第1章习题解答.pdf

第 1 章 习题 第 1 章 习题 1 1 试画出正弦序列 16 sin 5 n 的波形 它是不是一个周期序列 若是 其周期长度是 多少 012345678910 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 n x n 分析 根据周期性 序列可以分为周期性序列和非 周期序列 本题属于序列周期性的判断问题 大部分处 理的实际信号为非周期信号 经过分解或变换后 非周 期信号往往可以表示为不同周期信号的线性组合 可见 对周期性信号的研究是很重要的 对于正弦序列 0 sin n 的周期性可以通过以下 的方法判别 如果 0 2 T 为整数 则序列的周期为该 整数 如果 T 为真分数 P Q 则周期为 P 否则如果 T 为 无理数 则序列为非周期序列 解 1 画出波形 将 n 2 1 0 1 2 带入 16 sin 5 n 如图 1 3 所示 可知该序列 是周期为 5 的序列 2 本题 0 16 5 则 0 2 5 8 T 周期为 5 事实上 周期长度 N 应保证 16 sin 5 nN 16 sin 5 n 令 n 0 则 16 sin 0 5 N 使上述方程成立的最小非零整 数 N 为 5 也可以用以下方法证明该序列的周期是 5 设 16 sin 5 n 为周期序列 周期为N1 则 116 sin 5 nN sin 16 sin 5 n 即 116 16 sin 55 nN 16 sin 5 n 为满足上式 应有 116 5 N 2 m 为整数 m 则N1 m 8 5 当m取 8 时 该波形有最小周期长度 5 1 3 试画出如下序列的波形 1 x n 3 n 3 n 2 2 n 1 4 n 1 2 n 2 3 n 3 2 x n 0 5nR10 n 分析 分析 可以根据序列的表达式直接画出波形 也可用 MATLAB 描述波形 更加方便 准确 解 解 序列波形如图所示 1 a 波形 1 b 波形 2 序列波形 1 4 令 x n 和 j e X 表示一个序列及其 DTFT 并且 x n 为实因果序列 利用求下面 各序列的 DTFT j eX 1 x n 新 2 nx n 新 3 x 2n 分析 本题对 x n 进行适当变换后 再求其 DTFT 第一步仍然是利用序列的 DTFT 公式 后 面需要利用一些有用的性质 如共轭性质 微分性质 尺度变换性质 得出最终结果 解 1 DTFT x n jj j e e e nn nn x nx nX 2 DTFT n x n jj j 1ded e j j dd n n nn X nx nx n e 3 DTFT x 2n jj 2 e e nn n n xnx n 2 偶数 j 2 1 1 e 2 nn n x nx n j 2j 2 11 e e 22 nn nn x nx n jj j 222 111 e e e e 222 XXXX j 2 1 6 利用 z 变换的性质 求以下序列的 z 变换 0 212 0 nnN x nNnNn n 其他 N nuna n 2 nuan n 解 1 2 22 0101 1 1 111 2 1 1 2 2 1 1 1 2 111 1 0 1 NNNNN nnnn nn Nnn Nn N NNNN N dd 2 1 n X znzNn zzzNzzz dzdz dzzzdz zNz dzzzdzz z zz z 1 1 00 21 1 21 2 1 1 1 1 nnn nn dd X zna zzazz dzdzaz azaz zz azaz a 利用 z 变换的性质 dX x Z nx nz dz 现在令 1 XxZ nx n 则 22 1 0 22 2 22 nn n dXxddX x Z n x nzn a zzz dzdzdz dX xd X xdX xd X x zzzz dzdzdzdz za 现x n anu n 1 1 1 X xz az a 则 2 2 121 2 31212 2 2 24 11 111 2321 111 11 11 212 1 11 22 1 1 111 n dd Z n a u nzz dzazdzaz azazazazaz az zz azaz azazaz za az azazaz 1 8 以下函数的逆 z 变换 2z5 0 5 01 5 01 5 1 y1 n x2 n y2 n 而 ax1 n bx2 n 2 ax1 n bx2 n 5 a 2x1 n 5 b x2 n 5 5 a 5b 5 ay1 n by2 n 5 a 5b 5 ay1 n by2 n 所以不是线性系统 简单地看 系统不满足尺度性质 因为 T ax n 2ax n 5 而 aT x n 2ax n 5 可 见 T ax n aT x n 该系统不是线性系统 又因为 T x n k 2x n k 5 y n k 所以该系统是时不变系统 2 因为 T ax n a a T x n n m max n m mx 且T ax1 n bx2 n a b a T x n m mx 1 n m mx 2 1 n b T x2 n ay1 n by2 n 所 以该系统是线性系统 又因为 T x n k y n k 所以该系统是时不变系统 kn m mx 1 12 试用直接计算法求下面两个序列的线性卷积y n x1 n x2 n 并画出卷积过程图 5 0 1 nunx n 52 nRnx 解 2 125 0 5 k kk y nx k x n ku k R nk 得 44 20 5 0 5 n n y n y n 2 0 5 5 40 n n 1 14 确定下列系统的因果性与稳定性 y n g n x n g n 有界 0 nnxny 4 1 nu n nh 解 1 系统的因果性取决于 g n 的因果性 该系统为非线性系统 输出 y n 是输入 x n 与系 统响应 g n 的乘积 由于 g n 有界 所以 g n M M 为一个有限的正数 y n g n x n M x n 因而系统是稳定的 设 ng M1 当x n 为有界输入时 即 nx M2 则 ny ng nx M1 M2 所 以该系统是稳定的 任取一时刻n0 则y n0 g n0 x n0 系统的输出只取决于此刻的输入 所以该系统是因果的 3 如果n0 0 则系统是因果的 否则系统是非因果的 y n 取决于x n n0 系统是稳定 的 若 x n 有界 则 y n 有界 所以该系统是稳定的 5 由于有 h n 0 n 0 根据系统是因果的充要条件 可以判断该系统是因果的 由于 有界 根据系统是稳定的充要条件 可以判断该系统是稳定的 enh n 1 17 分