（试题 试卷 真题）第10讲：数形结合思想--解法归纳(16页)

第10讲：数形结合思想-解法归纳数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。中学基础数学的基本知识分三类：一是数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）等；二是形的知识，如平面几何；三是数形结合的知识，主要体现是函数。数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（以形助数），即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（以数辅形），即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在中考中经常考查。数与形转换的三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。数形结合的三种主要解题方式：（1）数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决；（2）形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题；（3）数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了。运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则：（1）等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；（2）双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；（3）简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的。运用数形结合思想分析解决问题时的三点注意事项：（1）要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准确，明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）要正确确定参数的取值范围。结合2013年全国各地中考的实例，我们从下面四方面探讨数形结合思想的应用：（1）数形结合思想在代数问题中的应用；（2）数形结合思想在函数问题中的应用；（3）数形结合思想在几何问题中的应用。一、数形结合思想在代数问题中的应用：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年重庆市A4分）在3，1，0，2这四个数中，最大的数是【 】A0B6C2D3例2：（2013年甘肃天水4分）下列四个数中，小于0的数是【 】A1 B0 C1 D例3：（2013年贵州遵义3分）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中成立的是【 】Aa+b0 Bab C12a12b D|a|b|0a+b0，ab，故A、B错误；ab，2a2b。12a12b，故C正确。|a|2，|b|2，|a|b|0，故D错误。故选C。例4：（2013年江苏淮安3分）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有【 】A6个 B5个 C4个 D3个例5：（2013年辽宁锦州3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是【 】ABCD二、数形结合思想在函数问题中的应用：函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年四川凉山4分）如图，正比例函数与反比例函数相交于点E（，2），若，则的取值范围在数轴上表示正确的是【 】A BC D例2：（2013年江苏扬州3分）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根x0所在的范围是【 】A B C D【答案】C。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，数形结合思想的应用。例3：（2013年贵州黔西南4分）如图，函数和的图象相交于A(m，3),则不等式的解集为【 】A B C D例4：（2013年贵州铜仁4分）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b0的解集是【 】Ax3 B2x3 Cx2 Dx2例5：（2013年黑龙江牡丹江市区3分）抛物线y=ax2+bx+c（a0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是【 】Ax2 Bx3 C3x1 Dx3或x1例6：（2013年北京市4分） 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是【 】又当AP=x=1时，APO为等边三角形，它的面积y，此时，点（1，）应在y=的一半上方，从而可排除C选项。 故选A。例7：（2013年福建福州4分）A、B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别是，下列结论正确的是【 】Aa0 Ba0 Cb=0 Dab0 三、数形结合思想在几何问题中的应用：平面几何中应用有关知识用将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算，如勾股定理，相似形的比例等。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年浙江宁波3分）7张如图1的长为a，宽为b（ab）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足【 】Aa=b Ba=3b Ca=b Da=4b例2：（2013年山东青岛10分）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图和图发现并验证了平方差公式和完全平方公式这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。第23题图第23题图【研究速算】提出问题：4743，5654，7971，是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以4743为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图，将这个4743的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。第23题图（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，4743的矩形面积或（4073）40的矩形与右上角37的矩形面积之和，即4743（4010）403754100372021，用文字表述4743的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果。归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） .【研究方程】提出问题：怎么图解一元二次方程几何建模：（1）变形：第23题图（2）画四个长为，宽为的矩形，构造图（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，或四个长，宽的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积即： 归纳提炼：求关于的一元二次方程的解要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎么运用矩形面积表示与的大小关系（其中）？几何建模：（1）画长，宽的矩形，按图方式分割第23题图（2）变形：（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为；阴影部分面积可以表示为，画点部分的面积可表示为，由图形的部分与整体的关系可知：，即归纳提炼：来源:Zxxk.Com当，时，表示与的大小关系根据题意，设，要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）【答案】解：【研究速算】归纳提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果。【研究方程】归纳提炼：几何建模： 画四个长为，宽为的矩形，构造图：例3：（2013年湖北孝感3分）在平面直角坐标系中，已知点E（4，2），F（2，2），以原点O为位似中心，相似比为，把EFO缩小，则点E的对应点E的坐标是【 】A（2，1） B（8，4） C（8，4）或（8，4） D（2，1）或（2，1）例4：（2013年云南昆明3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个例5：（2013年福建莆田4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D