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离心角与旋转角 【例题】如图，以原点为圆心，分别以a, b（a b）为半径作两个圆. 点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程.解：设点M的坐标是(x, y)，是以Ox为始边，OA为终边的非负角. 取为参数，不失一般性，可界定为02p， 则x =ON=|OA|cos ，y =NM=|OB|sin . 1也就是 这就是所求点M的轨迹的参数方程.【思考】对于每一个确定的角来说，椭圆上的点M时两条直线和的交点，所以存在一一映射关系. 然而角只是向量OA（或OB）的旋转角，并非向量OM的旋转角，但也反映了向量OM对x轴的倾斜状态，因此称角为椭圆上点M的离心角. 连接OM，并记xOM=j (0j2p )，则角j才是向量OM的旋转角，因此可简称为点M的旋转角.【定理1】tan j = tan = tan .证明 由参数方程得 = tan .又从三角函数定义知tan j = , 则结论显然了.【定理2】若0,j2p，（1）点M在坐标轴上时，则q =j；（2）点M在第一、三象限时，则q j；（3）点M在第二、四象限时，则q j；证明 （1）点M在坐标轴上时，显然q =j = ，其中k =0,1,2,3；（2）点M在第一、三象限时，则tan j0. .在或上正切函数为增函数，q j.（3）证法同（2）.【定理3】设点M不在坐标轴上，则证明 由定理1得tan j = tan ，.当且仅当a = b tan2q，即tan2q = 时，等号成立.【总结】上述3条定理揭示了椭圆上点M的离心角域旋转角的依存关系和运动状态. 在复平面上，由于复数z的幅角主值arg z不仅描述了复数z所对应的方向，还同时刻画了其旋转状态，具有旋转角的功能. 由于点Z1(a cos , b sin )(ab0)的集合就是椭圆，所以复数z = a cos + ib sin (ab0, 02p)的本质就是椭圆上的点Z的复数表现形式，而参数的几何意义就是椭圆上点Z1的离心角，arg z就是的旋转角，从定理3知，在一般情况下
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