第1章 高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解.doc

必修必修 1 集合和函数基础知识集合和函数基础知识 1 1 1 1 1 1 集合集合集合 学习目标 通过实例 了解集合的含义 体会元素与集合的 属于 关系 能选择自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 感受集合语言的意义和作用 掌握集合的表示方法 常用数 集及其记法 集合元素的三个特征 一 集合的有关概念 定义 一般地 我们把研究对象统称为元素元素 一些元素组成的总体叫集合 集合 也简称集集 2 表示方法 集合 集合通常用大括号 或大写的拉丁字母 A B C 表示 而元素元素用小写的拉丁字母 a b c 表示 3 集合相等 构成两个集合的元素完全一样 4 元素与集合的关系 元素与集合的关系有 属于 及 不属于两种 若 a 是集合 A 中的元素 则称 a 属于集合 A 记作 aA 若 a 不是集合 A 的元素 则称 a 不属于集合 A 记作 aA 5 常用的数集及记法 非负整数集非负整数集 或自然数集 记作 N 正整数集正整数集 记作 N 或 N N 内排除 0 的集 整数集整数集 记作 Z 有理数集有理数集 记作 Q 实数集实数集 记作 R 6 关于集合的元素的特征 确定性 确定性 给定一个集合 那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 如 地球上的四大洋 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 中国古代四大发明 造纸 印刷 火药 指南针 可以构成集合 其元素具有确定性 而 比较大 的数 平面点 P 周围的点 一般不构成集合 因为组成它的元素是不确定的 互异性 互异性 一个集合中的元素是互不相同的 即集合中的元素是不重复出现的 如 方程 x 2 x 1 2 0 的解集表示为1 2 而不是1 1 2 无序性 无序性 即集合中的元素无顺序 可以任意排列 调换 7 元素与集合的关系 元素与集合的关系有 属于 及 不属于 两种 若a是集合 A 中的元素 则称a属于集合 A 记作aA 若a不是集合 A 的元素 则称a不属于集合 A 记作aA 例如 我们 A 表示 1 20 以内的所有质数 组成的集合 则有 3 A 4A 等等 练 练 A 2 4 8 16 则 一 集合的表示方法一 集合的表示方法 列举法 列举法 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号 括起来表示集合的方法叫列举法 如 1 2 3 4 5 x2 3x 2 5y3 x x2 y2 说明 说明 书写时 元素与元素之间用逗号分开 一般不必考虑元素之间的顺序 集合中的元素可以为数 点 代数式等 列举法可表示有限集 也可以表示无限集 含有较多元素的集合 列举法表示时 把元素间的规律显示清楚后用省略号 正整数 N 1 2 3 4 5 描述法 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 称为描述法 方法方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线 集合和函数基础知识 2 后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一般格式一般格式 xA p x 如 x x 3 2 x y y x2 1 x 直角三角形 说明说明 描述法表示集合应注意集合的代表元素代表元素 如 x y y x2 3x 2 与 y y x2 3x 2 是不同的两个集合 只要不引起误解 集合的代表元素也可省略 例如 整数 即代表整数集 Z 辨析辨析 这里的 已包含 所有 的意思 所以不必写 全体整数 写法 实数集 R 也是错误的 用符号描述法表示集合时应注意 用符号描述法表示集合时应注意 弄清元素所具有的形式 即代表元素是什么 是数还是点 还是集合 还是其他形式 元素具有怎么的属性 当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时 要去伪存真 而不能被表面的 字母形式所迷惑 二 集合的分类二 集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1 4 8 7 3 3 1 9 2 xR 0 x3 B x x 6 则 A B 2 交集定义 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 叫作集合 A B 的交集 intersection set 记作 记作 A B 读作 读作 A 交 B 即 A B x x A 且 x B VennVenn 图表示 图表示 常见的五种交集的情况 题型一题型一 并集与交集的运算 例 1 设 A x 1 x 2 B x 1 x 2 B x x 3 求 A B 例例 3 3 已知集合已知集合 A A y y y x2 2x 3 x R B B y y y x2 2x 13 13 x R 求 求 A B A B 集合的基本运算集合的基本运算 思考 1 U 全班同学 A 全班参加足球队的同学 A B A B A B BA B A 阴影部分即为 A 与 B 的交集 23 1123 集合和函数基础知识 4 B 全班没有参加足球队的同学 则 U A B 有何关系 集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下来的集合 一 一 全集 补集概念及性质 全集 补集概念及性质 全集的定义全集的定义 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素 那么 就称这个集合为全集 记作记作 U 是相对于所研究问题而言的一个相对概念 补集的定义补集的定义 对于一个集合 A 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 叫作集 合 A 相对于全集 U 的补集 记作 记作 读作 读作 A 在 U 中的补集 即 U C A U C Ax xUxA 且 VennVenn 图表示 图表示 阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集 说明 补集的概念必须要有全集的限制 讨论 集合 A 与之间有什么关系 借助 Venn 图分析 U C A UUUU AC AAC AUCC AA UU C UCU 函数的概念函数的概念 学习目标 通过丰富实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 在此基础上学习 用集合与对应的语言来刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念中的作用 了解构成函数的要素 会求一些简单 函数的定义域和值域 知识要点 1 设A B是非空的数集 如果按某个确定的对应关系 使对于集合A中的任意一个数 在集合B中都fx 有唯一确定的数和它对应 那么就称 A B为从集合A到集合B的一个函数 function 记作 yfy f x 其中 x叫自变量 x的取值范围A叫作定义域 domain 与x的值对应的y值叫函数值 函数值的集合xA 叫值域 range f xxA 2 设a b是两个实数 且a b 则 x a x b a b 叫闭区间 x a x b a b 叫开区间 x a x b x a x b 都叫半开半闭区间 a b a b 符号 读 无穷大 读 负无穷大 读 正无穷大 则 x xaa x xaa x xbb x xbb R 3 决定函数的三个要素是定义域 值域和对应法则 当且仅当函数定义域 对应法则分别相同时 函数才是 同一函数 例题精讲 例 1 求下列函数的定义域 1 2 1 21 y x 3 3 12 x y x 例 2 求下列函数的定义域与值域 1 2 32 54 x y x 2 2yxx 例 3 已知函数 求 1 的值 2 的表达式 1 1 x fx x 2 f f x 例 4 已知函数 2 2 1 x f xxR x 1 求的值 2 计算 1 f xf x 111 1 2 3 4 234 fffffff 第第 6 6 讲讲 函数的表示法函数的表示法 A A U U C CU UA A 集合和函数基础知识 5 学习目标 在实际情境中 会根据不同的需要选择恰当的方法 图象法 列表法 解析法 表示函数 通 过具体实例 了解简单的分段函数 并能简单应用 了解映射的概念 知识要点 1 函数有三种表示方法 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点 简明 给自变量可求 函数值 图象法 用图象表示两个变量的对应关系 优点 直观形象 反应变化趋势 列表法 列出表格表示 两个变量之间的对应关系 优点 不需计算就可看出函数值 2 分段函数的表示法与意义 一个函数 不同范围的x 对应法则不同 3 一般地 设A B是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则f 使对于集合A中的任意一个元素 x 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射 fAB mapping 记作 fAB 判别一个对应是否映射的关键 A中任意 B中唯一 对应法则f 例题精讲 例 1 如图 有一块边长为a的正方形铁皮 将其四个角各截去一个边长为x的小正 方形 然后折成一个无盖的盒子 写出体积V以x为自变量的函数式是 这个函数的 定义域为 例 2 已知f x 求f f 0 的值 33 33 22xx xx 1 1 x x 例 3 画出下列函数的图象 1 2 yx 2 1 24 yxx 解解 点评点评 含有绝对值的函数式 可以采用分零点讨论去绝对值的方法 将函数式化为分段函数 然后根据定义 域的分段情况 选择相应的解析式作出函数图象 例 4 函数的函数值表示不超过x的最大整数 例如 f xx 3 5 4 当时 写出的解析式 并作出函数的图象 2 1 2 2 5 3 x f x 解解 函数图象如右 3 2 52 2 21 1 10 0 01 1 12 2 23 3 3 x x x f xx x x x 点评点评 解题关键是理解符号的概念 抓住分段函数的对应函数式 m 集合和函数基础知识 6 第第 7 7 讲讲 函数的单调性函数的单调性 学习目标 通过已学过的函数特别是二次函数 理解函数的单调性及其几何意义 学会运用函数图像理解 和研究函数的性质 理解增区间 减区间等概念 掌握增 减 函数的证明和判别 知识要点 1 增函数 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某 个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那 么就说f x 在区间D上是增函数 increasing function 仿照增函数 的定义可定义减函数 2 如果函数f x 在某个区间D上是增函数或减函数 就说f x 在这 一区间上具有 严格的 单调性 区间D叫f x 的单调区间 在单调区间 上 增函数的图象是从左向右是上升的 如右图 1 减函数的图象从左向 右是下降的 如右图 2 由此 可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势 得到函数的单调区间及单调性 3 判断单调性的步骤 设x x 给定区间 且x x 计算f x f x 判断符号 下结论 121212 例题精讲 例 1 试用函数单调性的定义判断函数在区间 0 1 上的单调性 2 1 x f x x 解解 任取 0 1 且 则 12 x x 12 xx 1221 12 1212 222 11 1 1 xxxx f xf x xxxx 由于 故 即 12 01xx 1 10 x 2 10 x 21 0 xx 12 0f xf x 12 f xf x 所以 函数在 0 1 上是减函数 2 1 x f x x 例 2 求二次函数的单调区间及单调性 2 0 f xaxbxc a 解解 设任意 且 则 12 x xR 12 xx 22 121122 f xf xaxbxcaxbxc 22 1212 a xxb xx 1212 xxa xxb 若 当时 有 即 从而 即0a 12 2 b xx a 12 0 xx 12 b xx a 12 0a xxb 12 0f xf x 所以在上单调递增 同理可得在上单调递减 12 f xf x f x 2 b a f x 2 b a 例 3 求下列函数的单调区间 1 2 1 24 yxx 2 2 3yxx 解解 1 33 1 1 24 5 21 33 2 xx yxxxx xx 由图可知 函数在上是增函数 在上是减函数 2 2 2 2 2 2 23 0 2 3 23 0 xxx yxx xxx 由图可知 函数在 上是增函数 在 上是减函数 1 0 1 1 0 1 点评点评 函数式中含有绝对值 可以采用分零点讨论去绝对值的方法 将函数式化为分段函数 第 2 小题也可 以由偶函数的对称性 先作y轴右侧的图象 并把y轴右侧的图象对折到左侧 得到的图象 由图象研究 fx 单调性 关键在于正确作出函数图象 例 4 已知 指出的单调区间 31 2 x f x x f x 解解 3 2 55 3 22 x f x xx 把的图象沿x轴方向向左平移 2 个单位 再沿y轴向上平移 3 个单位 得 5 g x x 到的图象 如图所示 f x 由图象得在单调递增 在上单调递增 f x 2 2 点评点评 变形后结合平移知识 由平移变换得到一类分式函数的图象 需知平移变换规律 f xab 集合和函数基础知识 7 第第 8 8 讲讲 函数最大 小 值函数最大 小 值 学习目标 通过已学过的函数特别是二次函数 理解函数的最大 小 值及其几何意义 学会运用函数图 像理解和研究函数的性质 能利用单调性求函数的最大 小 值 知识要点 1 定义最大值 设函数的定义域为I I 如果存在实数M满足 对于任意的x I I 都有 M 存 yf x f x 在x0 I I 使得 M 那么 称M是函数的最大值 Maximum Value 仿照最大值定义 可以给出 0 f x yf x 最小值 Minimum Value 的定义 2 配方法 研究二次函数的最大 小 值 先配方成后 当 2 0 yaxbxc a 2 2 4 24 bacb ya x aa 时 函数取最小值为 当时 函数取最大值 0a 2 4 4 acb a 0a 2 4 4 acb a 3 单调法 一些函数的单调性 比较容易观察出来 或者可以先证明出函数的单调性 再利用函数的单调性 求函数的最大值或最小值 4 图象法 先作出其函数图象后 然后观察图象得到函数的最大值或最小值 例题精讲 例 1 求函数的最大值 2 6 1 y xx 例 2 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时 每天可售出 100 件 现在他采用提高售出 价 减少进货量的办法增加利润 已知这种商品每件提价 1 元 其销售量就要减少 10 件 问他将售出价定为多少 元时 才能使每天所赚得的利润最大 并求出最大利润 例 3 求函数的最小值 21yxx 点评点评 形如的函数最大值或最小值 可以用单调性法研究 也可以用换元法研究 yaxbcxd 另解 用换元法 例 4 求下列函数的最大值和最小值 1 2 2 5 3 32 2 2 yxxx 1 2 yxx 1 1 配方 配方 2 分段 点评点评 二次函数在闭区间上的最大值或最小值 常根据闭区间与对称轴的关系 结合图象进行分析 含绝对 值的函数 常分零点讨论去绝对值 转化为分段函数进行研究 分段函数的图象注意分段作出 集合和函数基础知识 8 第第 9 9 讲讲 函数的奇偶性函数的奇偶性 学习目标 结合具体函数 了解奇偶性的含义 学会运用函数图像理解和研究函数的性质 理解奇函数 偶函数的几何意义 能熟练判别函数的奇偶性 知识要点 1 定义 一般地 对于函数定义域内的任意一个x 都有 那么函数叫偶函数 even f x fxf x f x function 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有 那么函数叫奇函数 odd fxf x f x function 2 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称 奇函数的图象关于原点中心对称 偶函数图象关于y轴轴对称 3 判别方法 先考察定义域是否关于原点对称 再用比较法 计算和差 比商法等判别与的关系 fx f x 例题精讲 例 1 判别下列函数的奇偶性 1 2 3 3 1 f xx x 1 1 f xxx 23 f xxx 解解 1 原函数定义域为 对于定义域的每一个x 都有 0 x x 所以为奇函数 33 11 fxxxf x xx 2 3 例 2 已知是奇函数 是偶函数 且 求 f x g x 1 1 f xg x x f x g x 解解 是奇函数 是偶函数 f x g x fxf x gxg x 则 即 1 1 1 1 f xg x x fxgx x 1 1 1 1 f xg x x f xg x x 两式相减 解得 两式相加 解得 2 1 x f x x 2 1 1 g x x 例 3 已知是偶函数 时 求时的解析式 f x0 x 2 24f xxx 0 x f x 点评点评 此题中的函数实质就是 注意两抛物线形状一致 则二次项系数a的绝对值相同 此 2 24 yxx 类问题 我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求 过程如下 例 4 设函数是定义在R上的奇函数 且在区间上是减函数 实数a满足不等式 f x 0 求实数a的取值范围 22 33 32 faafaa 解解 在区间上是减函数 的图象在y轴左侧递减 f x 0 f x 又 是奇函数 f x 的图象关于原点中心对称 则在y轴右侧同样递减 f x 又 解得 所以的图象在R上递减 0 0 ff 0 0f f x 22 33 32 faafaa 解得 22 3332aaaa 1a 点评点评 定义在R上的奇函数的图象一定经过原点 由图象对称性可以得到 奇函数在关于原点对称区间上单 调性一致 偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反 集合和函数基础知识 9 第第 1010 讲讲 集合与函数概念集合与函数概念 复习复习 复习目标 强化对集合与集合关系题目的训练 理解集合中代表元素的真正意义 注意利用几何直观性研 究问题 注意运用文氏图解题方法的训练 加强两种集合表示方法转换和化简训练 深刻理解函数的有关概念 掌 握对应法则 图象等有关性质 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念 并掌握基本的判定方法和步骤 并会运 用 例题精讲 例 1 已知a b为常数 若 则 22 43 1024f xxxf axbxx 5ab 解解 由 则 2 43f xxx 22 4 31024f axbaxbaxbxx 整理得 2222 24431024a xabxbaxbxx 比较系数得 2 2 1 2410 4324 a aba bb 解得 或1 7ab 1 3ab 例 2 已知是偶函数 而且在上是减函数 判断在上是增函数还是减函数 并加以 f x 0 f x 0 证明 例 3 集合 若 求实数m的取值范围 17 Axx 231 Bxmxm ABB 解解 由 得 ABB BA 当时 有 解得 B 231mm 1 4 m 当时 如右图数轴所示 则B 解得 231 21 317 mm m m 1 2 4 m 综上可知 实数m的取值范围为 2m 点评点评 已知两个含参集合的关系或者运算结果时 可以结合数轴分析区间端点的位置情况 列出相关不等式 后求解参数范围 注意当时 不能忽视的情况 BA B 经典例题经典例题 例 1 已知全集UR 则正确表示集合 1 0 1 M 和 2 0Nx xx 关系的韦恩 Venn 图是 例 2 已知集合为实数 且实数 且 的元 Ax yx y 22 1 xy Bx yx y 为 AByx 则 素个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 1 2 m 3m 1 7 x 集合和函数基础知识 10 例 3 设集合 A 1 2 xxaxRBxxbxR 若 A B 则实数 a b 必满足 A 3ab B 3ab C 3ab D 3ab 例 4 已知全集UR 集合 212 Mxx 和 21 1 2 Nx xkk 的关系的韦恩 Venn 图如图所示 则阴影部分所示的集合的元素共有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 无穷多个 例 5 设集合 Ax x a 1 xR 15 ABBxxxR 若 则实数 a 的取值范围是 A a 0a6 B 2 a a 或a4 C 0 6a a 或a D 24aa 例 6 已知集合 则 1 3 1 AmBmABA m A 0 或 B 0 或 3 C 1 或 D 1 或 333 例 7 设集合 2 5 4210 Sx xTx xx 则ST A 75xx B 35xx C 53xx D 75xx 例 8 若 Un n 是小于 9 的正整数 AnU n 是奇数 BnU n 是 3 的倍数 则 U AB 例 9 已知集合 2 3 AxR x 集合 2 0 BxR xm x 且 1 ABn 则 m n 例 10 某班共 30 人 其中 15 人喜爱篮球运动 10 人喜爱兵乓球运动 8 人对这两项运动都不喜爱 则喜爱篮 球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 课堂练习 1 设全集 集合 则 U6xNx A1 3B3 5 U AB A B C D 1 4 1 5 2 4 2 5 2 已知集合 P x x2 1 M a 若 P M P 则 a 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 3 已知集合 则 1 2 3 4 5 6 7 U 2 4 5 7 A 3 4 5 B UU C AC B A B C D 1 6 4 5 2 3 4 5 7 1 2 3 6 7 集合和函数基础知识 11 4 设 P x x 4 Q x 2 x 4 则 A pQ B QP C R pQ C D R QP C 5 集合A x 1 x 2 B xx 1 则A B A xx 1 B x 1 x 2 C x 1 x 1 D x 1 x 1 6 已知集合 1 3 5 7 9U 1 5 7A 则 U C A A 1 3B 3 7 9 C 3 5 9 D 3 9 7 已知 A B B 均为集合 U 1 3 5 7 9 的子集 且 A B 3 u B A 9 则 A A 1 3 B 3 7 9 C 3 5 9 D 3 9 8 若集合 A 1x xxR 2 B y yxxR 则AB A 11xx B