福建省莆田四中高二数学下学期期中试题 理 新人教A版.doc

1 莆田四中莆田四中 2012 20132012 2013 学年高二下学期理科数学期中考试卷学年高二下学期理科数学期中考试卷 考试时间 考试时间 120120 分钟分钟 满分 满分 150150 分 分 命题人 翁建新命题人 翁建新 审核人 陈世洪审核人 陈世洪 2013 5 102013 5 10 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 1 已知复数 为z的共轭复数 则下列结论正确的是 1 iz z a b c d 1 iz 1 iz 2z 2z 2 的计算结果是 2 0 1sin x dx a b c d 1 2 1 2 1 2 1 2 3 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目 每个工程队承建 1 项 其中甲工程队不 能承建 1 号子项目 则不同的承建方案共有 a 种 b 种 c 种 d 种 14 44 c c 14 44 c a 4 4 c 4 4 a 4 甲 乙两位同学上课后独立完成 5 道自我检测题 甲及格概率为 5 4 乙及格概率为 5 2 则两人中至少有一人及格的概率为 a b c d 22 25 14 25 12 25 3 25 5 某医疗研究所曾为了检验新开发的流感疫苗对甲型 h1n1 流感的预防作用 把 1000 名注 射了疫苗的人与另外 1000 名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较 提出假设 h0 这种疫苗不能起到预防甲型 h1n1 流感的作用 并计算出 2 6 635 0 01p 则下列说法正确的是 a 这种疫苗能起到预防甲型 h1n1 流感的有效率为 1 b 若某人未使用该疫苗 则他在半年中有 99 的可能性得甲型 h1n1 c 有 1 的把握认为 这种疫苗能起到预防甲型 h1n1 流感的作用 d 有 99 的把握认为 这种疫苗能起到预防甲型 h1n1 流感的作用 6 数学归纳法证明 成立时 从 1 2 21 3 21 n nnnnn n n 到左边需增加的乘积因式是 nk 1nk a b c d 2 21 k 21 1 k k 21k 23 1 k k 7 下列结论正确的个数是 线性回归直线方程必经过点 x y 若随机变量 x 则 5 3 8 b 48 25 d x 线性相关系数r的绝对值越接近于 1 表明两个随机变量线性相关性越强 可导函数在区间上是增函数 是 对恒成立 的 f x a b 0fx xa b 2 充要条件 a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个 8 若 且 则实数 m 的值 626 0126 1 mxaa xa xa x 126 63aaa 为 a 1 b 1 c 3 d 1 或 3 9 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球 有放回地每次摸取一个球 定义数列 如果为数列的前 n 项和 那么的概 n a 1 1 n n a n 第次摸取红球 第次摸取白球 n s n a 7 3s 率为 a b c d 525 7 12 33 c 225 7 21 33 c 525 7 11 33 c 325 7 12 33 c 10 设函数是定义在 r 上的函数 其中的导函数满足 x f x f x e f x fx 对于恒成立 则 fxf x xr a b 22012 2 0 2012 0 fe ffef 22012 2 0 2012 0 fe ffef c d 22012 2 0 2012 0 fe ffef 22012 2 0 2012 0 fe ffef 二 填空题 本大题二 填空题 本大题 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2020 分 把答案填在答题卡相应位置分 把答案填在答题卡相应位置 11 在二项式的展开式中 的系数是 6 2 x 2 x 12 设随机变量 服从正态分布 2 1 0 n 若 01 0 4p 则 2 p 等 于 13 袋中装有 3 个红球和 2 个白球 如果不放回依次抽取两次 记 a 第一次抽到红球 b 第二次抽到红球 求 p b a 14 甲乙两人进行乒乓球比赛 先赢三局者获胜 决出胜负为止 若各人输赢局次的不同 视为不同情形 则甲胜的情形共有 种 数字作答 15 考察等式 其中 0110rrrr mn mmn mmn mn c cc cc cc nm rn 且 某同学用概率论方法证明等式 如下 rmn rnm 设一批产品共有件 其中件是次品 其余为正品 现从中随机取出件产品 nm r 记事件 取到的 r 件产品中恰有 k 件次品 则 k a kr k mn m k r n c c p a c 0 1 2 kr 显然 为互斥事件 且 必然事件 0 a 1 a r a 01r aaa 3 因此 1 p 01 r p ap ap a 0110rrr mn mmn mmn m r n c cc cc c c 所以 即等式 成立 0110rrrr mn mmn mmn mn c cc cc cc 对此 有的同学认为上述证明是正确的 体现了偶然性与必然性的统一 但有的 同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑 现有以下四个判断 等式 成立 等式 不成立 证明正确 证明不正确 试写出所有正确判断的序号 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 个小题 共个小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 证明或演算过程 分 解答应写出文字说明 证明或演算过程 16 本小题满分 13 分 在某公司的开业周年庆典活动中 设有 幸运转盘 如图所示 游戏项目 规定 每位 员工都有且只有一次转盘机会 当指针位于区域 y 所对的圆心角为 的时候 表示参 2 与者获得 幸运大奖 1 求某员工获得 幸运大奖 的概率 2 若某部门的 3 名员工依次参与游戏 记这 3 名员工中获得幸运大奖的员 工人数为 求 的分布列和数学期望 17 本小题满分 13 分 某几何体的三视图和直观图如图所示 111 cbaabc 1 求证 111 cabca平面 2 求二面角的余弦值 cabc 11 18 本小题满分 13 分 国 标准规定 轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过 根据这个标准 检测单80 mg km 位从某出租车公司运营的 a b 两种型号的出租车中分别抽取 5 辆 对其氮氧化物的排放量 进行检测 检测结果记录如下 单位 mg km a8580856090 y 4 b70 x 95 y 75 由于表格被污损 数据看不清 统计员只记得 a b 两种出租车的氮氧化物排放量 x y 的平均值相等 方差也相等 1 求表格中与的值 xy 2 从被检测的 5 辆 b 种型号的出租车中任取 2 辆 记 氮氧化物排放量超过 的车辆数为 求的分布列和数学期望 80 mg km 19 本小题满分 13 分 已知函数 x f xe lng xx 1 若曲线在点处的切线斜率为 0 求函数的 2 h xf xaxex ar 1 1 h h x 单调区间 2 若函数在区间上无极值 求实数的取值范围 1 a f xg xar x 2 0 a 20 本小题满分 14 分 某同学用 几何画板 研究椭圆的性质 打开 几何画板 软件 绘制某椭圆 在椭圆上任意画一个点 s 度量点 s 的坐标 如左 22 1 22 1 xy c ab ss xy 图 1 拖动点 s 发现当时 当时 试求椭圆的方程 2 s x 0 s y 0 s x 1 s y 1 c 2 该同学知圆具有性质 若为圆 o 的弦 ab 的中点 则直线 abe 222 0 xyrr 的斜率与直线 oe 的斜率的乘积为定值 该同学在椭圆上构造两个不同的 ab k oe k aboe kk 点 a b 并构造直线 ab 再构造 ab 的中点 e 经观察得 沿着椭圆 无论怎样拖动点 1 c a b 椭圆也具有此性质 类比圆的这个性质 请写出椭圆的类似性质 并加以证明 1 c 3 拖动点 a b 的过程中 如右图发现当点 a 与点 b 在在第一象限中的同一点时 直 1 c 线 ab 刚好为的切线 若 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 c d 两点 求三角形 ocd 1 cll 面积的最小值 5 21 21 请考生在第 请考生在第 1 1 2 2 3 3 三题中任选二题做答 如果多做 则按所做的第一二题记 三题中任选二题做答 如果多做 则按所做的第一二题记 分分 1 1 7 分 如图 在极坐标系中 圆的圆心坐标为 半径为 c 1 01 求圆的极坐标方程 c 若以极点为原点 极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系 已知直线 的参oxl 数方程为 为参数 试判断直线 与圆的位 1cos 6 sin 6 xt yt tlc 置关系 2 2 7 分 在平面直角坐标系xoy中 曲线 c1的参数方程是 为参 22cos 2sin x y 将 c1的方程化为普通方程 以为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设曲线 c2的极坐标方程是o 求曲线 c1与 c2交点的极坐标 3 r 3 3 7 分 已知极点与原点重合 极轴与 x 轴的正半轴重合 若曲线的极坐标方程为 1 c 直线 的参数方程为 为参数 22 53cos280 3 x1t 2 1 yt 2 t 求曲线的直角坐标方程 1 c 直线 上有一定点 曲线与 交于 m n 两点 求的值 1 0 p 1 c pmpn 莆田四中莆田四中 2012 20132012 2013 第二学期期中考试理科数学考试卷答案第二学期期中考试理科数学考试卷答案 一 一 dcbaddcbad acdbdacdbd 二 二 60 0 1 10 1 2 三 16 解 1 把员工获得幸运大奖的事件记为 a 则有 1 4 p a 4 分 2 由题意 的所有取值为 0 1 2 3 6 03 0 3 1127 0 1 4464 pc 12 1 3 1127 1 1 4464 pc 11 分 21 2 3 119 2 1 4464 pc 30 3 3 111 3 1 4464 pc 故的分布列为 11 分 13 分 2727913 0123 646464644 e 法二 13 分 1 3 4 b 13 3 44 e 17 解法一 由三视图可知 在三棱柱中 111 cbaabc 1111 cbaaa底面 且 1111 cacb 4 1 acaa3 bc 2 分 以点为原点 分别以 所在直线为轴 轴 建立空间直角坐标系 ccacbxy 如图 由已知可得 4 0 0 4 3 0 4 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 4 111 cbacba 4 0 3 0 4 0 4 4 0 4 1111 bcacca 分 11111 4 40 04 4 0 4 00 3 4 00ca c aca c b 11111 bccaacca 又 7 分 1111 cbcac 111 cabca平平 由 得 4 3 0 0 0 4 1 cbca 设平面的法向量为则cab1 zyx n 1 nn cbca 1 0 0 cb ca n n a a 043 04 zy x 令 得平面的一个法向量为 10 分4 ycab1 3 4 0 n 0 1 23 p 27 64 27 64 9 64 1 64 7 由 知 是平面的法向量 11 分 1 ca 11c ab 故二面角的余弦值 1 1 1 123 2 cos 1020 2 ca ca ca n n n 平cabc 11 为 13 分 3 2 10 解法二 由三视图可知 在三棱柱中 111 cbaabc 1111 cbaaa底面 且 2 分 1111 cacb 4 1 acaa3 bc 1111 cbaaa平面 11111111 cbaacbacb 平面 4 分 11111111 acaaacacb 1111 accacb平面 5 分 111 accaca平面 111 cbca 由正方形可得 又 11acc a 11 acca 1111 acbcc 111 cabca平面 7 分 同解法一 18 解 依题意得 ab xx 22 ab ss 又 1 80 85 60 90 80 5 xa 85 1 95 y 75 5 xx b 70 2 1 0 25 400 100 110 5 a s 25 222 1 100 80 225 80 25 5 xy b s 解得或 160 xy 22 160 80 80 200 x y xy 平平平平 70 90 x y 90 70 x y 6 分 由 可得 b 种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为 3 随机变量 0 1 2 9 分 2 2 2 5 c1 2 10c p 11 23 2 5 c c6 1 c10 p 2 3 2 5 c3 0 10c p 故的分布列为 0 12 p 1 10 6 10 3 10 11 分 13 分 1634 210 1010105 e 19 解 1 2 h xf xaxex 2 x eaxex ar 由得 2 分 2 x h xeaxe 1 2kha 02 ak0 a x h xeex x h xee 8 令得 令得 0 x h xee 1 x 0 x h xee 1 x 故的增区间为 减区间为 6 分 h x 1 1 2 7 分 1 a f xg x x 1ln a x x 0 x 22 1 aax f x xxx 当时 在区间上恒成立 即函数在区间上0 a 2 0 2 0 ax f x x f x 2 0 单调递减 故函数在区间上无极值 f x 2 0 9 分 当时 令得 0 a 2 0 ax f x x ax 当变化时 和的变化情况如下表x f x f x x 0 aa a f x 0 f x单调递增 极大值单调递减 函数在处有极大值 f xax 要使函数在区间上无极值 只需 12 分 f x 2 0 2 a 综上 所述 实数的取值范围为 13 分a 0 2 20 解 1 2 2 1 1 2 x cy 3 分 2 若 a b 为椭圆上相异的两点 为 a b 中点 2 2 1 1 2 x cy 00 e xy 当直线 ab 的斜率与直线 op 的斜率的乘积必为定值 5 分 ab k op k opab kk 证法 1 设 则 1122 a x yb xy 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 x y x y 2 1 得 2121 2121 0 2 xxxx yyyy 仅考虑斜率存在的情况 9 00 20 ab xyk 1 2 oeab kk 分 证法 2 设 ab 与椭圆联立得 ykxb 2 2 1 1 2 x cy 222 12 4220kxkbxb 12 2 4 12 kb xx k 所以 9 0 00 22 0 21 12122 oe ykbb xyk kkxk 1 2 oeab kk 分 3 法 1 当点 a 无限趋近于点 b 时 割线 ab 的斜率就等于椭圆上的 b 的切线的斜率 k 即 1 2 ob k k a 2 2 2y x k 9 所以点 b 处的切线 qb 22 222 2 1 22 xx yyxxxy y y 令 令 所以 0 x 2 1 y yd 2 2 0 x xy c 22 2 yx s ocd 又点 b 在椭圆的第一象限上 所以1 2 0 0 2 2 2 2 22 y x yx 当且仅当 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1yxy x y x 2 2 22 22 yx s ocd 12 2 22 2 2