广义逆矩阵及其应用.doc

济南大学毕业论文题 目 广义逆矩阵及其应用 学 院 专 业 通信与信息系统 学 生 学 号 - 1 - II -目 录第1章 前言 1第2章 广义逆矩阵 22.1 广义逆矩阵的定义 22.2 广义逆矩阵的性质 3第3章 广义逆矩阵的计算123.1 一般广义逆求解123.2 Moore-Penrose 广义逆16结论19第1章 前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1） 该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2） 它具有通常逆矩阵的一些性质；（3） 当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。第2章 广义逆矩阵2.1 广义逆矩阵的定义1、 Penrose广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义。定义2.1 设矩阵，若矩阵满足如下四个Penrose方程（）（）（）（）中的一部分或全部方程，则称为的一个广义逆矩阵。若只满足（）式，则成为的一个-逆，可记为，所有满足-逆的构成的集合记为。若满足四个方程中的第个方程，则称为的一个-逆，记为，所有满足-逆的构成的集合记为。2、 常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有=15类，其中常见的有，。定义2.2 设有复矩阵。若有一个复矩阵存在，使下式成立，则称为的减号逆：(2.1)当存在时，显然满足上式，可见减号逆是普通逆矩阵的推广；另外，由得，即可见，当为的一个减号逆时，就是的一个减号逆。定义2.3 设复矩阵，若有一个矩阵，满足：且称为的一个自反逆矩阵，记作为，满足Penrose方程的（），（）式，所以。显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵是矩阵的-逆，即, 若矩阵也是矩阵的-逆，即， 则为的一个自反逆矩阵。定义2.4 设复矩阵，若有一个矩阵，满足： 及 ，则称为的最小二乘广义逆，记作 ，满足Penrose方程的（），（）式，所以。最小二乘广义逆是用条件对减号逆进行约束后所得到的子集。定义2.5 设复矩阵，若有一个矩阵，满足： 及 ，则称为的最小范数广义逆，记作 ，满足Penrose方程的（），（）式，所以。显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。若满足全部四个方程，则称为的Moore-Penrose广义逆矩阵，记为。2.2 广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。定义2.6 设矩阵（r0），如果存在一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵使得，则称上式为的一个满秩分解。定理2.1 对任意矩阵（r0），必存在着矩阵和使。证明： 由，对进行若干次初等行变换后，可将化为行阶梯矩阵，其中。故存在若干个阶初等矩阵的乘积，使得，即，将分块为,，便有。因是可逆矩阵的前列，所以是一个列满秩矩阵，是行满秩矩阵，故是的一个满秩分解。上式是的一个满秩分解，但是的满秩分解并不是唯一的。任意取一个阶非奇异矩阵,若是一个满秩分解，则显然也是的一个满秩分解。一、1-逆的性质定理2.2 设，则的Moore-Penrose逆存在且唯一。证 设 .若r=0，则是零矩阵，可以验证零矩阵满足四个Penrose方程。若r0，则有满秩分解分解,取，则满足4个Penrose方程，所以，是Moore-Penrose广义逆矩阵。设，均满足四个Penrose方程，则综上所诉，存在且唯一。满足四个Penrose方程的所有方程，所以，属于15类广义逆矩阵中的任意一类。上面我们证明了的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。对任意的，定义为（2.4）下面给出1-逆的一些性质。定理2.3 设，则（1） ；（2） ；（3） 若S和T非奇异，则；（4） ；（5） 和均为幂等矩阵且与A同秩；（6）（7） 的充要条件是， 的充要条件是；（8） 的充要条件是， 的充要条件是。证 （1）由， 有， 两边同时求共轭转置得 ， 即， 由定义知。 （2）, 由1-逆定义得，。 （3）, 由1-逆定义得， 。 （4）, 故 .。 （5）， 故为幂等矩阵，又由， 故为幂等矩阵， 所以，也即。 同理，。 （6）由, 得 ，类似的，由，得。又因为， 所以 。（7）充分性：，所以，由为幂等矩阵且非奇异， 易知 。 必要性：由，故。 另一式同理可证明。（8）充分性：， 所以，。所以存在矩阵，使，从而。必要性：，故。另一式同理可证明。性质（5）逆命题仍然成立，即定理2.4 设复矩阵，若存在矩阵， 使为幂等矩阵，且，则矩阵。证明： 幂等，则，而,又， 所以， 存在矩阵, 使得，有，即 。2、 -逆的性质因为在Penrose方程（1）（2）中，和的位置是对称的，所以与是等价的，即和总是互为-逆。这与通常矩阵的逆的逆是本身是一样的。定理2.5 设矩阵, 又设， 则。证明：，则，由上2式得，。定理2.6 给定矩阵，若，则的充要条件是。证明： 充分性：若，则，且和幂等，又，所以，。由定理2.3得，所以，。 必要性：，则，又，根据X为自反广义逆，有，则所以，。三、Moore-Penrose 广义逆矩阵定理2.2已证明对任意矩阵，Moore-Penrose 广义逆矩阵存在且唯一。Moore-Penrose 广义逆矩阵是满足全部Penrose条件的广义逆矩阵，其必然有其特殊性，下面给出Moore-Penrose 广义逆矩阵的一些性质：定理2.7 设矩阵，则有（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。证明： （1） 由定义，和的位置是对称的，即是的Moore-Penrose 广义逆矩阵，那么就是的Moore-Penrose 广义逆矩阵，又因为唯一，所以，。（2） 令，则有，根据定义，。（3） 令,则有，根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知 。同理可证明，。（4） 令，则有，根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知。同理可证明 。（5） ，故。定理2.8 给定矩阵，则有，其中，。证明： 设，则由定理2.5知，又因为， ， 所以，。 又因为只有一个元素，所以，。第3章 广义逆矩阵的计算广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。3.1 一般广义逆的求解一、1-逆的求解定理3.1 设矩阵，有矩阵且，则。（3.1）证明： 因为对任意，令，于是有，所以，。反之，任取，于是有取，则M有（3.1）式的表示。所以，。定理3.2 设矩阵，存在可逆矩阵和，使，则中的任一矩阵可写成的形式，其中，为任意矩阵。证明： 设，则是矩阵，将分块为：，其中，则，因为，所以，所以，即中的任一矩阵可写成，即中的任一个矩阵可写成，其中，为任意矩阵。由定理3.2知，要想计算出一个矩阵的1-逆，必须首先求出可逆矩阵和，使成为标准形，所以可先构造分块矩阵，用行和列初等变换把中的化简成，同时，化成了，化成了，即，故，于是中的矩阵可写成。2、 1,3-逆的求解定理3.3 设矩阵，那么（1） 若是行满秩矩阵，则；（2） 若是列满秩矩阵，则；（3） 若且有满秩分解，则 或。证明： (1)若是行满秩矩阵，则，有，所以，。 (2)若是列满秩矩阵，令，又，所以，。 (3)，又，所以，。令，于是，又，所以，。3、 1，4-逆的求解定理3.4 设矩阵，那么（1） 若是行满秩矩阵，则；（2） 若是列满秩矩阵，则；（3） 若且有满秩分解,则 或 。证明： （1）令,则，又，所以，。 （2），所以，,有，所以，。（3）又，所以，。令，则，又，所以，。3.2 Moore-Penrose 广义逆定理3.5 设矩阵（r0）的满秩分解为，其中，则（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。证明： （1），分别为列满秩和行满秩矩阵，有，所以，；所以，；所以，。综上，。（2），分别为列满秩和行满秩矩阵，有，所以，；，；，所以，综上，。（3）由（2）知，成立；由（1）知，。（4）由知，又