动的一部分，且C为平衡位置，因此在CD间必定有一个B?点，满足BC=B?C，小球在B?点的速度和加速度大小都和在B点时相同；从C到D位移逐渐增大，回复力逐渐增大，加速度也逐渐增大，因此小球在D点加速度最大，且大于g。从AC小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，因此重力势能的减少大于动能的增大。从BD小球重力势能减小，弹性势能增加，且B点动能大于D点动能，因此重力势能减少和动能减少之和等于弹性势能增加。选D。四、弹性势能问题机械能包括动能、重力势能和弹性势能。其中弹性势能的计算式高中不要求掌握，但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量越大，弹性势能越大；形变量相同时，弹性势能相同。因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的模式：1利用能量守恒定律求弹性势能。例12如图所示，质量分别为m和2m的AB两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙。用水平力F将B向左压，静止后弹簧储存的弹性势能为E。若突然撤去F，那么A离开墙后，弹簧的弹性势能最大值将是多大？分析与解：A离开墙前A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧恢复原长过程，弹性势能全部转化为B的动能，因此A刚离开墙时刻，B的动能为E。A离开墙后，该系统动量守恒，机械能也守恒。当A、B共速时，系统动能最小，因此弹性势能最大。A刚离开墙时刻B的动量和A、B共速时A、B的总动量相等，由动能和动量的关系Ek=p2/2m知，A刚离开墙时刻B的动能和A、B共速时系统的动能之比为3：2，因此A、B共速时系统的总动能是2E/3，这时的弹性势能最大，为E/3。2利用形变量相同时弹性势能相同。例13如图所示，质量均为m的木块A、B用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上，静止时弹簧的压缩量为l。现用竖直向下的力F缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后，系统再次处于静止。此时突然撤去压力F，当A上升到最高点时，B对水平面的压力恰好为零。求：F向下压缩弹簧的距离x；压力F在压缩弹簧过程中做的功W。分析与解：如图、分别表示未放A，弹簧处于原长的状态、弹簧和A相连后的静止状态、撤去压力F前的静止状态和撤去压力后A上升到最高点的状态。撤去F后，A做简谐运动，状态A处于平衡位置。状态弹簧被压缩，弹力等于A的重力；状态弹簧被拉长，弹力等于B的重力；由于A、B质量相等，因此、状态弹簧的形变量都是l。由简谐运动的对称性，