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文档简介

一、判断题（每题2分，共10分）1.设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑。（ ）2.从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射。（ ）3.度量空间一定满足第二可数性公理。（ ）4.完全正则的紧致空间一定是正则空间。（ ）5.每一个仿紧致的空间都是正则空间，因而也是正规空间。（ ）二、单选题（每题3分，共30分）1.设，下列集族中，（ ）是上的拓扑。A. C.B. D.2.离散空间的任一子集为（ ）。A.开集 B.闭集 C.既开又闭 D.非开非闭3.设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是（ ）。A.单射 B.连续的单射 C.满的连续闭映射 D.满的连续开映射4.有理数集是实数空间的一个（ ）。A.不连通子集 B.连通子集 C.开集 D.以上都不对5.设是一个拓扑空间，是的子集，则下列关系中错误的是（ ）。A. C.B. D.6.设,则是（ ）。A.空间 B.空间 C.空间 D.空间7.设是连通空间，则积空间是（ ）。A.离散空间 B.商空间 C.平庸空间 D.连通空间8.若度量空间的一个子集中的每一个点都有一个球形邻域包含于，则称是度量空间中的一个（ ）。A.不连通子集 B.开集 C.连通子集 D.以上都不对9.每一个度量空间都满足（ ）。A.选择公理 B.引理 C.第一可数性公理 D.第二可数性公理10.若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个（ ）。A.不连通空间 B.连通空间 C.平庸空间 D.以上都不对三、填空题（每题3分，共15分）1.设，则的离散拓扑为 。 2.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 。3.是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 。4.对于的任何一个邻域有 。5.空间中的任何一个收敛序列有 个极限点。四、名词解释（每题4分，共16分）1.正则空间：2. 同胚映射： 3.拓扑：4.可分空间：五、证明题（第一题9分，第二题10分，共19分）1.设是一个含有不可数个点的可数补空间。证明不满足第一可数性公理。2.设是一个拓扑空间，,则六、简答题（第一题3分，第二题7分，共10分）1.简要说明欧氏平面中拓扑学家的正弦曲线的连通性，局部连
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