实变函数论教案第四章.doc

第四章 可 测 函 数为了建立新的积分，我们已经对中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解. 1 可测函数及其性质教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数，使得对任何实数，点集都有“长度”，即都是可测集. 可测函数的概念就是由此产生的. 因为本章讨论的函数可以取值，所以在给出可测函数概念之前，我们要介绍有限函数的概念和包含在内的实数运算的规定. 设，称是上的有限函数，是说对任意的，函数值都是有限实数. 包含在内的实数运算作如下规定：（i），；（ii）对任意的有限实数，；（iii）对任意的，；（iv）， . 而，认为是没有意义的. 在一般情况下，也是不允许的. 定义4.1.1 设是定义在可测集上的函数，如果对任何有限实数，都是可测集，则称为定义在上的可测函数，或者说，在上可测. 例1 区间上的连续函数及单调函数都是可测函数. 证明 若是上的连续函数，对任意的实数，往证是开集，任取，则，由连续函数的保号性知，存在，使得当时，有，所以. 所以是的内点. 因此是开集. 从而是可测集，于是在上可测. 若是上的单调函数，不妨设是上的单调增加函数，对任意的实数. 当时，是空集，因而是可测集； 当时，也是可测集. 若时，令，则当时，；当时，. 因此，当时，也是可测集. 综合以上，是上的可测函数. 定理4.1.1 设是可测集上的函数，则（i），（ii），（iii），（iv）是等价的. （i）是上的可测函数；（ii）对任何实数，是可测集；（iii）对任何实数，是可测集；（iv）对任何实数，是可测集. 证明 （i）（ii），因为对任意的实数，. 所以若在上可测，则是可测集，因而是可测集. （ii）（iii），因为对任意的实数，. 所以若是可测集，则是可测集. （iii）（iv），因为对任意的实数，所以若对任意的实数，是可测集，则是可测集. （iv）（i）若对任意的实数，是可测集，则是可测集，所以由可测函数定义知是上的可测函数. 在本节开头，我们曾提出什么样的函数，使得对任意的实数，点集都是可测集. 有了可测函数的定义，我们有下面的结果：若是上的可测函数，则对任何实数，点集是可测集. 反之，如果是可测集上的有限函数，若对任何实数，点集是可测集，则是上的可测函数. 证明 因为，所以若是上的可测函数，则和都是可测集，因而是可测集. 反之，如果是可测集上的有限函数，若对任何实数，是可测集，则因为. 所以是可测集. 由定理4.1.1知是上的可测函数. 推论 设在上可测，则对任何实数，是可测集，及也是可测集. 证明 因为，由于在上可测，由定理4.1.1知是可测集. 而；. 所以由定理4.1.1知和是可测集. 为了讨论中一般可测集上连续函数的可测性，我们给出中一般点集上连续函数的定义. 定义4.1.2 定义在上的实函数称为在连续，是说，如果有限，而且对于的任一邻域，总存在的某邻域，使. 即只要且时，就有. 如果在中每一点都连续，则称在上连续. 定理4.1.2 可测集上的连续函数是可测函数. 证明 对任意的实数，往证是可测集. 设，由连续函数局部保号性，存在的某邻域，使. 令，则. 另一方面，显然有，因此，所以. 因此是可测集，因而是可测函数. 定理4.1.3 （i）设是上的可测函数，则在的任一可测子集上也可测；（ii）设是至多可数个可测集的并集，是上的函数，则在上可测的充分必要条件是在每个上可测. 证明 （i）设是可测集，因为对任意的实数，所以是可测集，因而是上的可测函数. （ii）必要性. 若在上可测，由（i）知在每个上可测. 充分性. 设在每个上可测，因为对任意的实数，所以是可测集，因而在上可测. 下面的定理说明可测函数类对四则运算是封闭的. 引理1 设与为上的可测函数，则与都是可测集. 证明 因为，所以只须证明是可测集. 设，则，存在有理数，使，即. 反之，若存在有理数，使，则. 设有理数全体为，则. 由和是可测函数，等式右端是可测集，所以是可测集. 定理4.1.4 设和都是上的可测函数，则下列函数都是上的可测函数. （1），为任意实数；（2）；（3）；（4）；（5）. 证明 （1）当时，是常数函数，因而是连续数，所以是可测函数. 当时，对任何实数，是可测集，所以是上的可测函数. （2）对任意的实数，是可测函数，这是因为对任意的实数，. 由是可测函数，是可测集，因而是可测函数. 这样，对任意的实数，是可测函数，由（1）是可测函数，由上面说明是可测函数，由引理1是可测集，因此是上的可测函数. （3）先证是上的可测函数，对任意的实数，有若若 因而是可测集，所以在上可测. 而，所以由（1），（2）及可测知是上的可测函数. （4）先证可测. 对任意的实数，若若若 是可测集，所以是可测函数，而，由（3）是上的可测函数. （5）对任意的实数， 是可测集，所以是上的可测函数. 定义4.1.3 设是可测集，是的互不相交的可测子集，且，是常数，则称上的函数，,是上的简单函数. 显然有. 其中是的特征函数. 例6 可测集上的简单函数是可测函数. 证明 设是上的简单函数，. 对每一个，在上是常数函数，因而连续，所以可测. 即在每一个上都可测，由定理4.1.2的（ii），在上可测. 下面讨论可测函数列的极限运算. 定义 设是上的可测函数列. 任取，令；. 称上的函数和分别为的上确界函数和下确界函数，记为；，定理4.1.5 上可测函数列的上确界函数和下确界函数都是可测函数. 证明 对任意的实数，由于，. 所以和都是可测集，因而和都是上的可测函数. 定理4.1.6 设是上可测函数列，则和也是上的可测函数. 如果，则极限函数是上的可测函数. 证明 由于，. 由定理4.1.5，是可测函数列，再由定理4.1.5，是上的可测函数. 同理可证是上的可测函数. 设是上的实函数，令则和都是上的非负函数，分别称为的正部和负部. 显然，. 当在上可测时，和也在上可测. 在实变函数中，经常遇到“几乎处处”的概念. 定义4.1.5 设是可测集，是一个和中的点有关的命题. 如果除了的一个零测度集外处处成立，则称在上几乎处处成立. 记为于. 这里的是英文almost everywhere的缩写. 例7 于；上的Dirichlet函数于. 例8 若函数列在上满足，则称在上几乎处处收敛于，记作于. 定理4.1.7 设和都是定义在可测集上的函数. 若在上可测，且于，则也在上可测. 证明 设，则. 由定理4.1.2的（i），在上可测. 而在上，所以在上可测. 因为，由例4知在上可测. 又由定理4.1.2的（ii），在上可测. 2 叶果洛夫（EOPOB）定理教学目的：使学生掌握叶果洛夫定理的内容及作用。本节重点：叶果洛夫定理的应用。在数学分析中，一致收敛是函数列很重要的性质，它能保证一个函数列尽管在给定的区间上不一致收敛，但只要在区间的某端去掉一个长度大于零但可以任意小的区间后，该函数列就能在剩下的区间上一致收敛了. 比如在上不一致收敛. 但是只要从的右端点去掉任意小的一段成为，则在其上就一致收敛了. 这一现象具有普遍的意义，叶果洛夫定理就揭示了这个规律. 定理4.2.1（E，英文Egoroff，18691931俄国数学家）设是可测集，与是上几乎处处有限的可测函数，且在上几乎处处收敛于. 那么，对任意的，存在子集，使函数列在上一致收敛于，且. 证明 令，则是零测度集. 当有必要时可用代替，所以在证明中不妨假定每个与都在上处处有限. 对任意的，我们先构造的子集，使，然后证明在上一致收敛于. 设，令，则当时，. 事实上，由的定义，若，则有无穷多个包含，即有正整数子列，使. 因此，所以由假设于，所以. 记，则是单调减少集列，且，由定理3.2.10，有，所以对任意的，有，使. 特别，对任意的以及正整数，取，那么，必有，使，从而. 设，则. 往证在上一致收敛于. 事实上，当时，即对任意的，即当时，此即当，时，有，并且只与，有关，与无关，因而在上一致收敛于. 定理得证. 注1：定理中条件是不能去掉的. 例如，设，在上构造函数列 那么，对任意的，有充分大的，使得，于是当时，因此. 取，则对任何可测集，若，则在上不可能一致收敛于. 事实上，由于，所以，于是集无界. 取，对任意的正整数，存在和且. 则. 所以在上不一致收敛于. 注2：定理中的与有关. 定理结论中的“对任意的”不能改成“对于”即在时，从于不一定能推出存在子集，使得在上一致收敛于，而. 例如，设，则对任意的，. 对任一满足的，存在，于是且，所以，即，这说明在上不一致收敛于. 3 可测函数的结构教学目的：使学生熟悉可测函数与连续函数之间的关系。本节重点：鲁津定理的内容及作用。在本节，我们讨论可测函数与简单函数的关系，可测函数与连续函数的关系，得到用简单函数列逼近可测函数的定理和用连续函数刻画可测函数的鲁金（H）定理. 1可测函数与简单函数我们知道简单函数是可测函数，由定理4.1.6知简单函数列的极限函数是可测函数. 我们要问，一个可测函数能否表示成一个简单函数列的极限函数呢？问答是肯定的. 定理4.3.1（可测函数与简单函数的关系）设是上的可测函数，则可以表示成一列简单函数的极限函数，即. 而且还可以做到证明 （1）情形. 设表示不大于的最大整数，则当时，有某个，使，这样. 当时，令. 往证具有如下性质：（i）；（ii）. 事实上，若，则； 若，则； 若，则. （i）得证. 如果，则；如果，那么存在正整数，使得，从而当时，所以. （ii）得证. 当，；当.令 由于，由的定义知为上的简单函数，且由的性质（i）与（ii）有及. （2）一般情形对于一般的可测函数，. 因为和是上的非负可测函数，由（1）知存在非负递增简单函数列和，使，. 显然有，. 因为，所以. 因此和可以作为某个函数的正部和负部. 设，则是上的简单函数，且对一切正整数，有，. 定理得证.2可测函数与连续函数定理4.3.2 鲁金定理（，英文Lusin，18831950，俄国数学家）设是上几乎处处有限的可测函数，则对任意的，存在闭集，使，而在上连续. 证明 （1）是简单函数情形设，各是互不相交的可测集，当时，. 对于，由于是可测集，存在闭集，使得. 令，则是闭集，且 往证在上连续. 事实上，任取，存在，使，由各互不相交，则. 而是闭集，所以且是开集，因此有的邻域使. 即，从而. 所以当时，有. 因而在连续. 由是任意的，在上连续. （2）是一般可测函数情形（i）. 设是上的可测函数,则由定理4.3.1,有简单函数列使. 由Egoroff定理，对任意的，存在可测子集，使在上一致收敛于，且. 又因为存在闭集，使，所以 由，在上也一致收敛于. 由于每个也是上的可测函数，由情形（1）知，存在闭集，使在上连续，且. 令，则是闭集，且. 由，有 因为在闭集上一致收敛于，且每个在上连续，则极限函数在上连续，并且 . （ii）设为中开球，当时，. 令，那么是中互不相交左闭右开的球环且是有界集，. . 由（i）知存在闭子集，使得在上连续且. 令，则，在上连续，且 往证是闭集. 任取，则，有唯一的，使. 因为（时）由于各个互不相交，则且. 因为是闭集，不是的聚点，所以有的某邻域，使，同理有的某邻域，使. 取（且使的半径小于1），则，并且当时，. 因为，所以存在点列，使，而，由以上分析，当时，所以，是的聚点. 而是闭集，所以. 这样，是闭集. 综上定理得证. 鲁金定理还有另一种表达方式，这种形式的鲁金定理会经常用到. 定理4.3.3 设是上的几乎处处有限的可测函数，则对任意的，存在闭集和在上的连续函数，使得，且对任何，还有，. 证明 由鲁金定理（定理4.3.2），存在闭集，使在上连续且. 以下将闭集上的连续函数延拓成上的连续函数. 由于是闭集，所以是从直线上挖掉至多可数个互不相交的开区间所得到的集. 将在直线上挖掉的各个开区间上按如下方式保持线性连续地延拓为. 是有限的;这样是上的连续函数，且满足当时. 在各个上，从而，. 定理得证. 鲁金定理的逆定理是成立的，也就是鲁金定理所述结论还是使函数成为可测的一个充分条件，这个条件可以作为可测函数的定义. 定理4.3.4（鲁金定理的逆定理）设是可测集上的几乎处处有限的函数，若对任意的，总有闭集，使在上连续，且，则是上的可测函数. 证明 对任意的，存在闭集，使在上连续，且. 设，则是可测集，且，所以. 因此，是零测度集，则在上可测. 由于，故只须证明在上可测. 事实上，对任意的实数，对于任意的，由于在上连续，所以在上可测. 所以是可测集. 因此是可测集，这样在上可测. 因而在上可测. 定理得证. 4 依测度收敛教学目的：使学生掌握依测度收敛的概念，以及依测度收敛与处处或者几乎处处收敛之间的区别与联系。本节重点：依测度收敛的定义及其与几乎处处收敛之间的关系。定义4.4.1 设，都是可测集上的几乎处处有限的可测函数. 若对任意的，有，则称函数列在上依测度收敛于，记为. 因为点集的测度是一个非负数，所以测度收敛是数列的收敛. 用“”方式表述，就是：设，都是可测集上的几乎处处有限的可测函数. 若对任意的和，存在正整数，使当时，有. 则称函数列在上依测度收敛于.在一般情况下，从函数列测度收敛未必能推出几乎处处收敛，反之亦然. 例1 测度收敛而处处不收敛的函数列. 取，将二等分，定义两个函数：然后将四等分，八等分等等，一般地，对每个，将等分，作个函数：. 把先按，后按的顺序逐个地排成一列： （4.4.1）在这个函数列中是第个函数. 往证这个函数列是依测度收敛于零的. 事实上，对任意的，或是空集，或是. 所以. 由于当时，必有，所以，即. 再证函数列（4.4.1）在上的任何一点都不收敛. 事实上，对任何点，不论多么大，总存在，使，因而，而. 就是说，对任何，在中必有两个子列，一个恒为1，另一个恒为0，所以序列不收敛. 由是任意的，所以序列4.4.1在上任何点都不收敛. 例2 几乎处处收敛而不依测度收敛的函数列. 取，作函数列对任何，存在，使，则都是1. 因而，. 然而当取时，而，所以. 因而不依测度收敛于1. 尽管在一般情况下，几乎处处收敛和依测度收敛其中一种收敛不能蕴涵另一种收敛，但是它们还是有密切联系的，当把条件限制一下，它们之间的某种联系甚至是很深刻的. 下面的两个定理