菱形 复习中难题 含答案.doc

菱形 复习中难题 含答案1菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4菱形的面积S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半 （） 若菱形的一条对角线与边的夹角为25，则这个菱形各内角的度数为 【答案】 50、 130、50、130（） 1菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为 【答案】2424（）2如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，AEF是等边三角形，且AE=AB，求B和C的度数【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得B=80和C=100（）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是 【答案】4（）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A一组临边相等的四边形是菱形B四边相等的四边形是菱形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B （）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是 答案：120（） 1菱形的对称轴共有2 条【答案】2242已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5（）3菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 【答案】2424 （）下列命题错误的有（填写序号）菱形四个角都相等对角线互相垂直且相等的四边形是矩形对角线互相垂直且相等的四边形是菱形对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形【答案】（）1已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（ ） A矩形 B菱形 CAC=BD的任意四边形 D平行四边形【答案】C（）2（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是 形 （2）用两个全等的等腰三角形拼成的是 形 （3）用两个全等的直角三角形拼成的是 形【答案】（1）菱形； （2）菱形和平行四边形； （3）矩形和平行四边形（）如图，在ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MGAB于点G，MDAC于点D，GFAC于点F,DEAB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形 【答案】证明：先证明四边形GMDH是平行四边形，利用等腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形GMDH是菱形（）在菱形ABCD中，A=60，E、F分别是AD、DC边上的点，EBF=60 （1）判定BEF的形状； （2）证明你的结论【答案】联结BD，易证，故是等边三角形 （）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；(2)ABCD； (3)OA=OC； (4)OB=OD； (5)ACBD； (6)AC平分BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。如(1)(2)(5)ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_ABCD是菱形；_ABCD是菱形。【答案】（1）（2）（6）或（3）（4）（5）或（3）（4）（6）（）ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：ACBD； AB=BC； AC平分BAD AO=DO，使得ABCD是菱形的条件有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C（）下列图形中，不一定为菱形的是（）A两条对角线互相垂直平分的四边形B四条边都相等的四边形C有一条对角线平分一个内角的平行四边形D用两个边长相等的等边三角形拼成的图形【答案】D（）1如图，在中，点分别在边，上，且，下列四个判断中，不正确的是（）A四边形是平行四边形B如果，那么四边形是矩形C如果平分，那么四边形是菱形D如果且，那么四边形是矩形【答案】D （）2如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F （1）求证：DOEBOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论【答案】（1）四边形ABCD是矩形，ODOB，ABCD , EF，DOEBOFDOEBOF (2)当EFAC时，四边形AECF是菱形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明1熟练掌握菱形的概念、性质和判定是解题的关键，也是区别矩形、正方形的基础2几何证明需要读题仔细，挖掘隐含的结论从而推导结论3要想真正学好四边形，需要一定的练习量才能产生质变1下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） AACBD，AC与BD互相平分 BAB=BC=CD=DA CAB=BC，AD=CD，且ACBD DAB=CD，AD=BC，ACBD 2已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：ABCD，AB=CD，BCCD，BC=AD，ACBD，AC平分DAB与DCB从这6个条件中选出（直接填写序号）_3个，能使四边形ABCD是菱形3已知：如图，在ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形4已知：如图，在ABCD中，AE平分BAD，与BC相交于点E，EFAB，与AD相交于点F，求证：四边形ABEF是菱形5如图，将一张矩形纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，最后分别沿AE、CF折叠得到的四边形AECF是什么样的四边形？试证明你的猜想与第3题对照，你有什么发现？6结合所给的图形，编一道几何证明题，证明四边形AEDF是菱形并利用所给的条件，写出“已知”“求证”和“证明”的过程7已知：如图，四边形ABCD是菱形，ABC=30，求证：8已知，如图，ABC中，BAC=90，ADBC于点D，BE平分ABC交AD于点M，AN平分DAC，交BC于点N求证：四边形AMNE是菱形答案： 1C 2（答案不惟一，只要正确即可）或等3可证出AEOCFO，得AE=CF再由AC是EF的垂直平分线，得EC=EA，AF=CF由此得EC=AF=CF，所以四边形AFCE是菱形4先证四边形ABEF是平行四边形，再由AE平分BAF，得FAE=BAE又由FAE=AEB，得BAE=BEA，所以AB=BE，所以ABEF是菱形5四边形AECF是菱形，无论原图形是什么图形，只要能得到平行四边形，在此基础上满足“对角线相互垂直”，该平行四边形就一定是菱形6（答案不惟一，只要合理，符合题意即可）略7. 过点C作CEBA，垂足为E在RtBEC中，ABC=30，四边形ABCD为菱形，又，8. 证明：ADBC，BDA=90，BAC=90，ABC+C=90，ABC+BAD=90，BAD=C，AN平分DAC，CAN=DAN，BAN=BAD+DAN，BNA=C+CAN，BAN=BNA，BE平分ABC，BEAN，OA=ON，同理：OM=OE，四边形AMNE是平行四边形，四边形AMNE是菱形。知识结构菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质：1、菱形具有平行四边形的所有性质：2、菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 菱形的对称性 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等与对角线乘积的一半菱形的判定定理： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定）四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形一、菱形的性质菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）()A60B45C30D15解答方法：菱形的周长为边长的4倍， 又菱形周长为高的8倍， AB=2AE， ABE为直角三角形， ABC=30 故选 C答案：本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得ABC=30是解题的关键菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）()A60B15C30D90解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60解答：如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于 度()解答方法：菱形的周长等于一条对角线长的4倍， AB=BD=AD， ABD是等边三角形， A=60 即这个菱形较小的一个内角等于60解答：60已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E求证：AFD=CBE () 答案：证明：四边形ABCD是菱形， , BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。1、如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EFAC交CB的延长线于F求证：AB与EF互相平分（）解题分析：连接BD，AF，BE，在菱形ABCD中，ACBDEFAC，EFBD，又EDFB，四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，E为AD的中点，AE=ED，AE=BF，又AEBF，四边形AEBF为平行四边形，即AB与EF互相平分2、已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长（）解答方法：连接BD在菱形ABCD中，ADBC，ACBD又EFAC，BDEF四边形EFBD为平行四边形FB=ED=2E是AD的中点AD=2ED=4菱形ABCD的周长为44=16如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且B=EAF=60，BAE=18，则CEF=_（）解题分析：连接AC，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，B=EAF=60，ABC是等边三角形，BCD=120，AB=AC，B=ACF=60，BAE+EAC=FAC+EAC，BAE=FAC，ABEACF，（ASA）AE=AF，又EAF=D=60，AEF是等边三角形，AFE=60，又AEC=B+BAE=78，则CEF=7860=18故答案为：18答案：18答案：18 菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角如图，在菱形ABCD中，B=EAF=60，BAE=20，则CEF的大小为_（）解答方法：连接AC，在菱形ABCD中，AB=CB，B=60，BAC=60，ABC是等边三角形，EAF=60，BACEAC=EAFEAC，即：BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），AE=AF，又EAF=D=60，则AEF是等边三角形，AFE=60，又AEC=B+BAE=80，则CEF=8060=20故答案为20如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，DFAB求证：四边形AEDF是菱形（） 解答分析：AD是ABC的角平分线，EAD=FAD，DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，EAD=ADF，FAD=FDAAF=DF，四边形AEDF是菱形菱形的判定定理： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定）四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是为E 、F，并且DE=DF求证：四边形ABCD是菱形（）解题分析：在ADE和CDF中，四边形ABCD是平行四边形，A=C，DEAB，DFBC，AED=CFD=90又DE=DF，ADECDF（AAS）DA=DC，平行四边形ABCD是菱形（2014秋胶南市校级期末）如图：在ABC中，BAC=90，ADBC于D，CE平分ACB，交AD于G，交AB于E，EFBC于F求证：四边形AEFG是菱形考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：根据三角形内角和定理求出B=CAD，根据角平分线性质求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，证ACGFCG，推出CAD=CFG，得出B=CFG，推出GFAB，ADEF，得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可解答：证明：证法一：ADBC，ADB=90，BAC=90，B+BAD=90，BAD+CAD=90，B=CAD，CE平分ACB，EFBC，BAC=90（EACA），AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），CE=CE，由勾股定理得：AC=CF，ACG和FCG中，ACGFCG，CAD=CFG，B=CAD，B=CFG，GFAB，ADBC，EFBC，ADEF，即AGEF，AEGF，四边形AEFG是平行四边形，AE=EF，平行四边形AEFG是菱形证法二：ADBC，CAB=90，EFBC，CE平分ACB，ADEF，4=5，AE=EF，1=180904，2=180905，1=2，ADEF，2=3，1=3，AG=AE，AE=EF，AG=EF，AGEF，四边形AGFE是平行四边形，AE=EF，平行四边形AGFE是菱形点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，综合性也比较强菱形的判定定理： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（定义作为第一判定）四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图，ABC中，BAC=90，BG平分ABC，GFBC于点F，ADBC于点D，交BG于点E，连接EF求证：AE=AG；四边形AEFG为菱形（）解答方法：BG平分ABC， ABE=DBE，ABE+AGE=90，EBD+DEB=90，GEA=BED，AEG=EGA，即AG=AEGFBC于点F，ADBC于点D，BG平分ABC，ADGF，AG=GF，又AG=AE，AE=GF，四边形AEFG是平行四边形，又AG=AE，四边形AEFG为菱形 1.（2015甘南州）如图1，在ABC和EDC中，AC=CE=CB=CD；ACB=DCE=90，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H（1）求证：CF=CH；（2）如图2，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE=45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）要证明CF=CH，可先证明BCFECH，由ABC=DCE=90，AC=CE=CB=CD，可得B=E=45，得出CF=CH；（2）根据EDC绕点C旋转到BCE=45，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形解答：（1）证明：AC=CE=CB=CD，ACB=ECD=90，A=B=D=E=45在BCF和ECH中，BCFECH（ASA），CF=CH（全等三角形的对应边相等）；（2）解：四边形ACDM是菱形证明：ACB=DCE=90，BCE=45，1=2=45E=45，1=E，ACDE，AMH=180A=135=ACD，又A=D=45，四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），AC=CD，四边形ACDM是菱形点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定2.（2015黄冈模拟）已知：如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF求证：四边形BCFE是菱形考点：菱形的判定菁优网版权所有专题：证明题分析：由题意易得，EF与BC平行且相等，四边形BCFE是平行四边形又EF=BE，四边形BCFE是菱形解答：解：BE=2DE，EF=BE，EF=2DED、E分别是AB、AC的中点，BC=2DE且DEBCEF=BC又EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EF=BE，四边形BCFE是菱形点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定3（2014缙云县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CEAB交AB延长线于E，CFAD交AD延长线于F，求证：CE=CF考点：菱形的性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分DAE，再根据角平分线的性质可得CE=FC解答：证明：连接AC，四边形ABCD是菱形，AC平分DAE，CEAB，CFAD，CE=FC点评：此题主要考查了菱形的性质，以及角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等1、 能力检测（2014漳州质检）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点O是直线BD上的动点，OEAB于E，OFAD于F（1）对角线AC的长是12，菱形ABCD的面积是96；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否会发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由考点：菱形的性质菁优网版权所有分析：（1）连接AC与BD相交于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根据AC=2AG计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；（2）连接AO，根据SABD=SABO+SADO列式计算即可得解；（3）连接AO，根据SABD=SABOSADO列式整理即可得解解答：解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，在菱形ABCD中，ACBD，BG=BD=16=8，由勾股定理得，AG=6，AC=2AG=26=12，菱形ABCD的面积=ACBD=1216=96；故答案为：12；96；（2）如图1，连接AO，则SABD=SABO+SADO，所以，BDAG=ABOE+ADOF，即166=10OE+10OF，解得OE+OF=9.6是定值，不变；（3）如图2，连接AO，则SABD=SABOSADO，所以，BDAG=ABOEADOF，即166=10OE10OF，解得OEOF=9.6，是定值，不变，所以，OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OEOF=9.6点评：本题考查了菱形的性质，三角形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，（2）（3）作辅助线构造出两个三角形是解题的关键二、典型例题（2015乐陵市模拟）已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；探究型分析：（1）由三角形全等可以证明AH=AB，（2）延长CB至E，使BE=DN，证明AEMANM，能得到AH=AB，（3）分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，解得x解答：解：（1）如图AH=AB（2）数量关系成立如图，延长CB至E，使BE=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在RtAEB和RtAND中，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，EAM=NAM=45，在AEM和ANM中，AEMANMSAEM=SANM，EM=MN，AB、AH是AEM和ANM对应边上的高，AB=AH（3）如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD设AH=x，则MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC252=（x2）2+（x3）2（6分）解得x1=6，x2=1（不符合题意，舍去）AH=6点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等作业1（2014丹阳市校级模拟）如图，ABC中，BD、CE是ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点求证：FMDE考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论解答：证明：连接MD、MEBD是ABC的高，M为BC的中点，在RtCBD中，MD=BC，（直角三角形斜边上那的中线等于斜边的一半）同理可得ME=BC，MD=ME，F是DE的中点，（等腰三角形三线合一）FMDE点评：此题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用2（2014牡丹江）如图，在RtABC中，ACB=90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当