（信号与信息处理专业论文）基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用.pdf

宋鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 摘要 采用数学形态学的思想用于图像分割是近年来图像处理中研究的热点之一。目 前基于形态学图像分割的研究主要集中在两个方面：基于形态腐蚀或形态膨胀的边 缘检测和基于分水岭变换的区域分割算法。本文围绕这两部分开展了研究工作。论 文首先阐述了数学形态学的基础理论，接着研究了图像分割的基本原理，然后从以 下两个方面展丌了具体的研究： 一方面，在狄度图像范围里，分别讨论了基于边缘和基于区域的形态学分割算 法。在基于边缘的图像分割部分，研究了形态学在图像边缘检测上的优势，定义了 全方位、多尺度的形态学结构元素，通过形态运算的加权组合，构造了全方位、多 尺度形态学的边缘检测方法。针对无噪声、有噪声的静态狄度测试图像进行实验， 并和其它的边缘检测算法进行分析比较，处理效果令人满意。在基于区域的图像分 割部分，对分水岭算法进行了分析。将图的概念应用于图像分割的研究中，把边界 发现问题归结为图中的最短路径问题，从而引入了一种基于图像森林化变换( i m a g e f o r e s t i n g t r a n s f o r m ，该方法是把图像处理问题简化为在图中求解最短路径森林问题 的一种统一有效的方法) 的分水岭算法，并分析了平滑滤波、梯度闽值在图像分割 中的作用。实验结果表明，基于图像森林化变换的分水岭算法可以提供精确且封闭 的区域轮廓线。 另一方面，在深入研究二值图像、灰度图像的各种形态学分析算法的基础上， 将数学形态学扩展到彩色图像中。在彩色图像的边缘检测中，应用k - l 变换将彩色 图像分解成三个正交彩色基i i l 2 1 3 ，再分别对不同彩色空间进行全方位形态边缘提 取，得到的结果比传统的方法在抑制噪声、色彩变异等方面有较大的改善。在彩色图 像滤波中，根据人眼对r g b 三基色视敏度不同的特点，对彩色图像在r g b 彩色空 间里进行多尺度形态滤波，并从主观评价和客观评价两个方面和其它滤波器进行比 较，得出的结果令人比较满意。 最后针对医学图像的特点，将上述改进的算法应用于医学图像中，使每一个创 新点都能在医学图像分割中得到体现。为以分割结果为特征的图像检索打下基础。与 现有文献的研究结果相比较，本文设计的形态学算法具有良好的性能和稳健的适应 能力，得到了较为满意的实验结果。 关键词：图像分割数学形态学边缘检测图像森林化变换分水岭算法全方位多 尺度形态学医学图像分割 扬州大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m a g es e g m e n t a t i o nb a s e do nm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi so n eo f i n t e r e s t i n gf i e l d so f i m a g ep r o c e s s i n gr e c e n t l y i m a g es e g m e n t a t i o nb a s e do nm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yh a s m a i n l yf o c u s e do nt w op a r t s ：o n ei se d g ed e t e c t i o nb a s e d0 nm o r p h o l o g i c a le r o s i o no r m o r p h o l o g i c a ld i l a t i o n ；t h eo t h e ri sr e g i o ns e g m e n t a t i o nb a s e do nw a t e r s h e dt r a n s f o r l n i n t h et h e s i st h et w op a r t sa r es t u d i e dp a r t i c u l a r l y f i r s t l yt h eg e n e r a lt h e o r yo f m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g yi si n t r o d u c e da n dt h e i lt h eb a s i cp r i n c i p l eo fi m a g es e g m e n t a t i o ni ss t u d i e d a t1 a s t ，m yr e s e a r c hw o r kh a sb e e nd o n ea sf o u o w s ： o nt h eo n eh a n d ，v a r i o u sm o r p h o l o g i c a la l g o r i t h m so fe d g ed e t e c t i o na n dr e g i o n s e g m e n t a t i o na r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l yi ng r a y s c a l ei m a g e s i nt h ep a r to f e d g ed e t e c t i o n ， s u p e r i o r i t yo fm o r p h o l o g yi nt h ei m a g ee d g ed e t e c t i o ni ss t u d i e d ，o m n i - d i m c t i o n a l m u l t i s c a l em o r p h o l o g i c a ls t r u c t u r i n ge l e m e n t sa r ed e f i n e d ，a na p p r o a c ho fi m a g eo d b e d e t e c t i o nb a s e do no m n i d i r e c t i o n a lm u l t i s c a l em o r p h o l o g yi sc o n s t r u c t e db yw e i g h t e d c o m b i n a t i o no fm o r p h o l o g i c a lo p e r a t i o n ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h e m e t h o dg a i n sb e t t e r e 行b c ta i m e da tn o i s yi m a g ea n dn o n - n o i s yi m a g e i nt h ep a r to f r e g i o ns e g m e n t a t i o n ，w a t e r s h e da l g o r i t h mi sa n a l y z e d i m a g es e g m e n t a t i o nb a s e do nt h e g r a p hc o n c e p ti sa n a l y z e di no u rt h e s i s ，ab o u n d a r yf i n d i n gp r o b l e mi sf o r m u l a t e da sa s h o r t e s t - p a t hp r o b l e mi nag r a p h ，t h e naw a t e r s h e da l g o r i t h mb a s e do ni m a g ef o r e s t i n g t r a n s f o r mi si n t r o d u c e d w h i c hi sau n i f i e da n de m c i e n ta p p r o a c hf o rs i m p l i f y i n gi m a g e p r o c e s s i n gp r o b l e m st oam i n i m u m - c o s tp a t hf o r e s tp r o b l e m t h ee f f e c t so ff i l t e r i n ga n d t h r e s h o l d s e u i n ga r ed i s c u s s e di nt h ei m a g es e g m e n t a t i o n t h er e s u l t so ft h ee x p e r i m e n t s h o wt h a tt h i sm e t h o dc a l lp r o v i d ea c c u r a t ea n dc l o s e dr e g i o nc o n t o u r s o nt h eo t h e rh a n d ，v a r i o u sa l g o r i t h m so fm o r p h o l o g i c a la r i t h m e t i co fb i n a r yi m a g e a n dg r a y s c a l ei m a g ea r ea n a l y z e dd e e p l y ，t h e ne x p a n d e dt oc o l o ri m a g e i nt h ee d g e d e t e c t i o no fc o l o ri m a g e ，c o l o ri m a g ei sd e c o m p o s e da st h r e ec o l o ro r t h o g o n a lf e a t u r e ： i i ，1 2 ，1 3i nk a r h u n e n l o e v e ( k - l ) t r f l n s f o r m a t i o nm e t h o d ，o m n i d i r e c t i o n a lm o r p h o l o g i c a l s t r u c t u r i n ge l e m e n t sa r ed e f i n e di no r d e rt od e t e c tt h ee d g eo fi m a g e si nd i f f e r e n tc o l o r s p a c e ，t h er e s u l t so fs i m u l a t i o nd e m o n s t r a t et h a tt h em e t h o dp e r f o r m sb e t t e rn o to n l yi n n o i s e s u p p r e s s i o nb u ta l s o i nc o l o rv a r i a t i o nt h a nc l a s s i c a l e d g ed e t e c t i o no p e r a t o r u 吐a n a l y z i n gt h ed i f f e r e n tv i s u a la c u i t yo f t h eh u m a ne y et ot h et h r e ep r i m a r yc o l o r s ( r g b ) ac o l o ri m a g ef i l t e r i n gm e t h o db a s e do nm u l t i s c a l em o r p h o l o g yi sp r o p o s e di n t h i st h e s i s ，e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wb e t t e rf i l t e re f f e c to nr e m o v i n gs a l t - a n d p e p p e r n o i s ec o m p a r i n gw i t ho t h e rf i l t e r sa c c o r d i n gt os u b j e c t i v ea n do b j e c t i v ee v a l u a t i o n t h ea b o v ea l g o r i t h m sa r ea p p l i e dt om e d i c a li m a g es e g m e n t a t i o nf i n a l l y , t h e e x p e r i m e n t a lr c s u l t ss h o wt h a tb e t t e ra n dr o b u s tp e r f o r m a n c ec a ) u l db e0 b t a i n e db yo u r d e s i g n e dm o r p h o l o g i c a la l g o r i t h m s ，w h i c hm a yp r e p a r ef o ri m a g er e t r i e v a lb a s e do n s e g m e n t a t i o nr e s u l t s k e yw o r d s ：i m a g es e g m e n t a t i o n ，m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y , e d g ed e t e c t i o n ，i m a g e f o r e s t i n gt r a n s f o r m , w a t e r s h e da l g o r i t h m ，o m n i - d i r e c t i o n a lm u l t i - s c a l em o r p h o l o g y , m e d i c a li m a g es e g m e n t a t i o n 扬州大学硕士学位论文 符号说明 本文所用到的符号如下： a b 表示集合a 被集合b 腐蚀 a o b 表示集合a 被集合b 膨胀 a o b 表示集合b 对集合a 作开运算 a b 表示集合b 对集合a 作闭运算 a d b 表示集合b 对集合a 作开一闭运算 a i i b 表示集合b 对集合a 作闭一开运算 a 。表示集合a 的补集 b 表示b 关于坐标原点的反射 a c b 表示集合a 包含于集合b a u b 表示集合a 与集合b 的并集 g 可表示信号g 在信号厂上方 b + x 表示b 将平移向量x g x + y 表示信号g 的形态学平移，即向右移x ，再上移y 宋鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 1 绪论 1 1 研究背景和意义 近年来，国内外许多杂志每年都刊登大量的图像技术文献，据国内的图像工程 文献资料统计“1 ，“边缘检测和图像分割”该类的文献数量在1 9 9 5 年和1 9 9 6 年曾是 第一，其后至2 0 0 1 年一直是第二，2 0 0 2 、2 0 0 3 年仍是第一。对图像分割( i m a g e s e g m e n t a t i o n ) 的研究“经久不衰”，除反映了这个由图像处理进入到图像分析的关 键步骤在图像工程中所占据的重要位置，也在一定程度上表明该方面的工作有相当 的难度和挑战性。事实上，尽管对图像分割的研究已取得了许多成果，但还有许多 需要解决的问题。 图像分割技术的发展与许多其它学科，例如医学、数学、电子学、计算机科学 等学科密切相关。随着各学科许多新理论和新方法的提出，人们也提出了许多结合 一些特定理论、方法和工具的分割技术。而采用数学形态学( m a t h e m a t i c a l m o r p h o l o g y ) 的思想用于图像分割在近年来受到了人们越来越多的重视，已经成为 许多专家学者研究的热点之一。 当前，基于内容的图像检索( c b i r , c o n t e n t - b a s e di m a g er e t r i e v a l ) 已成为多媒 体技术研究的熟点问题之一，也涌现出许多行之有效的方案。但是由于受到图像特 征提取方法的限制，目前各种图像数据库都有其适用范围与不足之处。目前多数方 案是基于颜色特征的图像检索，相比之下，以目标特征作为图像内容的检索系统对 查询请求的适应性比较强，可以实现基于特定区域、组合区域和组合目标的检索。 目标的形状等特征正是用户所关心的，而且人眼对形状比较敏感，因此，以目标形 状作为系统的特征空间无疑会提高检索的准确性和效率。但是，目标的捕捉和提取 都依赖于图像分割的结果，所以解决好图像分割这个基本问题，才能为基于目标特 征的图像检索打下良好的基础。 1 1 1 图像分割概述 图像分割。1 就是指把图像分成各具特性的区域并提取出感兴趣目标的技术和过 程。这里的特性可以是像素的灰度、颜色、纹理等，预先定义的目标可以对应单个 区域，也可以对应多个区域。图像分割是一种重要的图像分析技术，是由图像处理 进入到图像分析的关键步骤，在图像工程中占据重要的位置，一方面，它是目标表 达的基础，对特征测量有重要的影响。另一方面，因为图像分割及其基于分割的目 2 扬州大学硕士学位论文 标表达、特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象、更紧凑的形式，使得更 高层的图像分析和理解成为可能。 图像技术在广义上是各种与图像有关的技术的总称，图像技术种类很多，跨度 很大，但可以将它们归在一个整体框架图像工程之下。图像工程是一个对接个 图像领域进行研究应用的新学科，它的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法等 的不同可分为三个各有特色的层次( 图1 1 ) ：图像处理、图像分析和图像理解。 r 符号 操i 筹 目标 象i o 像素 图卜l 图像分割在图像丁程中的位置 图像处理着重强调在图像之间进行变换以改善图像的视觉效果。图像分析则主 要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息从而建立对图 像的描述。图像理解的重点是在图像分析的基础上进一步研究图像中各目标的性质 和它们之间的相互联系，并得出对原始成像客观场景的解释，从而指导和规划行动。 图像处理、图像分析和图像理解具有不同的操作对象，可参见图卜l 。图像处 理是比较底层的操作，它主要在像素级上进行处理。图像分析贝q 进入了中层，它侧 重于对像素集合目标的表达、测量和描述。图像理解主要是高层操作，基本上 是对从描述中抽象出来的数据符号进行运算推理。 图像分割在日常生活中已得到广泛的应用，例如在工业自动化，在线产品检验， 生产过程控制，文档图像处理，遥感和生物医学图像分析，保安监视，以及军事， 体育，农业工程等方面。概括来说，在各种图像应用中，只要需对图像目标进行提 取、测量等都离不开图像分割。近年来，图像分割在对图像的编码中也起到越来越重 要的作用，例如国际标准m p e g 一4 模型基目标基编码等都需要基于分割的结果。 目前已经提出的图像分割方法很多“，从分割依据的角度出发，图像分割大致 可分为相似性分割和非连续性分割。所谓相似性分割就是将具有同一灰度级或相同 组织结构的像素聚集在一起，形成图像中的不同区域，这种基于相似性原理的方法 宋鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 通常也称为基于区域相关的分割技术。所谓非连续性分割就是首先检测局部不连续 性，然后将它们连接起来，形成边界，这些边界把图像分成不同的区域，这种基于 不连续性原理检出物体边缘的方法有时也称为基于点相关的分割技术。这两种分割 方法是互补的，在不同的条件下使用不同的方法，有时把它们结合起来，才能得到 更好的分割效果。图像分割方法还可以按分割算法本身来分为阈值法、界线探测法、 匹配法等。 根据最新的研究成果和趋势，将图像分割的研究可分为三个层次：首先，大量 的图像分割技术的研究是集中在对分割算法上，这可看作是图像分割研究的第一个 层次；其次，对分割评价方法的研究越来越得到重视，因而对图像分割技术的性能 刻画和比较，帮助把握不同分割算法的特点便成为图像分割研究的第二个层次；最 后，人们已逐步开始意识到要对分割评价方法和评价准则进行系统的研究“1 ，从而 保证采用恰当的评价方法和评价准则来研究分割技术，这可看作处在图像分割研究 的第三个层次。 ! 对图像分割算法的研究已有几十年的历史，借助各种理论至今已提出了上千种 各种类型的分割算法5 1 ，而且这方面的研究仍在积极进行，研究的重要性已为人们广 泛承认。 1 1 2 数学形态学与数字图像处理 数学形态学( m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) 的历史可回溯到1 9 世纪的e u l a r 、 s t e i n c r 、c r o f i o n 和本世纪的m i n k o w s k i 、m a t h e r o n 和s e r r a 等人的研究。1 9 6 4 年法 国的m a t h e r o n 和s e m 在积分几何的研究成果上嘲，将数学形态学引入图像处理领 域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。1 9 6 8 年在巴黎矿业学院创建了枫丹 白露数学形态学研究中心。m a t h e r o n 于1 9 7 5 年出版的( r a n d o ms e t sa n di n t e g r a l g e o m e t r y 3 一书中严谨而详尽地论述了随机集合论、积分几何论和拓扑逻辑论，为 数学形态学奠定了坚实的理论基础州。1 9 8 2 年s e 啦出版的专著 i m a g e a n a l y s i sa n d m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) ) 是数学形态学发展的重要里程碑“3 ，表明数学形态学在理 论上趋于完备并且在应用上得到了不断深入，并在医学、生物学、遥感、机器人视 觉等领域取得了许多重要的成果。1 9 8 5 年以后，一些相关领域的国际会议开始把数 学形态学列为学术讨论专题，或专门举行研讨会。国际光学工程学会( s p i e ) 从1 9 9 0 年起每年举办一次“i m a g e a l g e b r aa n dm o r p h o l o g i c a li m a g ep r o c e s s i n g ”会议。与此 同时，许多数学形态学方面的成果也被大量刊登在有关的国际刊物上，如1 9 8 6 年计 4扬州大学硕士学位论文 算机视觉与图形图像处理杂志( g v g i p ) 出版了数学形态学专刊，1 9 8 9 年和1 9 9 4 年国际信号处理杂志( j o u r n a lo f s i g n a lp r o c e s s i n g ) 也出版了形态学在信号处理中 的应用研究专辑。数学形态学方面的专著也相继出版，进一步兴起了形态学的研究 热潮。经过4 0 多年的发展，数学形态学无论在理论方面还是应用方面都取得了很多 成就。然而，作为人工视觉的一种方法，在总体水平和应用普及性方面，还有许多 工作需要进一步去做。 数学形态学是- 1 7 建立在严格数学理论基础上，分析研究空间结构的形状、框 架的学科。它主要以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉及随机集 论、近世代数和图论等一系列数学分支。数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊 人的数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。数学形态学的基于集合的观点是极 其重要的。这意味着： ( 1 ) 它的运算由集合运算( 如并、交、补等) 来定义； ( 2 ) 所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。 这一基于集合观点的一个自然的结果是：形态学算子的性能主要以几何方式进 行刻画，传统的理论却以解析的方式来描述，而几何描述的特点似乎更适合视觉信 息的处理和分析制。这一基本思想如下图l 一2 所示。 i 结构元素l 1 j 图卜2 数学形态学的方法 形态学图像处理的基本思想“”，是利用一个称作结构元素的“探针”收集图像 的信息。当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分间的相互关系，从而 了解图像的结构特征。数学形态学基于探针的思想，与人的f o a ( f o c u so f a t t e n t i o n ) 的视觉特点有类似之处。作为探针的结构元素，可直接携带知识( 形态、 大小、甚至加入灰度和色度信息) ，来探测研究图像的结构特点。不同的点的集合形 成具有不同性质的结构元素，由于不同的结构元素可以用来检测图像不同侧面的特 征，因此也可以将结构元素理解成为观察图像的手段和角度。 最基本的形态学算子有：膨胀( d i l a t i o n ) ，腐蚀( e r o s i o n ) ，开( 0 p 酬，闭 ( d o s i n g ) 。用这些算子及其组合来进行图像形状和结构的分析及处理，可以解决抑 宋鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 制噪声、特征提取、边缘检测、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建等方面的问题。 从形态学图像处理的基本思想不难看出，它有其独有的特性： ( 1 ) 它反映的是一幅图像中像素点间的逻辑关系，而不是简单的数值关系。 ( 2 ) 它是一种非线性的图像处理方法，并且具有不可逆性。 ( 3 ) 它可以并行实现。 ( 4 ) 它可以用来描述和定义图像的各种集合参数和特征。 1 1 3 医学图像处理 随着社会的发展和技术的进步，人们对健康关心的程度越来越高，因此研究医 学图像对于人们自身的生命安全息息相关，图像分割技术在医学图像处理中具有十 分重要的意义。由于人体解剖结构的复杂性、组织器官形状的不规则性及不同个体 间的差异性，一般的图像分割方法对医学图像分割效果并不理想。医学图像分割除了 要用到一般的分割技巧以外，还需要结合医学领域中的知识，才能做出合理的分割。 作为图像处理技术的一个重要领域，医学图像处理受到了计算机图像处理研究 者的广泛重视。医学图像处理与识别的方法研究也随着计算机图像处理的发展成为 当代医学图像领域的前沿课题。图像处理技术的应用，为医学提供了更加丰富、准 确的诊断信息。 医学图像处理的研究开始于七十年代后期，其真正的临床应用始于1 9 8 3 年，当 时正是m r 设备实现了临床应用，给影像医学带来了空前的活力。近年来，由于计算 机技术以及c t ( c o m p u t e r i z e d t o m o g r a p h y ) 、p e t ( p o s i t r o n e m i s s i o n t o m o g r a p h y ) 、 m r i ( m a g n e t i cr e s o n a n c eh n a 百n 亩等技术的发展，在这一领域又掀起了新的研究热 潮，主要研究方向有图像分割、图像校准( r e g i s t r a t i o n ) 、结构分析、运动分析以及 近年来出现的图像引导手术( i m a g eg u i d e ds u r g e r y ) 等，其中医学图像分割的研究更 具有重要意义。 在医学图像处理中，图像分割是病变区域提取、特定组织测量以及实现三位重 建等的关键技术。医学图像分割方法的研究有两个显著的特点：一个是要用到医学 领域中的知识，如组织的大致形状等；另一个是经常采用的三维分割的方式，这是 因为一般的图像中仅仅具有二维数据，即三维景物通过摄像机或其它成像设备得到 的二维投影，而医学图像中则直接给出了以二维切片形式组织的三维数据，这就为 三维分割提供了可能。 扬州大学硕士学位论文 1 2 论文的研究内容及章节安排 本文首先从数学形态学的基本理论入手，详尽地分析了其基本概念，然后结合 图像分割的理论基础，从两条主线展开论文的研究工作。一条主线是深入研究二值 图像、灰度图像的形态学分析算法，在此基础上，将数学形态学扩展到彩色图像中， 进行彩色形态边缘检测和彩色形态滤波；另一条主线是分别讨论了基于边缘和基于 区域的形态学分割算法，进行了全方位、多尺度的图像边缘检测和基于图像森林化 变换( i m a g ef o r e s t i n gt r a n s f o r m ) 的分水岭变换，并将上述研究的算法应用于各种类 型的医学图像中。 围绕上述研究目标，全文共分为七章，其主要内容和安排如下： 第一章，绪论，简要介绍了论文的研究背景和意义，介绍了数学形态学的发展 状况，阐述了图像分割的意义，概述了医学图像处理的基本概念及本论文的研究内 容和章节安排。 第二章，系统论述了数学形态学的基本理论，并用图形和图像的形式具体形象 地表现了二值形态学、灰度形态学、彩色形态学的基本运算过程和结果，为后续章 节的讨论做准备。 第三章，详细介绍了图像分割的基本概念，简要概括了经典和现代的图像分割 方法，为后续的工作打下基础。 第四章，从基于边缘的图像分割入手，研究了形态学在图像边缘检测上的优势， 定义了全方位、多尺度的形态学结构元素，通过形态运算的加权组合，构造了全方 位、多尺度形态学的边缘检测方法。针对无噪声、有噪声的静态灰度图像进行实验， 并和其它的边缘检测算法进行分析比较。 第五章，将数学形态学应用于彩色图像中，进行边缘检测和形态滤波。首先， 在彩色图像的边缘检测中，利用动态卜l 变换将r g b 彩色空间转换到i i i z i 。空间，再 对不同的彩色空间进行全方位形态边缘提取，得到的彩色图像比传统的方法在抑制 噪声、色彩变异等方面有较大的改善。其次，根据人眼对r g b 三基色视敏度不同 的特点，对彩色图像在r g b 彩色空间里进行多尺度形态滤波，并和其它滤波器从 主观评价和客观评价两个方面进行比较，得出比较满意的结果。 第六章，从基于区域的图像分割入手，对分水岭算法进行了深入分析。将图的 概念应用于图像分割的研究中，把边界发现问题归结为图中的最短路径问题，引入 了i f t ( i m a g ef o r e s t i n g t r a n s f o r m ) 的概念，介绍了一种基于i f t 的分水岭分割算法。 来鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 分析了图像预处理中平滑滤波、梯度阈值在分割中的作用，并结合标准测试图像进 行实验，结果表明该方法明显地改善了分割效果。 第七章，结束语，对本论文进行总结，对下一步研究进行展望。 本文得到了江苏省计算机信息处理技术重点实验室开放课题一一基于内容的 d i c o m3 0 图像检索的研究和实现( k j s 0 1 0 2 3 ) 、扬州大学科研基金项目一基于颜 色的图像检索技术( u 0 2 1 1 0 9 7 ) 和扬州大学信息工程学院研究生创新项目一一基于 数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用( 信息工程学院 2 0 0 4 3 4 号文件) 的资助。 扬州大学硕士学位论文 2 数学形态学基本理论 2 1 引言 从科学的角度来说，形态学指的是形状和结构的科学。在图像处理中，形态学 是分析图像中内在几何结构的方法。通过使用一定形状和尺寸的结构元素，形态学 运算可以把图像中形状和尺寸与结构元素相似的几何特征保留下来，把其余的特征 滤除。从应用的角度来说，形态学运算可以用于许多方面“，包括边缘检测“”“， 图像分割“”“”“”，图像增强。”等等。 本章的主要内容是对本文所涉及的主要理论一数学形态学进行介绍，首先从 二值形态学入手，接着研究灰值形态学算法，最后延伸到彩色形态学中。由于数学 形态学理论是建立在严格数学理论上的学科，而且专著中的论述大都是在严格的集 合理论的意义给出的，符号很多，不易理解。本着简明、直观、形象的原则，本章 给出数学形态学算法的基本概念以及实现方法，其中省略形态学中纯理论的部分。 2 2 二值形态学 二值图像是指那些灰度值只取两个可能值的图像，这两个灰度值通常取为0 和 1 。习惯上认为取值1 的点对应于景物中的点，取值为0 的点构成背景。它的各种形 态学处理算法都是以膨胀( d i l a t i o n ) ，腐蚀( e r o s i o n ) 这两种最基本的运算为基础的。鉴 于基本运算在形态学处理中的重要性，下面对它们的定义及实现方法分别进行介绍。 一般设集合a 为图像集合，集合b 为结构元素，数学形态学运算是用b 对a 进行 操作。 2 2 1 二值腐蚀 集合a 被集合b 腐蚀，表示为a o b ，其定义为 a o b = x ：b + x c a ( 2 1 ) 其中a 称为输入图像，b 为结构元素。a b 由将b 平移x 仍包含在a 内的所 有点x 组成。如果将b 看作模板，那么a o b 则由在将模板平移的过程中，所有可 以填入a 内部的模板的原点组成，如图2 一l 所示。 宋鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 9 图2 - 1 腐蚀示意图 2 2 2 二值膨胀 膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。我们以a 。表示 集合a 的补集，b 表示b 关于坐标原点的反射。那么，集合a 被集合b 膨胀，表 示为a o b ，其定义为： a 。b = a c o b 。 6 c z 园 为了利用结构元素b 膨胀集合a ，可将b 相对原点旋转1 8 0 。得到b ，再利用b 对a 。 进行腐蚀。腐蚀结果的补集，便是所求的结果，如图2 - 2 所示。 图2 - 2 膨胀示意图 膨胀和腐蚀这两种运算是紧密联系在一起的，一个运算对图像目标的操作相当 于另一个运算对图像背景的操作，其对偶性可表示为 f a e b ) 。= a 。o b ( 2 3 ) 扬州大学硕士学位论文 ( a o b o i a oo b ( 2 4 ) 由以上公式和图示可以得出腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是利用结构 元素对图像补集进行填充，因而它是对图像外部作滤波处理。腐蚀具有收缩图像的 作用，膨胀具有扩大图像的作用。 2 2 3 二值开运算 在形态学图像处理中，除了腐蚀和膨胀这两种基本运算之外，还有两种二次运 算起着非常重要的作用，即开运算及其对偶运算一闭运算。从结构元素填充的角 度看，它具有更为直观的几何形式。 假设a 仍为输入图像，b 为结构元素，利用b 对a 作开运算，用符号a 。b 表 示，其定义为： a 。b = ( a o b ) o b ( 2 5 ) 或 a o b = u b + x ：b + x c a ( 2 6 ) 开运算还可以用其它符号来表示，如o ( a ，b ) ，o p e n ( a ，b ) 等，在本文中我们用 o ( a ，b ) 来表示。开运算实际上是a 先被b 腐蚀，然后再被b 膨胀的结果。也可以 理解为，开运算可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平移的并集求得。 当结构元素b 扫过整个图像集合内部，那些使结构元素b 的任何像素不越出图像a 边界的图像a 的像素点的集合，就是ao b 。 通常的例子是用圆盘对矩形作开运算，通过前面对腐蚀和膨胀运算的描述，我 们不难得到开运算的结果，如图2 3 所示。 图2 - 3 利用圆盘作开运算 从图2 3 我们可以看出开运算的两个作用：一是利用圆盘作开运算起到磨光内 边缘的作用，即可以使图像的尖角转化为背景；二是圆盘的圆化作用可以起到低通 滤波的效果。 柬鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 2 2 4 二值闭运算 闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。用符号a b 表示， 其定义为： 厂v 、” a b = la o b i o b( 2 7 ) l 或a b = a 。b r ( 2 8 ) 闭运算还可以用其它符号来表示，如c ( a ，b ) ，c l o s e ( a , b ) 等，在本文中我们用 c ( a 。b ) 来表示。上式可以看出：对图像a 用结构元素b 作闭运算可得到一个集合， 该集合中包含所有这样的点工，工被一个平移的镜像结构元素覆盖的同时，平移的镜 像结构元素与a 图像必有一些公共点。由此看出，初始图像a 是包含在闭运算后的 a b 中，即闭运算是具有延伸性的运算。图2 4 描述了闭运算的过程及结果。 a n 舍 图2 - 4 利用圆盘作闭运算 显然，闭运算对图像的外部作滤波，仅仅磨光了图像内部的尖角。 开闭运算也互为对偶运算，开运算具有磨光图像外边界的作用，闭运算具有磨 光图像内边界的作用。 2 3 灰值形态学 在灰度图像形态处理中，输入和输出的图像都是灰度级形式的，这意味着输入 和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之问。 2 3 1 灰值腐蚀 由于腐蚀和膨胀满足许多代数运算规则，因而，对于这两种运算，同样也存在 许多等价的定义方法。前面曾指出形态学源于填充的概念，而灰值形态学处理的对 象是信号( 图像) 波形的拓扑特性，因此，与二值运算相同，我们可利用填充概念 直接定义灰值运算。 利用结构元素g ( 也是一个信号) 对信号厂的腐蚀定义为： 1 2 扬州大学硕士学位论文 略x x ) = m a x y ：g ，十_ y 可表示信号g 在，上方。 灰值膨胀可按下面的步骤完成：对结构元素g 的定义域d e g 中的每一个点x 将 信号厂平移x ，然后，再对每次平移信号的值加上g ，这样对于结构元素定义域中 的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。 图2 - 6 描述了灰值膨胀运算的过程及结果。 ( a ) f 为灰值信号( b ) g 为结构元素 ( c ) 灰值膨胀过程( d ) 灰值膨胀结果 图2 - 6 灰值膨胀运算 2 3 3 灰值开运算 具备了腐蚀和膨胀这两种初级灰值形态学运算，我们便可以定义二级运算 灰值开和灰值闭运算。与二值情况相同，这两种运算为对偶运算，并且两者都可用 填充概念来说明。 灰值开运算可以参照二值情况来定义，即先作腐蚀再作膨胀的迭代运算： f 。g = ( ， 譬) o g ( 2 1 1 ) 图2 7 描述了灰值开运算的过程及结果。 1 4 扬州大学硕士学位论文 ( a ) 厂为灰值信号( b ) g 为结构元素 ( c ) 灰值腐蚀结果( d ) 灰值先腐蚀后膨胀的结果 图2 7 灰值开运算 2 3 4 灰值闭运算 根据对偶性定义，灰值闭运算定义为： f g = ( ，o g ) o g ( 2 1 2 ) 图2 8 描述了灰值闭运算的过程及结果。 妇 ( a ) f 为灰值信号 ( b ) g 为结构元素 ( c ) 灰值膨胀结果( d ) 灰值先膨胀后腐蚀的结果 图2 8 灰值闭运算 n h g _ 一 r - _ t _ 一 d j，一 臣 g _ + f r b 1h 宋鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 1 5 从图2 - 7 、图2 8 可以看出，灰值开运算具有非扩展性，即滤波结果总位于原 始图像的下方。它从图像的下方磨光图像灰值表面向上突出的尖蜂( 即波峰) 。灰值 闭运算具有扩展性，即滤波结果总位于原始图像的上方。它从图像的上方磨光图像 灰值表面向下突出的尖峰( 即波谷) 。 我们用细胞组织图像作了灰值腐蚀、膨胀、开、闭等操作，如下图2 9 所示。 细胞组织图像灰值膨胀灰值腐蚀 灰值开运算灰值闭运算 图2 - 9 细胞组织图像的灰值形态运算 2 3 5 灰值形态学梯度 在边缘检测图像处理中有多种梯度，其边缘检测的基本原理都基于下面的考虑： 如果在某一点出现的梯度值大，则表示在该点处图像的明暗变化迅速，从而可能有 边缘通过。在形态学图像处理中也提出了几种梯度，本文只讨论其中的一种，称为 形态学梯度，其定义为： g r a d ( f ) = ( ，0 9 ) 一( 舟g ) ( 2 1 3 ) 式中，g 为以原点为中心的扁平结构元素，所谓扁平结构元素指的是在其定义域上 取常数的结构元素。因为利用扁平结构元素作腐蚀和膨胀可以得到极大极小滤波器 的效果，故在每一个点，形态学梯度都可以得到由扁平结构元素所确定的邻域上的 极大值和极小值的差值。 在经典的数字图像处理中，差分梯度往往与阈值技术相结合，用于检测图像的 边缘。与差分梯度的情况相同，形态学梯度也可与闽值结合使用，完成边缘检测。 图2 1 0 为形态学梯度算法检测到的脑部核磁共振图片的边缘图像。 扬州大学硕士学位论文 ( a ) 原始图像( b ) 形态学梯度 图2 1 0 核磁共振i 封像的形态学梯度 2 3 6 高帽变换( t o p h a t ) 和低帽变换( b o t - h a t ) 从一幅原始图像中减去对其作开运算后得到的图像，可以得到一些重要的标记 点，在灰值图像分析中，这种方法对在较亮的背景中求暗的像素聚集体，或在较暗 的背景中求亮的像素聚集体非常有效。这种方法还可以用于检测噪声污染图像中的 边缘。 t o p h a t 变换算子定义为： h a t ( f ) = f 一( ，o g ) ( 2 1 4 ) b o t - h a t 变换算子定义为： b o t ( f ) = ( 厂g ) 一厂 ( 2 1 5 ) 其中，为图像，g 为结构元素。 我们可以利用t o p h a t 变换求出图像中的峰值，而利用b o t - h a t 变换求出图像 中的谷值。图2 - 1 1 、2 - 1 2 说明了t o p h a t 变换和b o t - h a t 变换的作用。 ( a ) h o u s e 测试图像 ( b ) t o p - h a t 变换 图2 1 1t o p - h a t 变换检测图像峰值 宋鸣：基于数学形态学的图像分割及其在医学图像中的应用 1 7 ( a ) h o u s e 测试图像 ( b ) b o t - h a t 变抉 圈2 1 2b o t - h a t 变换检测图像谷值 2 4 彩色形态学 对于二值图像和灰度图像，数学形态学是一种具有严密理论的非线性几何滤波 方法，但从灰度图像向彩色图像