点集拓扑教案fu.doc

点 集 拓 扑拓扑是英文Topology 的译音，Topology 一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科. 拓扑学是数学的一个重要分支. 起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支. 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支. 即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学与几何拓扑学等. 目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用. 研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，它是拓扑学的基础. 本部分介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识. 第 1 章 拓扑空间 拓扑空间的概念产生于对实直线、欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究，是欧氏空间的一种推广. 本章介绍拓扑空间的概念，给出与拓扑空间相关的一些重要的拓扑概念的定义，以及它们的性质. 1. 1 拓扑空间，拓扑的基与子基 拓扑空间的定义有多种等价形式. 这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑空间的定义. 定义1.1.1 设是非空集, T P ()即T 是集合的子集族），若满足： （1） T ； （2） T 的任意多个元素的并属于T ； （3） T 的有限元素的交属于T ，则称T 为集合上的一个拓扑或拓扑结构，偶对(,T ) 称为拓扑空间（当拓扑自明而无需指明时，简称为拓扑空间）.简称为空间，称为拓扑空间(,T )的基础集，T 的元素称为(,T )的开集或T 开集,的元素,子集分别称为拓扑空间(,T )的点，点集.定义1.1.1中的条件（1），（2）与（3）称为开集公理.例1 设是非空集，T ，则T 是集合上的拓扑，称为集合上的平凡拓扑，（,T )称为平凡拓扑空间.例2 设，T ，则T 是集合上的拓扑，集合上赋予这一拓扑的拓扑空间，称为Sierpinski （西尔宾斯基）空间.例3 设是非空集，T P（），则T 是集合上的拓扑，称为集合上的离散拓扑，拓扑空间（T，P（）称为离散空间.例4. 设是非空集，令T 是的有限子集，则T 是集合上的拓扑，称为集合上的余有限拓扑，拓扑空间(,T )称为余有限拓扑空间.证明 即证T 满足定义1.1.1中三个条件.事实上，（1）由T 的定义可知T ；若取,则是有限集.所以T .（2）设T .若或,则T ; 若,则都是有限集.于是是有限集，所以T .（3）设对于任意T ,其中为指标集.若对于任意,则T ; 若存在使得,则.但是有限集，所以T .综上所证.可知T 是集合上的拓扑.例5 设, T , T ,T , 则T ，T 都是集合上的拓扑. 于是T 与T 都是拓扑空间. 因为 是T 开集，但不是T 开集，所以T 与T 是两个不同的拓扑空间，虽然它们的基础集相同.由于T，T，于是T不满足定义1.1.1中条件（2），所以T不是集合上的拓扑.定义1.1.2设T ，T 是集合上的两个拓扑.若T T ，则称拓扑T 小于（或粗于）T ，并且称拓扑T 大于（或细于）拓扑T .明显地，同一个非空集上可以赋予许多拓扑，这些拓扑依据集族的包含关系决定拓扑的粗、细或不可比较，其中平凡拓扑是最粗的，离散拓扑是最细的.定义1.1.3设(,T )是拓扑空间，B P .若B T，并且T的元素都可表示为B中某些元素的并，则称B是拓扑T的基，也称为拓扑空间(,T )的基或拓扑基，B中的元素称为基开集.例6设(,T )是任意拓扑空间，则T就是它的基.例7设是非空集，令B,则B是集合上的离散拓扑的基.定理1.1.4设(,T )是拓扑空间，B T，则下列条件等价：（1）B是拓扑T的基；（2）对于任意T ,任意,存在B ,使得.证明. 对于T, 因为B是T的基，从而，其中 B . 所以对于任意存在，使得.任取T ,因为对于任意存在B，使得，于是.又B T.所以B是T的基.定理1.1.5设B是非空集的一个子集族，则B是集合上的某一拓扑的基当且仅当B满足下列条件；（1）; （2）对于任意B ,可表示为B中元素的并.若B满足上述两个条件，则集合上以B为基的拓扑是唯一的，此拓扑称为以B为基生成的集合上的拓扑.证明设B是集合上的某一拓扑T的基，则由拓扑基的定义可知.（1）; （2） 对于任意B，因为B T，于是T . 所以可表示为B中元素的并.反之，记T 可表示为B中元素的并，即T是B中元素的一切任意并之族，则1）由条件（1）可知T . 因为B，所以T ; 2) 设T ,则都可表示为B中元素的并，即 与. 其中B. 于是.但从条件（2）可知是B中元素的并，从而也可表示为B中元素的并，所以T.3）设对于 T，则可表示为B中的并，于是也可表示为B中元素的并，所以T.综上可知，T是集合上的拓扑，并且以B为基.若集合上另有拓扑T 也以B为基，则T 的元素都是B中元素的并.于是T T；反之，若T , 则可表示为B中元素的并. 但是B T ，T 是集合上的拓扑，从而作为T 的某些元素的并，T ,因此T T .综上可知T T.定义1.1.6设T）是拓扑空间, S P ，若S中元素的一切有限交之族，即 B是S中有限个元素的交是集合上的拓扑T的基，则称S是拓扑T的子基. S中元素称为子基开集.定理1.1.7设为非空集，S P ，则集合上存在唯一拓扑以S为子基.这个拓扑称为以S 为子基生成的集合上的拓扑. 证明记B是S中有限个元素的交.由于S，,从而B ,以及B的任意两个元素的交仍为S中元素的有限交，可见B的任意两个元素的交必属于B， 因而这个交是B的元素的并. 于是从定理1.1.5中条件的充分性可知，集合上有拓扑T以B为它的基.所以S是此拓扑T的子集.若T 是以S为子基的集合上的另一拓扑，则根据子基定义，T 以B为基. 所以由定理1.15可知T T.例8设S P（），则S中元素的一切有限交之族B.并且B中元素的一切任意并之族T .所以，T 是以S 为子基生成的集合上的拓扑. 1. 2 度量空间定义1.2.1设是非空集，R为实数集，若映射R .满足；对于任意.有（1）； （2）当且仅当；（3）；（4）（称为三角不等式）.则称是集合上的度量或距离函数，称为与之间的距离，偶对（）称为度量空间，称为度量空间（）的基础集.在不致引起混淆时.也简称为度量空间.定义1.2.2设（）是度量空间，对于给定的实数，集合称为以为中心，为半径的球形邻域或开球，简称为的球形邻域或开球，在不致混淆时，简记作.定理1.2.3设（）是度量空间，则集族B 是集合上的一个拓扑的基，称这个拓扑为由集合上的度量诱导的拓扑，记作T ，也称为度量拓扑.证明只需证明球形邻域之族B满足定理1.1.5的条件：（1）,这是显然的；（2）设 B.对于任意，则存在 B使得事实上，取，则对于任意 B，有，即；同理可证, 所以这表明对于B 中的任意两个球形邻域与,可表示为B 中元素的并.综上可知,集族B 是集合上的一个拓扑的基,设是度量空间, 表示由度量诱导的集合上的一个拓扑的, 则约定: 称度量空间为拓扑空间时,指的拓扑空间是 T ).设R是实数集,记RR,对于任意R,令,则是R上的度量,称为R上的通常度量或欧氏度量.度量空间(R称为维欧几里得空间(或维欧氏空间). R上的通常度量常常略而不提,简称R为维欧氏空间.1维欧氏空间R通常称为直线或实数空间.2维欧氏空间R通常称为平面或平面.3维欧氏空间R称为欧氏空间.以维欧氏空间R中的球形邻域之族B R为基生成的R上的拓扑,即是R上的通常拓扑或欧氏拓扑. 定义1.2.4 设(,T )是拓扑空间,若集合上存在一个度量使得T 是由集合上的度量诱导的拓扑T ,即T T ,则称(,T )为可度量化空间.例1 设是非空集,定义映射如下: R , 则易证是是集合上的度量,称为集合上的离散度量,()称为离散度量空间.在离散度量空间()中,对于的球形邻域 于是B 是集合上的离散度量诱导的拓扑T 的基.由于集合的每一单点集都是这一拓扑T 的开集,所以T 是集合上的离散拓扑. 例1表明,非空集上的离散拓扑可由上述离散诱导出,所以离散拓扑空间是可 度量化空间. 例2 设.若在集合上给以平凡拓扑,则平凡拓扑空间是不可度量化空间. 事实上,若平凡拓扑空间是可度量化空间,则集合上存在度量,使其诱导集合上的平凡拓扑.因为取则.所以是开集,这与是平凡空间矛盾.定义1.2.5 设是集合上的两个度量,若在集合上诱导相同的拓扑,即T = T ，则称与为等价的度量. 例3 设R是实数集,对于任意 R, 令 , 则易证都是集合R上的度量,并且它们与集合R上的通常度量是相互等价的度量. 1. 3 一些重要的拓扑概念定义1.3.1 设(,T )为拓扑空间,若T ，则称为(,T ) 的闭集,或T 闭集.定理1.3.2 设(, T )是拓扑空间,则拓扑空间(, T )的闭集有下列性质:(1)都是闭集；(2)有限个闭集的并是闭集；(3)任意个闭集的交是闭集.证明 利用集族运算的De Morgan 律即得证.可以从闭集出发定义拓扑空间.若在非空集上给定子集族F ,满足定理1.3.2中的三条性质,则存在集合上的唯一拓扑T , 在这拓扑下的闭集族恰是F .事实上,只要令T 是F 中集合的补集构成的集族即可.定义1.3.3 设(, T )是拓扑空间,若存在T ,使得,则称集合为点的邻域.对于.点的所有邻域构成的集族称为点的邻域系,记作N .类似于闭集那样,也可以从邻域出发,定义拓扑空间.一点的邻域不一定是开集.但开集是它的每一点的邻域.并且称开集为它的点的开邻域.定理1.3.4 设(, T )是拓扑空间,又设.则是开集当且仅当是它的每一点的邻域.证明 设是开集,显然是它的每一点的邻域.反之,设是它的每一点的邻域,任何,则存在T . 使得.于是. 所以是(, T )的开集.定义1.3.5 设(, T )是拓扑空间,.(1) 设,若对点的任意邻域有,则称点为集合的附着点或闭包点；(2) 令是的附着点(或记cl). 则称为集合在(, T )中的闭包.定理1.3.6 设(, T )是拓扑空间,则是(, T )的闭集, 即的闭包是包含的最小闭集.证明 设,若 是(, T ) 的闭集,则存在(, T )的闭集,并且,使得.从而.因为是开集,于是是点的邻域.由于,所以点不是的附着点,即.这与假设矛质.反之,是(, T )的闭集. 若,则存在点的邻域,使得. 根据邻域的定义,存在 ,使得, 所以.但是闭集,并且,得出矛盾.综上所证,可知是(, T )的闭集.定理1.3.7 设(, T )是拓扑空间,则是(, T )的闭集当且仅当.证明 设是闭集, 则是包含的最小闭集. 所以由定理1.3.6可知.反之,设, 则由定理1.3.6可知是闭集. 所以是闭集. 定理1.3.8 设(, T )是拓扑空间,又设都是的任意子集,则 (1); (2); (3); (4). 证明 (1),(2)是明显的. (3) 因为是闭集, 所以由定理1.3.7即得证. (4) 因为, 于是 所以；反之, 因为 于是 所以. 综上所证,可知. 定理1.3.8 中关于闭包的四条性质.称为Kuratovski闭包公理. 类似于闭集和邻域那样,也可以从闭包出发定义拓扑空间. 定义1.3.9 设(, T )是拓扑空间,. (1) 设,若对于点的任意邻域有, 则称点为集合的聚点或极限点,也称凝聚点.(2) 令是集合的聚点,则称为集合的导集.定理 1.3.10 设(, T )是拓扑空间, , 则.证明 若,则存在点的邻域使得.从而,并且. 即.所以 .反之,若,则与.由可知存在点的邻域,使得. 于是再由可知. 这表明点不是的附着点.所以综上所证.可知.定理 1.3.11 设(, T )是拓扑空间，则是(, T )的闭集当且仅当.证明 由定理1.3.10可知, 对于,有.若是闭集,则由上式与可知 若 则由上式可知,即是闭集.例1 设, 又设T , 则(, T )是拓扑空间. 取,则在(, T )中,.例2 在实数空间R中,设 , 则的每一点都是的聚点. 除此之外, 1也是的聚点, 并且有, 其中. 例3 在实数空间R中,只有一个聚点0, 并且定义 1.3.12 设(, T )是拓扑空间. (1) 设,若是点的邻域,则称点为集合的内点；(2) 令 是集合的内点(或记作int),则称为集合的内部.定理1.3.13 设(, T )是拓扑空间, .则T .即的内部是包含在中的最大开集.证明 设, 则是点的邻域,于是存在T , 使得.所以,T . 反之, 设T ,则存在T ,使得,这表明是点的邻域. 所以. 综上所证,可知T . 定理1.3.14 设(, T )是拓扑空间, , 则是(, T )的开集当且仅当. 证明 设是(, T )的开集,则是包含在中的最大开集. 所以由定理1.3.13 即证. 反之,设,由定理1.3.13 可知是开集，所以是(, T )的开集.定理1.3.15 设(, T )是拓扑空间,又设都是的任意子集,则 (1) ; (2) ; (3) ( (4) .证明留给读者.例4 在实数空间R中, 若R, 则R；若R,则; 若Q为有理点集,则Q; 若S为无理点集,则S. 定理 1.3.16 设(, T )是拓扑空间,则. 证明 因为T T , 是闭集,即, 所以. 定义 1.3.17 设(, T )是拓扑空间,. (1) 设,若对于点的任意邻域有 , 则称点为集合的边界点； (2) 令 是集合的边界点, 则称为集合的边界. 定理 1.3.18 设(, T )是拓扑空间,则 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) (分离并). 证明留给读者. 例5 在实数空间R中, (1) 若R 则 (2) 若为正整数, 则R,并且. 例5(2)表明,一个集合可以包含在自已的边界中.定义 1.3.19 设是拓扑空间, 则映射: N称为拓扑空间中的一个序列(其中N为正整数集),记作,或, 其中.注意,上述定义中与N是不同的,后者表示的象集.定义1.3.20 设,是拓扑空间中的一个序列,若对于点的任意 邻域,存在N,使得当 N, 时, 则称序列收敛于,并且称点为序列的极限. 至少有一个极限的序列,称为收敛序列.例6 设为拓扑空间中的常值序列(即: N为常值映射). 则常值序列是收敛序列.例7 平凡空间中的任意序列都收敛,并且收敛于空间中的任意一点.此例表明，空间中的收敛序列的极限一般不是唯一的.定义1.3.21 设为拓扑空间, 又设, N 都是中的序列, 若存在映射：N N满足； (1) 对于任意 N，若则 (2) ,则称序列为序列的子序列,通常将记作.若将序列记作,则其子序列可记作. 所以序列的子序列的第项恰是序列的第项.定理1.3.22 设是拓扑空间中的一个序列, .若序列收敛于,则的任意子序列收敛于.证明 设是拓扑空间中的序列的任意子序列. 若序列的收敛于,则必收敛于. 事实上, 因为序列收敛于, 从而对于点的任意邻域,存在N,使得当N，时, .于是当N，时,因此 所以,序列的子序列收敛于.注 根据一点的邻域总含有该点的开邻域的性质,若将上述闭包点,聚点，边界点与极限等定义中的“邻域”改换成“开邻域”,则得到等价的定义.这在证明它们的性质时,是方便的.第 2 章 连续映射 本章给出联系拓扑空间之间的连续映射,同胚映像与空间同胚的概念,以及它们的性质.此外,还要讨论由于对某些特定映射的连续性要求而产生的构造新的拓扑空间的方法,如在拓扑空间的基础集的一个非空子集上构造子空间的方法,在一族拓扑空间的基础集的积集上构造积空间的方法,以及在拓扑空间的基础集的商集上构造商空间的方法. 2 . 1 连续映射,同胚与拓扑性质定义2.1.1 设 (, T ),(, U )都是拓扑空间,是映射,又设.若对于点在(,U )中的任意邻域, 存在点在(, T )中的邻域. 使得, 则称在点连续(当映射联系到拓扑空间时,也可记作(, T ) U ), 并且称为从(, T )到(,U )的映射). 若映射(, T )(, U )在的每一点连续, 则称为从(, T )到,(, U )的连续映射,简称连续. 定理2.1.2 设映射 (, T )(, U ), 又设, 则在点连续当且仅当对于点在(,U )中的任意邻域是点在(, T )中的邻域. 证明 设在点连续, 则对于点在(,U )中的任意邻域, 存在点在(, T )中的邻域, 使得. 于是 又, 从而 . 所以, 是点在(, T )中的邻域.反之, 设, 对于点在(,U )中的任意邻域,是点在(, T )中的邻域, 令，则是点在(, T )中的邻域, 并且. 所以, 在点连续.定理2.1.3 设(, T ),(, U )是两个拓扑空间, 是映射,则下列条件等价； (1) (, T ) (,U )是连续映射； (2) 对于任意 U T ； (3) 对于(,U )的任意闭集是(, T )的闭集； (4) 对于任意B ,T ,其中B 是拓扑U 的基； (5) 对于任意S ,T , 其中S 是拓扑U 的子基； (6) 对于任意； (7) 对于任意; (8) 对于任意,点在(,U )中的任意邻域,是点在(, T )中的邻域. 证明 设U ,若,则T .不妨设.任取, 则U . 由此可知是点在(,U )中的邻域. 因为在点连续, 于是由定理2.1.2可知,是点在(, T )中的邻域. 但是是任取的, 从而是它的每一点的邻域. 所以， T . 对于(,U )的任意闭集, 则是(,U )的开集, 于是由(2)可知是(, T )的开集. 因为.所以是(, T )的闭集. . 这是明显的. . 这是明显的 . 设. 因为 于是.但是是(,U )的闭集,根据可知是(, T )的闭集,因此是包含的闭集. 又是包含的最小闭集, 从而.所以, . 设. 视为中的. 则由可知. 对上式包含关系式的两端取原象, 有. 但是, 所以. 设是点在(,U )中的任意邻域, 则存在U ，使得. 于是. 视为中的, 则由可知. 又因为是(,U )的闭集,于是. 从而由 可知. 这表明是(, T )的闭集. 但是,于是是(, T )的开集, 由于前述已证 所以是点在(, T )中的邻域. . 任取, 对于点在(,U )中的任意邻域, 由(8)可知是点在(, T )中的邻域. 令. 则是点在(, T )中的邻域, 并且. 这表明在点连续. 但是是任取的,所以在的每一点连续. 即(, T ) (,U )是连续映射.定理2.1.4 设(, T )(,U ) ，(,U ) (, T )都是连续映射,则复合映射 (, T )(, T )是连续映射. 证明 任取 T ，则 T . 所以由定理2.1.3 可知是连续映射. 例 1 (1) 常值映射是连续映射； (2) 从任意空间到平凡空间的映射是连续映射； (3) 从离散空间到任意空间的映射是连续映射； (4) 任意拓扑空间上的恒同映射1(, T ) (, T )是连续映射. 定义2.1.5 设映射(, T ) (,U ).若是一一映射,并且与都是连续映射,则称为同胚映射(也称为拓扑变换或拓扑映射).设(, T ), (,U )是两个拓扑空间,若存在一个同胚映射(, T )(,U ).则称(, T )与(,U ).同胚,记作(, T )(,U ). 关于拓扑空间的某一概念, 若在同胚映射下保持不变, 则称为拓扑概念. 关于拓扑空间的某一性质, 若在同胚映射下保持不变, 则称为拓扑性质. 由同胚定义可知, 同胚映射(, T )(,U ).不仅是点集与点集之间的一一对应,而且也是集合上的拓扑T (开集族)与集合上的拓扑U (开集族)之间的一一对应,所以涉及拓扑空间(, T )与(,U )的拓扑的有关性质都是相同的. 设(,T )(,U )为同胚映射, 则(,T )的开集的象是(,U )的开集, (,U )的开集的原象是(, T )的开集. 所以开集概念在同胚映射下保持不变,它是拓扑概念. 显然,由开集概念定义的闭集,邻域,附着点,闭包,聚点,导集,内点,内部,边界点和边界等概念都是拓扑概念. 用开集或其派生的拓扑概念刻画的性质也都是拓扑性质. 例如,拓扑空间的平凡性,离散性,以及在以后各章中将讨论的可数性,分离性,紧致性和连通性等都是拓扑性质. 例 2 设R为实数空间,定义映射 RR , (), 则是同胚映射. 事实上,易见是一一映射,的逆映射为 RR , 并且与都是连续映射, 所以是同胚映射.定理2.1.6 设都是拓扑空间, 则(1) 恒同映射是同胚映射；(2) 若是同胚映射, 则是同胚映射；(3) 若,都是同胚映射,则是同胚映射.证明 自证.定理2.1.7 拓扑空间之间的同胚关系”是全体拓扑空间之族上的一个等价关系.证明 根据定理2.1.6即得证.定理2.1.7 表明,根据同胚关系,拓扑空间可分成互不相交的一些等价类,属于同一等价类的拓扑空间相互同胚,属于不同等价类的拓扑空间相互不同胚.这些相互同胚的拓扑空间的共同性质,就是拓扑性质.拓扑学就是研究拓扑性质的一个数学分支.定理2.1.8 设都是拓扑空间, 又设,都是连续映射,并且使得与都是恒同映射, 则是同胚映射,并且.证明 因为,于是与都是一一映射,并且. 又假设都是连续映射, 所以是同胚映射.定义2.1.9 设是拓扑空间之间的映射(1) 若拓扑空间的任意开集在下的象是拓扑空间的开集,则称为开映射；(2) 若拓扑空间的任意闭集在下的象是拓扑空间的闭集,则称为闭映射.注意,开映集,闭映射与连续映射这三个概念彼此之间并无蕴涵关系.定理2.1.10 设为一一映射, 则下列条件等价:(1) 是同胚映射；(2) 是连续开映射；(3) 是连续闭映射证明 直接验证.定义2.1.11 设都是度量空间,并且是一一映射,若对于任意, 则称为等距映射或保距映射.定理2.1.12 等距映射是同胚映射.证明 由读者自已验证.度量空间或它的点集的某一性质,若在等距映射下保持不变,但却不能在任意同胚映射下保持不变,则称为度量性质. 例如,度量空间中两点之间的距离,一点的球形邻域等都是度量性质. 拓扑学也讨论度量性质,它主要是能过对这种性质的研究来阐发拓扑性质. 2 .2 子空间定义2.2.1 设(, T )是拓扑空间,是的非空子集,令T T ,则 T 是集合上的拓扑, 称为T 在上的子空间拓扑或相对拓扑. 拓扑空间T 称为拓扑空间(,T )的子空间, 子空间T 的开集(闭集)称为相对开集(相对闭集). 设(,T )是拓扑空间,若是(,T )的非空开集(非空闭集),则称T 为(, T )的开(闭)子空间. 注意,今后非空子集作为拓扑空间的子空间总意味着在集合上赋予子空间拓扑. 此外,拓扑空间的非空子集时常被认为是子空间而不是另行说明. 例1 设R是实数空间,是实数空间R的子空间,其中R,.则是R的子空间的开集, 其中 , 这是因为 这里是实数空间R的开集. 是关于的余集, 即是实数空间R的子空集的闭集. 显然,与都是实数空间R的子空间的开集,也是闭集. 定理2.2.2 设(, T )是拓扑空间, T 是它的子空间, (1) 若是拓扑T 的基(或子基), 则是子空间拓扑 T 的基(或子基)； (2) 若,则是子空间T 的闭集当且仅当存在拓扑空间的闭集,使得; (3) 若,则是点在子空间T 中的邻域当且仅当存在点在拓扑空间(, T )中的邻域,使得; (4) 若,则在子空间T 中的闭包. 其中表示在拓扑空间(, T )中的闭包. 证明 这里只给出(3)的证明,其余部分由自证.设上点在子空间T 中的邻域,则存在T , 使得. 由于是T 的开集,从而存在T , 使得. 令, 则是点在(, T )中的邻域, 并且.反之,设是点在(,T )中的邻域, 并且使得.因为是点在(,T )中的邻域, 从而存在T 使得. 令, 则T ,并且. 所以,是点在子空间T 中的邻域. 定理2.2.3 设T 是拓扑空间(, T )的子空间, 则 包含映射T (,T ) 是连续映射； 集合上的子空间拓扑T 是使得包含映射连续的集合上的最小拓扑.即若 U 是集合上拓扑, 使得包含映射U (,T ) 连续, 则 T U .证明作为练习留给读者.定理 设(,T ) U 是连续映射. 则 对于的非空子集, 限制映射T U 是连续映射；(,T ) U 是连续映射.证明 考虑映射图表:T (,T ) U , 则 所以是连续映射. 因为 U 的开集可表示为如下形式:其中U , 于是T .所以 (,T ) U 是连续映射.例 维欧氏空间R的子空间R 称为维球面.去掉北极后, 即 它与维欧氏空间R同胚,其同胚映射中最常用的是称为球极投射的映射 RR定义如下:对于任意从点出发通过点的射线交R于点 由 R),解得 这里R取赤道平面,令R，则容易验证是同胚映射. 定义2.2.5 设是某一拓扑性质,若一个拓扑空间具有拓扑性质蕴涵着其任意子空间也具有拓扑性质,则称拓扑性质是遗传性质. 例如,拓扑空间的离散性,平凡性都是遗传性质.在讨论拓扑空间的各种性质时,常 常需要考虑这种性质是否为遗传性质. 2. 3 积空间 定义 2.3.1 设T 是拓扑空间的一个非空族,记又设则 对于,记，为投射, 记S T ,则以S 为子基生成的集合上的拓扑,记作T 或T ,称为集合上的积拓扑,拓扑空间T 称为拓扑空间族T 的积空间.对于T 称为积空间T 的因子空间或坐标空间.注 所谓拓扑空间的一个非空族是指T ,其中并且对于T 为拓扑空间. 在讨论拓扑空间族T 的积空间时,总约定指标集.(1) 当指标集为有限集时,即,有限积空间T T 的基开集的一般形式是其中对于T ；(2) 当指标集为无限集时,无限积空间T T 的基开集的一般形式是, 其中对于 T . 定理2.3.2 设T 是拓扑空间族T 的积空间,则T 是集合上使得每个投射都连续的最小拓扑,其中.证明 设对于,T ,则S T ,其中S 是积拓扑T 的子基.所以T T 连续.设U 是集合上使得每个投射都连续的任意拓扑,其中,对于任意S , 则存在, T 使得.因为U ) T 连续,于是U , 这表明S U . 所以,以 S为子基生成的集合上的拓扑,即积拓扑T U . 定理2.3.3 设T 是任意拓扑空间, U )是拓扑空间族U 的积空间,T U )是映射 ,则映射T U )连续当且仅当对于任意,T U )连续,其中为的投射. 证明 设连续,又由定理2.3.2可知对于任意,连续,所以连续.反之,设对于任意,连续,任取积空间U )的子基开集,其中U ,T .所以T U ) 是连续映射.定理2.3.4 设T 是任意拓扑空间, U )是拓扑空间族U 的积空间,又设对于任意是映射,定义映射 则T U )连续当且仅当对于任意T U ) 连续.证明 对于任意,设为投射,则.所以由定理2.3.3即得证.定义2.3.5 设是某一拓扑性质,若一族拓扑空间具有拓扑性质蕴涵着其积空间也具有拓扑性质,则称拓扑性质是可积性质.由于有限个拓扑空间的积空间是拓扑空间族的特殊情形,所以凡是不是有限可积性质必定不是可积性质,并且有限可积性质不必一定是可积性质.例如,拓扑空间的离散性是有限可积性质,但不是可积性质. 2. 4 商空间商空间概念给出构造新拓扑空间的又一种方法,它来源于几何学中的粘贴方法构造 几何图形的思想.定理2.4.1 设T 为拓扑空间,是集合上的等价关系,，为映射,则集族T T 是商集上的拓扑.证明 只需验证T 满足拓扑定义中的三个条件: 因为T ，所以T 设T 则T . 于是T . 所以T 设对于T ,则对于T . 于是T ，所以T 综上所证,，可知T 是上的拓扑.定义 设T 是拓扑空间，是集合上的等价关系,则商集 上的拓扑T T 称为T 关于等价关系的商拓扑，拓扑空间 T 称为拓扑空间T 关于等价关系的商空间，简记作，其中为映射.定理 设T 是拓扑空间，是集合上的等价关系，则 映射T T 是连续满射； 商拓扑T 是商集上使得连续的最大拓扑.证明 显然是满射，若T . 则由商拓扑定义可知T ，所以T T 是连续映射； 设U 是商集上使得连续的另一拓扑，任取U ，则T ，于是由商拓扑定义可知T . 从而U T . 所以T 是使得连续的商集上的最大拓扑.定义 设T 为拓扑空间，为非空集，是满射，则T T 是集合上的拓扑，称为由T 与确定的集合上的粘合拓扑，并称拓扑空间T 为粘合空间.显然,商空间是粘合空间.定义 设T U 为映射，若是满射，并且U T ，则称为商映射.定理 设 T U 是映射，若是连续、满的、开或闭映射，则是商映射.证明 根据商映射的定义，只需证明：U T ，其中T T .设U ，则由T U 是连续映射可知T . 于是T .所以U T . 反之，若是满的、闭映射，则对于T .有T ，于是是T 的闭集，从而是U 的闭集，即U . 所以T U ；.若是满的、开映射，则对于T ，有T ，于是为U 的开集,即U ，所以 U . 综上所证，可知为商映射.引理 设T U 为商映射，则对于任意拓扑空间W U W 为连续映射当且仅当T W 是连续映射.证明 设 U W 为连续映射. 因为T U 是商映射, 于是U T T . 这表明为连续映射, 所以T W 为连续映射. 反之,设T W 为连续映射,任取W ,则由连续可知T .因此T .但T U 是商映射,于是U T T .从而U , 所以 U W 为连续映射.定义 设为映射不必为满射,记则是集合上的等价关系,称为由射映生成的等价关系.定理 设T 是拓扑空间,为非空集,为满射,是由映射生成的集合上的等价关系,则 商空间T 粘合空间T . 证明 根据商映射定义,可知 T T ,T T 都是商映射,并且对于,于是对于任意 令 易见是一一映射,从而有逆映射. 但是 因此可得, 对于, 因为T T 是商映射, T T 是映射与是连续映射,所以由引理可知为连续映射. 对于因为 T T 是商映射,T T 是映射与是连续映射,所以由引理可知为连续映射.综上可知,T T 是一一映射,与都连续,所以是同胚映射.由此即得 T T 定理 设T U 是商映射,则T U , 是同胚映射,其中是由映射生成的集合上的等价关系.证明 因为T U 是商映射,于是根据商映射定义可知是满射,并且U T .根据定理由 是满射,可知 T T , 是同胚映射注: 此处即定理中的.但是T U ,所以 T U , 是同胚映射.例 设视为实数空间R的子空间为单位圆周视为欧氏平面R的子空间, 定义, 则是连续,满的,闭映射参看第章习题中第题,从而是商映射.记为由映射生成的集合上的等价关系,则对于有 此等价关系的直观意义是将线段的两个点粘合起来, 根据定理可知商空间例 表明,粘合线段的端点得到的商空间与圆周同胚图例 设为欧氏平面R上的单位正方形区域为欧氏平面R上的单位圆周,定义映射 则是商映射. 记由映射生成的集合上的等价关系为 或 或 ,则等价关系的直观意义是将单位正方形区域的两条垂直边粘合起来.此时称商空间为柱面，根据定理可知是同胚映射.即柱面与同胚图第 3 章 可数性与分离性本章在前面讨论拓扑空间的一般概念的基础上，对拓扑空间加以某些限制，即关于可数性或分离性的限制，从而得到具有良好性质的各种重要的拓扑空间.可数性与分离性都是重要的拓扑性质.3. 1 第一可数空间,第二可数空间定义3.1.1 设T 是拓扑空间, N 是点的邻域系, B N . 若对于任意N ,存在B 使得, 则称B 为点的邻域基, 或局部基.设T 是拓扑空间, 若对于任意, 存在点的一个可数邻域基, 即有点的可数个邻域基组成的邻域基, 则称T 为第一可数空间.例1 设T 是拓扑空间, B 是它的基, 则对于任意 B B 是点的邻域基. 例2 设T 是平凡拓扑空间, 则对于任意 点的邻域系与点的邻域基都是. 所以平凡拓扑空间是第一可数空间. 例3 设T 是离散拓扑空间, 则对于任意 由单点集一个集合所组成的集族是点的邻域基，所以离散拓扑空间是第一可数空间. 定义3.1.2 若拓扑空间T 具有可数基,即有可数个开集组成的基, 则称T 为第二可数空间. 定理3.1.3 度量空间是第一可数空间.证明 设是度量空间, 对于任意 B N(其中N为正整数集)是点的可数邻域基. 所以是第一可数空间. 定理3.1.4 第二可数空间是第一可数空间. 证明 设T 是第二可数空间, 则T 有可数基B . 对于任意令B B ，易证B 是点的邻域基. 因为B 是可数族, 于是B 的子集B 也是可数族,从而B 是点的可数邻域基, 所以T 是第一可数空间. 基础集为不可数集的离散拓扑空间不是第二可数空间, 因为它的任意一个拓扑基必包含全部单点集. 但是离散拓扑空间总可以度量化,所以度量空间不必是第二可数空间.定理3.1.5 拓扑空间的第一可数性, 第二可数性都是拓扑性质.证明留给读者.定理3.1.6 拓扑空间的第一可数性, 第二可数性都是遗传性质.证明 设拓扑空间T 是第二可数空间, B 是拓扑T 的一个可数基. 若是的非空子集, 根据定理2.2.2, 可知集族B B 是子空间T 的拓扑T 的一个可数基. 所以, 拓扑空间的第二可数性是遗传性质. 类似地可证拓扑空间的第一可数性是遗传性质. 拓扑空间的第一可数性, 第二可数性都不是可积性质, 但都是有限可积性质. 3. 2 可分空间,Lindelof 空间 定义3.2.1 设是拓扑空间,若的每一点都是集合的附着点,即,则称是拓扑空间的稠密子集. 定义 3.2.2 设是拓扑空间,若有一个可数稠密子集,则称为可分空间. 注 拓扑空间的可分性通常也被视为一种可数性. 例1 实数空间是可分空间. 例2 基础集为不可数集的离散空间不是可分空间.定理 3.2.3 设都是拓扑空间,是连续的满射.若是可分空间，则也是可分空间. 由此可知,拓扑空间的可分性是拓扑性质. 证明 设是拓扑空间的一个可数稠密子集,即是可数子集,并且,则由是连续的满射可知 所以是拓扑空间的一个可数稠密子集,即是可分空间.拓扑空间的可分性不是可积性质,也不是遗传性质.例3 设T 为不可分空间, 令 表示新点 T T 则T 是拓扑空间, 并且在T 中的闭包. 于是T 是可分空间，但是它的子空间T 不是可分空间，所以可分性不是遗传性质. 定理3.2.4 第二可数空间是可分空间. 证明 设是第二可数空间，则有可数基 B N(正整数集)，对于N,任取记N, 则是拓扑空间的可数子集. 又 事实上,任取,对于点在拓扑空间中的任意开邻域,因为B 是拓扑基,从而存在B , 使得 于是. 这表明点的任意开邻域与都相交, 因此 但是是任取的,所以 综上所证,可知定理成立. 定理3.2.5 可分的度量空间是第二可数空间. 证明 设是度量空间,是它的一个可数稠密子集,记 B N( N为正整数,则B 是的可数开集族. 设是的任意开集,对于任意,则存在点的球形邻域其中N.因为,于是,从而对于点的球形邻域 . 任取, 则B . 对于任意 , 因为 .从而,因此. 所以,由定理1.1.4 可知是集合上的度量诱导拓扑T 的基.综上所证,可知可分的度量空间是第二可数空间.定理3.2.6 维欧氏空间R是可分空间(从而是第二可数空间,也是第一可数空间).证明 因为可分的度量空间是第二可数空间,所以只需证维欧氏空间R是可分空间.记RQ其中Q为全体有理数集,则是R的一个可数集. 任取R,对于点的任意球形邻域,取,使得 则. 因此.上述表明:点的任意球形邻域都包含有的点,从而.但是R是任取的,所以R.综上所证,可知R是可分空间,从而定理得证.定义3.2.7 设是非空集,是的子集族,又设.(1) 若对于任意,存在,使得,即,则称集族为的覆盖. 当的覆盖是由有限个集合(或可数个集合)组成时,称为的有限覆盖(或可数覆盖；(2) 设是的覆盖,若并且也是的一个覆盖,则称覆盖为的子覆盖.定义 3.2.8 设T 是拓扑空间,若的覆盖T , 则称为的开覆盖.定义 3.2.9 设T 是拓扑空间,若集合的每个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称T 为Lindelof(林德勒夫)空间.注 拓扑空间的Lindelof性通常也被视为一种可数性.定理 3.2.10 第二可数空间是Lindelof空间.证明 设T 是第二可数空间,于是T 有一个可数基,记着B .又设是在 中的任意开覆盖,则对于任意,存在,使得.因为B 是T 的基,从而对于,存在B ,使得. 因此,并且B .但是B 是可数族,于是也是可数族,从而可记作N正整数集.现在对于每个N, 相应地选择,使得,则 NN.因此N是的开覆盖的一个可数子覆盖,所以T 是Lindelof空间.定理3.2.11 Lindelof度量空间是第二可数空间.证明 设是Lindelof度量空间.记B ,其中N N为正整数集),则B是的开覆盖. 因为是Lindelof 空间,于是的开覆盖B 有可数子覆盖,设是BN，.令BB，则B 是的可数开集族,以下证明B 是的基.设是的任意非空开集,对于任意,则存在使得.取N使得 因为B 是的开覆盖,于 是存在B , 使得 易证, 从而. 所以B 是的基. 综上可知, 是第二可数空间. 定理3.2.12 拓扑空间的Lindelof 性是拓扑性质. 证明留给读者. 拓扑空间的Lindelof 性不是遗传性质(但对闭子空间是遗传性质),也不是可积性质.3. 3 空间,空间与空间 定义3.3.1 设是拓扑空间. (1) 若对于任意存在点的邻域使得,或存在点的邻域使得,则称拓扑空间满足分离公理； (2) 若对于任意存在点的邻域与点的邻域,使得与,则称拓扑空间满足分离公理.(3) 若对于任意存在点的邻域与点的邻域,使得,则称拓扑空间满足分离公理.满足分离公理的拓扑空间称为空间().其中空间又称为Hausdorff 空间.显然,上述定义中若将邻域改为开邻域,则得到等价的定义.由上述定义可知,空间是空间,空间是空间.例1 (1) 多于一点的平凡空间不是空间；(2) Sierpinski空间是空间,但不是空间；(3) 离散空间是空间.例2 度量空间是空间.特别地,维欧氏空间是空间.事实上,设是度量空间,对于,记则 .所以, 是空间.定理3.3.2 设是拓扑空间,则是空间当且仅当对于任意,有.证明留给读者.定理3.3.3 拓扑空间是空间当且仅当它的单点集是闭集.证明 设是空间，任取,则对于任意,有.