椭圆的定义与标准方程.ppt

2 1 1椭圆的定义与标准方程 引例 若取一条长度一定且没有弹性的细绳 把它的两端都固定在图板的同一点处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 这时笔尖画出的轨迹是什么图形 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 探究 若将细绳的两端拉开一段距离 分别固定在图板上不同的两点F1 F2处 并用笔尖拉紧绳子 再移动笔尖一周 这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢 思考 如何定义椭圆 F1 F2 x y 0 p 如何定义椭圆 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 椭圆的定义 平面上到两个定点F1 F2的距离之和为固定值 大于 F1F2 的点的轨迹叫作椭圆 1 椭圆的定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 3 常数要大于焦距 2 动点M与两个定点F1和F2的距离的和是常数 1 平面内 这是大前提 注意 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 回忆圆标准方程推导步骤 求动点轨迹方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件P M 3 用坐标表示条件P M 列出方程 4 化方程为最简形式 结论 若把绳长记为2a 两定点间的距离记为2c c 0 1 当2a 2c时 轨迹是 2 当2a 2c时 轨迹是 3 当2a 2c时 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 对称 简洁 x 设P x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距 F1F2 2c c 0 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a 2a 2c 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 由于 得方程 两边除以得 由椭圆定义可知 整理得 两边再平方 得 移项 再平方 椭圆的标准方程 刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 由于 得方程 Y 椭圆的标准方程的特点 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 2 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 3 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 4 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 再认识 三 例题分析 5 4 3 3 0 3 0 6 x 例1 已知椭圆方程为 则 1 a b c 2 焦点在轴上 其焦点坐标为 焦距为 3 若椭圆方程为 其焦点坐标为 0 3 0 3 例2 求下列椭圆的焦点坐标 以及椭圆上每一点到两焦点距离的和 解 椭圆方程具有形式 其中 因此 两焦点坐标为 椭圆上每一点到两焦点的距离之和为 例1 椭圆的两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 求椭圆的标准方程 解 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 所求椭圆的标准方程为 求椭圆的标准方程 1 首先要判断类型 2 用待定系数法求 椭圆的定义a2 b2 c2 求椭圆标准方程的解题步骤 1 确定焦点的位置 2 设出椭圆的标准方程 3 用待定系数法确定a b的值 写出椭圆的标准方程 思考一个问题 把 焦点在y轴上 这句话去掉 怎么办 例3已知椭圆经过两点 求椭圆的标准方程 解 设椭圆的标准方程 则有 解得 所以 所求椭圆的标准方程为 变式题组一 变式题组二 登高望远 巩固练习 14 D D C 一 二 二 三 一个概念 二个方程 三个意识 求美意识 求简意识 猜想的意识 小结 二个方法 反思总结提高素质 椭圆标准方程的求法 一定焦点位置 二设椭圆方程 三求a b的值 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 平面内与两定点F1 F2的距离的和等于常