高三数学 3用等体积法求体积试题.doc

3 用等体积法求体积3.1等积变换求三棱锥的体积 图3-1【例3】将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，则三棱锥的体积为 （ ）a b c d 解析 如图3-1，取的中点，连接，由题意， ，因为为正三角形，选.【评注】对于三棱锥的体积问题，可以任选一面作底面，然后求出已知该底面对应的高转换原则是换底高易求或底面放在已知几何体的某一面上. 【变式1】以直三棱柱为背景利用等积法直接求体积直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，连接，则三棱锥的体积为 【变式1】答案【解析】等积变换易求高，d到面 距离为底面正三角形的高，则【变式2】等积变换求三棱锥的体积 四棱锥中合理选择底面易求三棱锥的体积epdcba (江苏省苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研1)如图3-2，四棱锥pabcd中，底面，底面是矩形，点e为棱cd上一点，则三棱锥epab的体积为 【变式2】答案4【解析】 图3-2【变式3】等积变换求三棱锥的体积直三棱柱中合理选择底面易求三棱锥的体积(20 15福州模拟) 如图3-3所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为 () a. b. c. d.【变式3】答案a 【解析】三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，三棱锥ab1bc1的高为，底面积为，故其体积为. 图3-3【变式4】等积变换求三棱锥的体积 四棱锥中2次等积变换探究四棱锥的体积比 （2015上海长宁区、嘉定区高三年级第二次质量调研）在四棱锥中,分别为侧棱,的中点,则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ） a bc d【变式4】答案c【解析】由题意可得 平面 ,所以,故选c.3.2等积变换合理选择底面高易求【例2】 （2012山东高考） 如图3-4，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1-edf的体积为_【解析1】 三棱锥d1edf的体积即为三棱锥fdd1e的体积因为e，f分别为aa1，b1c上的点，所以在正方体abcda1b1c1d1中dd1e 图3-4的面积为定值，f到平面aa1d1d的距离为定值1，所以vf-dde1.【解析2】 e点移到a点，f点移到c点，则v d-edfv d-dac111.【评注】 把握正方体的特征，合理选择底面易求高，解析1中注意到edd1的面积为定值，f到面 edd1的距离为1使问题简单化，解析2中利用点的特殊性对点进行移动转化特殊四面体的体积求解，凸显等价转化思想的具体应用.abcc1a1b1efdd1【变式1】利用等体积法求动三棱锥体积等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积 (淮安市2015高三冲刺四)如图3-5正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，线段b1d1上有两个动点e，f，且，则三棱锥baef的体积为是_ . 图3-5【变式1】答案【解析】【变式2】利用等体积法求动三棱锥体积等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积 (2015厦门市质检) 如图3-6，在棱长为1的正方体中，e是棱bc上的一点，则三棱锥的体积等于 .【变式2】答案【解析】 图3-6 【变式3】利用等体积法求动三棱锥体积等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积 （2015广州市高三上学期期中考试）如图3-7所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点则三棱锥的体积为 .【变式3】答案1【解析】由题设可知 即cf为高 ， ， 图3-7, 即 =【变式4】利用等体积法求三棱锥体积利用等体积法求三棱锥体积的定值如图3-8，正方体的棱线长为1，线段abcc1a1b1efdd1上有两个动点e，f，且，则下列结论中错误的是 ( ) （a） （b）（c）三棱锥的体积为定值 （d） 【变式4】答案d 图3-8【解析】 可证故a正确，由平面abcd，可知，b也正确；连结bd交ac于o，则ao为三棱锥的高，三棱锥的体积为为定值，c正确；d错误,选d.3.3等积变换求点到面的距离 【例4】(2015甘肃省兰州市高三诊断考试)在直三棱柱中，则点到平面的距离为（ ） a b c d【解析】由于三棱柱是直三棱柱，设点到平面的距离为，由体积相等得，代入计算得，故答案为b.【评注】等积变换求点到面的距离,利用等积变换构造三棱锥换底可求点到面的距离. 【变式1】以正方体为背景利用等积法求点到面的距离如图3-9，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱aa1、bb1的中点，g为棱a1b1上的一点，且a1g(01)，则点g到平面d1ef的距离为_【变式1】答案 【解析】 等体积法，设h为g到平面d1ef的距离 图3-9vgd1efva1d1efvfd1a1e，1h11，h.【变式2】三棱柱中等积法求线和面所成的角 （天津市南开中学2015高三第三次月考（理）试题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为( ). a. b. c. d.【变式2】答案b【解析】如图3-10所示，aa1底面a1b1c1，apa1为pa与平面a1b1c1所成角，又平面abc平面a1b1c1，apa1为pa与平面abc所成角 图3-10，解得：aa1=.又p为底面正三角形的中心，在rtaa1p中，tanapa1=，故选b【变式3】等积变换求点到面的距