（应用数学专业论文）时滞微分系统的稳定性.pdf

摘要 时滞是客观世界与工程实际中普遍存在的现象 本世纪五十年 代 人们开始对时滞系统进行系统的研究并取得了实质性的全面的 进展 我们注意到 在许多实际系统中 要对其准确的描述 从而 进一步的设计 分析和应用 就必需考虑时滞的影响 因此研究时 滞微分系统具有重要的现实意义 本文共由三章组成 主要讨论了时滞微分系统的稳定性问题 第一章给出本文所必需的预备知识 第二章考虑了一类具有扰动的变时滞中立型微分方程的3 2 稳 定性 得到了方程的零解一致稳定和渐近稳定的充分条件 第三章讨论了一类具多时滞非线性微分方程的稳定性问题 通 过时滞项使方程稳定 得到了使时滞微分方程稳定的简明判据 关键词时滞微分系统 中立型微分方程 3 2 稳定性 一致 稳定 渐近稳定 a b s t r a c t d e l a yi sae o 1 n 1 o lp h e n o m e n o ni n t h eo b j e c t i v ew o r l da n de n g m e e a i n g f i e l d s s i n c e1 9 5 0 s s c h o l a r sb e g a nt os t n d yt h es y s t e mw i t hd e l a ys y s t e m a t i c a l l ya n da l s om a d es u b s t a n t i a la n dc o m p r e h e n s i v ep r o g r e s s m e a n w h i l e w e n o t i c et h a t i nm a n yp r a c t i c a ls y s t e m s i no r d e rt od e s c r i b et h es y s t e mm o r e a c c u r a t e l ya n df u r t h e rt od e s i g n a n a l y s i sa n da p p l yi t w em u s tt a k et h ei n f l u e n e eo fd e l a yi n t oc o n s i d e r a t i o n s o i ti so fi m p o r t a n tp r a c t i c a lm e a n i n g s t os t u d yt h ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s w h i c hm a i n l yi n v e s t i g a t e dt h e s t a b i l l t yo fd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s i nt h ef i r s tc h a p t e r t h ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ew h i c hi sn e c e s s a r yi nt h e p a p e r i sg i v e n i nc h a p t e r2 w ei n v e s t i g a t et h e3 2s t a b i l i t yf o rac l a s so fp e r t u r b i n g n o n a u t o n o m o u sn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hv a r y i n gd e l a y a n do b t a i n s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ez e r os o l u t i o no ft h i se q u a t i o nt ob eu n i f o r m l y s t a b l e w e l la sa s y m p t o t i c a l l ys t a b i l l t y i nc h a p t e r3 w ec o n s i d e rt h es t a b i l i t yo fac l a s so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm u i t i d e l a y s o m ec o n c i s es t a b i l l t yc r i t e r i o n so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r eo b t a i n e db ym a k i n ge q u a t i o n ss t a b l ew i t hd e l a yt e r m s k e yw o r d s d e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e3 2s t a b i l i 札u n i f o r ms t a b i l i t y a s y m p t o t i cs t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包合其 他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 季卅才纭签字日期 舀年丁月 口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者竞全7 解有关保留 使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和 借陬本人授权可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名卅私 签字日期 五躬年了月f 日 学位论文作者毕业去向 工作单位 通讯地址 导师签名 签字日期 电话 邮编 日 辫 一 要二兰竺竺竺兰 第一章预备知识 考虑微分方程组描述的一般非自治系统 鲁 埘 1 1 定义l 若垤 o o j j d t o v x o 当f l x o l l d g t o 时 对一切坨 t 0 有肛 t z o 0 3 x 0 啦o 虽然忙o 0 j d e o 当 z o d 时 对一切t t 0 r 有 忙 t 知 o 0 3 f t o o j t t o g d o 当l i o l is 盯 t o t t o 十t 知 句 时 有 即 i x t t o 知川 e x t t o z o 0 t o l 安徽大学顼士学位论文t 时滞微分乐统的稳定性 称方程f 11 的平凡解是等度吸引的 若吸引定义中的t 仅依赖于e t o 不依赖于x o 肚o 0 孤 0 j 6 v t o 当l i z o l i o j a 0 七 6 o 当 z o i 0 a 0 使得对 话 r 有 t c t 口 i k e 一 一 t 以 3 存在常数女1 0 及 1 2 中的口 0 使得对讹 r 成立 i u c t s l k l e 一 一 t m 以上定理见 4 第二章 具有扰动的非自治变时滞中立型徽分方程的3 2 稳定性 第二章 具有扰动的非自治变时滞中立型 微分方程的3 2 稳定性 本章考虑具有扰动的变时滞中立型微分方程 并得到了保证其零解的一 致稳定和渐近稳定的充分性条件 2 1引言 本世纪以来 自然科学和社会科学的很多学科中提出了大量时滞系统问 题 如电路信号系统 生态系统 化工系统等 社会科学方面主要是各种经济 现象时滞的描述 如商业销售问题 财富分配理论 运输调度问题 工业生产 管理等 各种工程系统中的时滞现象更为普遍 特别是自动控制系统 近年 来 对时滞微分系统稳定性的研究已经取得了不少研究成果 如文献 l m 在文献 2 中 y o r k e 首先讨论了时滞微分方程 掣 c z t 哪 0 2 1 1 1 的3 倍稳定性 得到了很好的结果 文件7 对y o r k e 的工作进行丁推广和改 进 在文献 s 9 中 具有扰动的非线性时滞微分方程的一致稳定性得到了研 5 安徽大学硕士学位论文 时滞微分系统的稳定性 究 而关于中立型方程 相关的结果却很少 在文献 1 0 中 庾建设研究了常 时滞中立型泛函微分方程 爰陋 t 一f t z 一t u t z 一r o t 幻 2 1 2 其中t6 o x fu c t 0 r r 且对t 之 o z r 有z t z 0 得 到了一些漂亮的结果 定理i 若存在p 0 1 h 0 使得 l y t i p l z l t z a t x 2 t t o i z l to t n s d s o o 2 一 a s d s 0 t 0t 主u 定理2 1 若存在p 0 1 h 0 及非负连续函数o t 6 o 使得 t x l p l z l u t z o 亡 z 2 t t o i x l 日 2 2 3 a 2 p 2 一p 十 s 乏u p f t a t oj g t s d s f t z i b t l z l t2t o i 日 2 2 5 n 2 厶6 s d s o e o v z 一2 v 2 使得a 2 c o t o 当t 之x 时 因为g t t n 所以t g t n 故 g l t b s i s f t t v b 如 s 又由 2 2 4 知 当t x 时 有 2 p 2 p 蛳s u p 吲f t 6 s 幽sa 均 2 2 7 由于p 和m 均为正常数 故必存在正整数1 使得j m t o2x 2 p 对任给 o 日 记卵 两爿 下证对 亡0 妒 g 云一n 司 一刁 町 有 p 0 妒 i e t 五 2 2 8 其中z t t 妒 为方程 2 2 2 满足初始条件s 匿一p t i 时 z s t 妒 s 的 解 在不引起混淆的情况下记z t z 如毛 令z t z t 一f t l t 首 第二章 具有扰动的非自治变时滞中立型微分方程的3 2 稳定性 先我们将证明 事实上 当t 瓯f m 时 由 2 2 2 知 i t f f 0 f 0 z 习一 tg 动 一詹n s z 9 s d s 一丘 s z s 幽l 曼p l x h t i i z 刁i p l x h t l i j a s l z g s l d s j b s l x s d s 卵 2 p 1 f b s l z s l d s 记l i z l l t s u p 陋 s i 从而 s e t p i i l x l l u 2 p s u p 舻b s l z s i d s y 2 p 眉b 8 l l x l l d s o e t p q 由g r o n w a l l 不等式可知 即 z i t r t 助 i 5 e 印z 2 6 s d s te 暇f m 2 p 五5 蛔铷帕纠劬 互5 唧广6 8 出 当t 匿 m f 2 m 时 雄 i q 2 p 互5 2 唧z r a 如 d s e 印 6 s 幽 叩 2 p 互5 2 e 印z t 2 m 如 幽 从而由归纳法知 当t 陬f m 时 净i 口 2 p r e 印上f 2 m 6 s 幽 7 助 j 5 e 舭 f l m 使得l z t l 且当f t t 时 i x t l 0 2 2 1 0 z 吾 z m 岔 手 l m 一 吾 z m 吾 l m 7 2 p j 5 1 p e x p 血 z t 所以由 2 2 1 0 知 存在 t l m 卸 使得z z m a x z t 且当f f m s t t 时 z t z 由 2 2 4 知 2 p 2 v 0 又 因为p 0 1 所以2 p 0 2 2 1 1 下证 g e 0 否则 若霉 口 e 0 则存在h i 0 当t 一h l 时 z 9 t 0 又由 2 2 1 1 知 存在h 2 0 当t k h 2 e 时 z t 0 记 h r a i n h i h 2 则由 2 2 2 知 象 一u t 础 t 一 邢 0 r e e h 故z t 在 e 一 e 内不增 这与e 的定义矛盾 所以2 9 e 0 因而存在 1 0 第二章 具有扰动的非自抬变时滞中立型微分方程的3 1 2 稳定性 函 e 使得z 0 由 2 2 2 2 2 3 和 2 2 5 知 面d z 一u b 一 t z 0 t 6 0 f l m t t 2 2 1 2 当t t o 刳时 g t t o 从9 t 到 积分 2 2 1 2 得 z 乃 一z g t e 厂 b s 1 d j 9 t 郎 一 o t 一 9 t z g t t o z f 璧 陋 s 6 s d 8 陬 j 景 c a s 6 扣 d s t m 因而 一u t 9 0 t 2 p 0 s b s d 8 t t o c o g l t 由 2 2 2 和 2 2 5 知 面d z 2 p e n s 坼 m 叫 t o 2 2 1 3 因为9 t 所以 一t o e g 故由 2 2 7 知 2p 2一p d a 8 6 s id8 a 印 石32r j 乞i o 一p 8 6 s a 印 j 下证 z t z e 1 一p e 与 2 2 1 0 矛盾 定理即可得证 分两种情况讨 论 i 若2 p 巍 n s 6 s 幽 1 从 到 积分 2 2 1 3 得 z k sz 知 j 磊 t 2 p f 2 8 s b 8 d s d t e 臣b t d t s 一 t o 蜀 j 乏陋 t 6 t 劲 颤f n s b s d s 一盛 o 8 b s d s d t e 压b t d t 憾 j 磊 o t 6 t 曙一2 p 1 p 一j 完 n s b s d s d t v e o 豳 2 2 p 1 一p j 乏 d t b t d t 一 j 磊 d t 6 t d 2 o 安徽大学硕士学位论文 时滞微分系统的稳定性 因为函数p 一2 p 1 p x 一 z 2 十c o 在 o 1 捌递增 所以 z o e p 一2 p 1 一p 1 2 p 一 1 2 p 2 e o 4 1 一p p 1 2 p 2 g o 1 由于2 p 1 故存在正 t o 使得 2 p 百 n s 十6 如 1 由 22 1 3 可得 象 e 陋 t 6 纠 2 p 仨 s 坼 酬 吣 州 t o c 2 2 1 4 从 到丑积分 2 2 1 2 再从噩到e 积分 2 2 1 4 得 z e z e 后0 t 6 t 出 e j 丢 n t 6 t 2 p 廓 扣 s 6 0 d s d t 强b t d t p e e 厩陋 t b t d t e 廊 0 8 幽 职廊 6 s 幽 十 月i 陋 t 6 t 翰 j t o t d s b s d s d t 印 融 2 p 1 2 p 2 p j 鸯 s b s d s j 轰 0 t 十6 t 坛 如 8 6 8 d s d t 钷o s 3 4 p p 2 p 1 2 p j 嘉 o s b s d s j 美扣 t 6 t 协 e o 一2 p 2 一p 一尼 0 0 十b s d s d t 印 2 e o 一 p e 1 一p e 这与 2 2 1 0 矛盾 故结论成立 定理2 2 若定理2 1 的条件均满足并且 0 扣 d s o o 2 2 1 5 上 扣 2 o o 2 卫 1 5 则方程 2 2 2 的零解是渐近稳定的 事实上 由定理2 1 知方程 2 2 2 的零解是一致稳定的 故只要证明方程 2 2 2 的零解是吸引的即可 这只需将文献i z o 中的定理1 2 略加修改即可 1 2 第二章 具有扰动的非自治变时滞中立型微分方程的3 2 稳定性 最后 我们举一个例子 例2 1 考虑变时滞中立型微分方程 五dp t 一p z t t z g t 6 t z o o t2 o 2 2 1 6 其中驯 p oj g t d s z 6 s 如 0 vt2t o 记r t t 一9 t l t 一 t 的稳定性问题 3 2多时滞非线性微分方程的稳定性问题 本节考虑对滞微分方程 n 圣 t 一o t k 白 t b t f i x h t 3 2 1 t l 其中口 如 0 o o o o o g h i 0 0 0 r 为连续函数 且g t st t 岛设z i x 0 l f z x h 0 i a f 钆0 i 鼽 o vt t o 记r t t 一 9 t n t t h t 本文总假设r t 钆 t 有界 不妨设m n p t r 记 妒 t o r t o 寸r 且范数定义为 l s u p j 妒 8 在不致引起混淆的情况 t o l s t o 下 记 1 的解z t z t t o 妒 为过 t o l p 的解 当n 1 a 1 z t l t 时 记b t 6 1 t 则 3 2 1 考虑了 时滞方程 士 t a t x g t 6 f z t 因此亦可得到文献 3 的相应结论 故本文所考虑的方程比文献 3 和 5 更一 般 从而所得的结果有更广泛的意义 有关方程 3 2 1 稳定性的定义和已有文献相同或参见文献 1 1 下面我们 先给出相关引理 之后是我们的主要结论 5 安散大学硕士学位论文t 时滞微分系统的稳定性 引理3 2 1 若方程 3 2 1 过 t o 妒 的解为 t 对v f 0 则当t t o r t o 十f 时 陋 t 悔扎 其中j l 妒j l 妒i i e z p 倍一7 o 8 ep z 6 z s d s 证明由 3 2 1 可知 叫 叫啦 删 耋泖 酬 d 日 记慨i l s u p 陋 8 i 从而 k 0 i l z t o l j 嚣0 口 l 茁 9 p i e 口 i 0 也 一 1 d 口 l l 妒 j 乏缸 届以 妒 i j 磊 n n i 茁f 9 口 i p 如 口 i z 几 8 i 枷 4 1 3 2 2 l i x o l l ep b o l l z o l l d o n l 1 p b o l l o l l d o z l 印 卜届 妒 暑m p 即 媳幻如妯 亍 n l0 妒0 t o r 8 t o 所以由 3 2 2 知 故 k s l 工 s t o r 8 t s u p k s is s u p 工 s i i 妒i i 扣妒 v b e l l x d l 棚 0 t o j t n t f 日 tt r 5 t t oj 1 6 第三孝多时滞非线性微分方程的稳定性问题 即 川 2 壹 1 p a 洲口 从而由g r o n w a l l 不等式可得 1 i 茎 p f 妻p 玩 d s o l o 苫 因此 e印 壹仇 s 幽 叩 如 4 iz t l4 妻鼽k 胁 o 妒 e 印 f 口 s 仇 o d 3 i i i p o e 每p f n s 鼽k s d 0 t o t 1 j t o 一l 故结论成立 定理3 1 当 t g o 时 若存在单调不增非负连续可微函数印 t t o f 2 f 和t 使v t p f t q t f t o 2 1 3 2 3 一n t b t t o 一 t o 3 口 9 8 t o e p t 阮 s q 也 s t o d s n p t 玩 t q 0 t o 一 t t o 0 24 n 1 3 则当t p f t 时方程 3 2 1 的任一解z t 满足 p i 幡物 t t o 其中晒l 1 1 妒1 1 e 印 瑶 7 s 量鼽6 l s 如 t 1 3 2 5 证明 反证 假设结论不成立 则不妨设 t l t 2 t o f t l 0 使 z t 1 l i 西l l o t l t o g t sl l 西0 q t 1 t o t o 一下 tst 1 3 2 6 1 7 安徽大学硕士学位论文 时滞微分系统的稳定性 z r 2 j l 硎q 2 t o v s t t f 2 0 x s 一 i l p l l o s t o e 士 2 一f 乒 日 t 2 t o 0 3 2 7 3 2 8 3 2 9 若z t 一恫i 1 1t o 0 时假设不成立 j 当9 t 2 t l 由于t 2 t o f 所以g t 2 t o k t 2 t o 由 3 2 1 式 和 3 2 6 式知v 8 函 t 2 t l 有 从而 s 一 8 净0 銎l 玩 s s n s 0 0 切 9 8 t o p 1 6 s 叩 札 a t o i i 妒 t l 正0 1 一z 9 t 2 1 n s 目o o t o 妻p 1 6 l 8 q 札 s 幻 d s 圳一 删 g t 目 黼t o 至矶 删蜘 幽i i l l 础m 球 一仁 帕 礼t o 妻p 姒咖 m i i 妒一l l 9 2 岔 i 一比 g 8 i 1 p l 8 删幽 所以 圣 t 2 一j 妒j 1 日 t 2 t o a t 2 x c g t 2 a t 2 扛 毛 t 2 一i l 妒l l t 2 t o 一a t 2 x t 1 一如 o s 町 g s t o 点a 川目 t o d s 州l n 一 一 ea 巩 t 2 t 2 一0 i p 0 日 幻 t o l l n 一o t 2 叩 t 1 t o 一睨 0 0 目 9 s t o 善a 巩 s q o t o d s 仇玩 t 2 1 0 t 2 一日 t 2 t o l l l i 一口 如 k t 2 t o 一琉 口 s 目 口 s t o 量p l k s q k s t o d s n 一 一 ep 1 6 l t 2 1 0 t 2 j 一日 t 2 t o l l 妒1 1 i 1 由 3 2 4 知圣 t 2 一晒物 t 2 t o 0 这与 3 2 9 式矛盾 1 8 第三章 多时滞非线性微分方程的稳定性问题 j j 当9 t 2 t l 时 记r 丽热 因为 t s9 t 故 五 z 也 t 2 r 1 a l l 7 h t 2 t o 所以 一 n 圣 t 2 一i l 妒l 日 t 2 t o 一a i t 2 g t 2 6 0 2 z k 0 2 l i 妒 i 0 2 t o i 1 一 n st i l 妒t l 一o t 2 q g t 2 t o 仇b t 2 r l h t 2 t o 一q t 2 t o 一 n l sr l l 妒i j 一o t 2 1 2 t o p b t 2 r i h t 2 t o 一日 t 2 t o t l 由 3 2 4 式知上式与 3 2 9 式矛盾 从而假设不成立 故结论成立 注3 1t 可取 o o 推论3 1 当k t g t 时 若 t nn 刊卜尉巾 三a 6 枷删 蚤删啦o 3 2 1 0 则方程 3 2 1 的零解稳定 证明取口 如t o 1 由 3 2 4 式可得 3 2 1 0 式 故由定理1 得证 注3 2 当鼽b t i0 f l 2 n 时 若珐t a s d s 1 则方程 3 2 1 的零解一致稳定 推论3 2 若推论l 条件满足且存在m 0 使 厂 妻a 饥 d s m z 8 薹a 如 m 则方程 3 2 1 的零解一致稳定 推论3 3 当也 t g t 时 令 r t 一口 t n t 最t 陋 8 e 后矿p 陟 墨p 1 6 i 8 正 帕出 幽 墨a 6 l e j 乏 订d r 打 安徽大学硕士学位论文t 时滞微分系统的稳定性 若r t s0 则方程 3 2 1 的任一解 t 满足 z t ls 悯i e 印 珐 r s d s 3 2 1 1 其中i i 西l l i i 妒r l e 印 偿 7 n s e nn 6 s d s 并且 若t o 时 坛十 r s d s 一o o 则方程 3 2 1 的零解渐近稳定 盯 若存在常数n 0 和卢 使得尼十 r s d s a t t o 卢 则方程 3 2 1 的零解指数渐近稳定 证明取目 t t o e z p f 乏 r s 幽 取亍 r 则 7 t t o 不增 q o f t o 1 且 一n t 幻 一颤 目 9 t 量n 鼽 目 s t o d s 墨鼽巩 t 切 t o 一厅 t o a t 1 一颤 s e 最 兄 r 冲 t 量 l 鼽巩 s e r 小 r r 弦 d 司 墨仇b e t 州 r r d r 一冗 t e e 冠 r 冲 s0 故由定理1 知 3 2 1 1 式成立 若t 毒押r s 幽叶一 则由 3 2 1 1 式知霉 t o o 0 0 1 所以方程 3 2 1 零解吸弓i 故方程 3 2 1 零解渐近稳定 j j 若存在常数a 0 和卢 使得庇竹r s d s a t 一幻 卢 则由 3 2 1 1 式知方程 3 2 1 零解指数渐近稳定 定理3 2若存在单调不增非负连续可微函数目 t t o f r 和t 使 2 0 第三章 多时滞非线性微分方程的稳定性问题 一n 0 口 t t o 一后 1 陋 s g s t o 鼽抚 s q 也 s t o d s n 釜p 玩o q o t 一日o t o 4 3 1 32 1 2 则当t i t f 卅时方程 3 2 1 的任一解z 满足 l z t i 0 酬 7 t t o 3 2 1 3 其中晒i i i i e 印 偿 7 n s 耋鼽如 s 出 证明类似定理3 1 的证明可知定理3 2 的结论成立 注3 3t 可取 注3 4 在推论3 1 3 3 中去掉条件 t a c t 分别将 3 2 1 0 式中 改成 和推论3 3 中的 r t 0 改成 r t 0 推论3 1 3 3 的 结论仍然成立 推论3 4 若 呼刊 1 一厶k s 三p 1 6 l d s 卜l l p z b t 8 1 7 时 一n h t o 一e c o s q g 8 t o p z b z s q h s t o d s n 一l n k 0 目 t o 一日 t t o t l 如 亍 1 一再 占p o 1 一c 8 2 0 1 寿了一 t 西半酽d s 再暑甲 一牿带 0 故由定理3 2 知方程 3 2 1 5 的零解全局渐近稳定 而易见 t 可若可z t 的 零解是不稳定的 一 l 气 篱 参考文献 参考文献 1 郑祖庥 泛函微分方程理论 m 合肥 安徽教育出版社 1 9 9 4 2 y o r k eja a s y m p t o t i cs t a b i h t yf o ro n ed i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j jd l f f e r e n t l a le q u a t i o n s 1 9 7 0 7 1 1 8 9 2 0 2 3 曾志刚 廖晓听 具两个时滞项的微分方程的稳定性 j 应用数学学报 2 0 0 4 2 7 3 4 8 9 4 9 9 4 高国柱 具有无界时滞的一维泛函微分方程的3 2 渐近稳定性 j 科学 通报 1 9 9 3 3 3 8 6 8 3 6 8 6 5 y o n e y a m at o nt h es t a b i l i t yf o rt h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 0 一n t 一f t j j m a t h a n a l a p p l 1 9 8 6 1 2 0 1 2 7 1 2 7 5 6 y o n e y a m at o nt h e3 2s t a b i l i t yt h e o r e mf o ro n e d i m e n s i o n a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j j m a t h a n a l a p p l 1 9 8 7 1 2 5 1 1 6 1 1 7 3 7 y o n e y a m at t h e3 2s t a b i l i t yt h e o r e mf o ro n e d i m e n s i o n a ld e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hu n b o u n d e dd e l a y 吲 j m a t h a n a l a p p l 1 9 9 2 1 6 5 1 1 3 3 1 4 3 8 y o n e y a m at s u g i et p e r t u r b i n gu n i f o r m l ys t a b l en o n u n e a rs c a l a rd e l a yd i f f e r e n t i a e q u a t i o n s j n o n l i n e a ra n a l y s i s 1 9 8 8 1 2 3 3 0 3 3 1 1 9 沈根成 高国柱 李立峰 具有扰动无界时滞的一维泛函微分方程的渐 近稳定性旧 数学物理学报 1 9 9 9 1 9 5 4 9 3 5 0 0 安徽大学硕士学位论文t 时滞微分系统的稳定性 1 0y uj i a n s h e a s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rac a s so fn o