（全国通用）2017届高三数学二轮复习 专题突破 专题三 三角函数与解三角形 第2讲 解三角形限时训练 文.doc

第2讲解三角形(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号正、余弦定理的应用1,2,4,11,13与面积有关的问题5,9三角形形状的判断3,10与三角恒等变换相结合6,14实际应用、综合应用7,8,12重点把关1.(2016陕西宝鸡一模)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,a=2,b=3,b=3,则a等于(b)(a)6 (b)4(c)34 (d)4或34解析:由正弦定理可得sin a=asinbb=2sin 33=22.因为a=2b=3,所以0a3,所以a=4,故选b.2.(2016天津河西一模)已知abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且c-bc-a=sinasinc+sinb,则b等于(c)(a)6(b)4(c)3(d)34解析:已知等式利用正弦定理化简得c-bc-a=ac+b,即c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,所以cos b=a2+c2-b22ac=12,因为b为三角形的内角,所以b=3.故选c.3.(2016辽宁大连一模)在abc中,a,b,c分别是角a,b,c的对边,且满足acos a=bcos b,那么abc的形状一定是(c)(a)等腰三角形 (b)直角三角形(c)等腰或直角三角形 (d)等腰直角三角形解析:因为bcos b=acos a,所以sin bcos b=sin acos a,所以sin 2a=sin 2b,所以a=b或2a+2b=180,即a=b或a+b=90,即abc为等腰或直角三角形,故选c.4.(2016湖南岳阳二模)abc的三个内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,asin asin b+bcos2a=2a,则ba等于(c)(a)23(b)22(c)2(d)3解析:因为abc中,asin asin b+bcos2a=2a,所以根据正弦定理,得sin2asin b+sin bcos2a=2sin a,可得sin b(sin2a+cos2a)=2sin a,因为sin2a+cos2a=1,所以sin b=2sin a,可得ba=2.故选c.5.(2016山西太原二模)在锐角abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若sin a=223,a=2,sabc=2,则b的值为(a)(a)3 (b)322 (c)22 (d)23解析:因为在锐角abc中,sin a=223,sabc=2,所以12bcsin a=12bc223=2,所以bc=3, 又a=2,a是锐角,所以cos a=1-sin2a=13,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a,即(b+c)2=a2+2bc(1+cos a)=4+6(1+13)=12,所以b+c=23, 由得b+c=23,bc=3,解得b=c=3.故选a.6.(2016山东日照二模)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且b2+c2+bc-a2=0,则asin(30-c)b-c等于(b)(a)-12(b)12(c)-32(d)32解析:因为b2+c2+bc-a2=0,所以cos a=b2+c2-a22bc=-12,所以a=120.由正弦定理可得asin(30-c)b-c=sinasin(30-c)sinb-sinc=sin120sin(30-c)sin(60-c)-sinc=32sin(30-c)-3sin(c-30)=12.故选b.7.(2016湖南衡阳一模)如图,为了测量a,c两点间的距离,选取同一平面上b,d两点,测出四边形abcd各边的长度(单位:km):ab=5,bc=8,cd=3,da=5,且b与d互补,则ac的长为 km.解析:因为82+52-285cos(-d)=32+52-235cos dcos d=-12,所以ac=49=7.答案:78.(2016陕西咸阳模拟)在abc中,o是外接圆的圆心,若oboc=-12,a=60,则abc周长的最大值为 .解析:因为a=60,所以boc=120.又oboc=-12,设abc外接圆半径为r,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,所以oboc=r2cosboc=-12.所以r=1.由正弦定理得,asina=2r,所以a=2sin 60=3.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos a,即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc(b+c)2-3(b+c2)2,所以b+c23,所以a+b+c33,即三角形abc周长的最大值为33.答案:339.在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,cos 2c+22cos c+2=0.(1)求角c的大小;(2)若b=2a,abc的面积为22sin asin b,求sin a及c的值.解:(1)因为cos 2c+22cos c+2=0,所以2cos2c+22cos c+1=0,即(2cos c+1)2=0,所以cos c=-22,又0c,所以c=34.(2)因为c2=a2+b2-2abcos c=5a2,所以c=5a,由正弦定理,得sin c=5sin a,所以sin a=15sin c=1010.因为sabc=12absin c,且sabc=22sin asin b,所以12absin c=22sin asin b,所以absinasinbsin c=2,由正弦定理得(csinc)2sin c=2,解得c=1.能力提升10.(2016陕西安康二模)abc中三个内角为a,b,c,若关于x的方程x2-xcos acos b-cos2c2=0有一根为1,则abc一定是(b)(a)直角三角形(b)等腰三角形(c)锐角三角形(d)钝角三角形解析:依题意可知1-cos acos b-cos2c2=0,因为cos2c2=cosc+12=1-cos(a+b)2=1-cosacosb+sinasinb2,所以1-cos acos b-1-cosacosb+sinasinb2=0,整理得cos(a-b)=1,所以a=b,所以三角形为等腰三角形.故选b.11.(2016江西上饶三模)如图,在abc中,ab=2,点d在边bc上,bd=2dc,cosdac=31010,cos c=255,则ac= .解析:因为bd=2dc,所以设cd=x,ad=y,则bd=2x,因为cos dac=31010,cos c=255,所以sin dac=1010,sin c=55,则由正弦定理得adsinc=cdsindac,即y55=x1010,即y=2x,sin adb=sin(dac+c)=1010255+3101055=22,则adb=4,adc=34,在abd中,ab2=bd2+ad2-2adbdcos 4,即2=4x2+2x2-22x2x22=2x2,即x2=1,解得x=1,即bd=2,cd=1,ad=2,在acd中,ac2=ad2+cd2-2adcdcos 34=2+1-22(-22)=5,即ac=5.答案:512.(2016陕西质检)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知a+c=33,b=3.(1)求cos b的最小值;(2)若babc=3,求a的大小.解:(1)因为cos b=a2+c2-b22ac=(a+c)2-2ac-b22ac=(33)2-2ac-92ac=9ac-19(a+c2)2-1=13.当且仅当a=c=332时,取到最小值13.(2)因为babc=3,所以accos b=3.由(1)可知cos b=9ac-1.所以cos b=12.所以ac=6.由a+c=33及ac=6可解得,a=23或a=3.所以由正弦定理asina=bsinb可得,当a=23时,sin a=absin b=23332=1.所以a=2.同理,当a=3时,求得a=6.13.(2016湖北八校联考)如图,在平面四边形abcd中,abad,ab=1,ac=7,abc=23,acd=3.(1)求sin bac;(2)求dc的长.解:(1)在abc中,由余弦定理得ac2=bc2+ba2-2bcbacos b,即bc2+bc-6=0,解得bc=2,或bc=-3(舍去),由正弦定理得bcsinbac=acsinbsin bac=bcsinbac=217.(2)由(1)得cos cad=sin bac=217,sin cad=1-37=277,所以sin d=sin(cad+3)=27712+21732=5714,由正弦定理得dcsincad=acsinddc=acsincadsind=72775714=475.创新选做14. (2016湖北八校联考)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且满足2bsin(c+6)=a+c.(1)求角b的大小;(2)若点m为bc中点,且am=ac,求sin bac.思路点拨:(1)边化角,利用和、差公式进行恒等变换求解.(2)在abm与abc中,由余弦定理得am,ac,由am=ac建立方程求解.解:(1)2sin b(32sin c+12cos c)=sin a+sin c,即3sin bsin c+sin bcos c=sin a+sin c=sin bcos c+cos bsin c+sin c,所以3sin bsin c=cos bsin c+sin c,又sin c0,所以3sin b=cos b+1,所以2sin(b-6)=1,得b=3.(2)法一取cm中点d,连接ad,则adcm(图略),设cd=x,则bd=3x,由(1)知b=3,所以ad=33x,所以ac=27x,由正弦定理知,4xsinbac=27xsin