交通拥堵数学模型.pdf

1 2010 年湖南大学冬季数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了 2010 年湖南大学冬季数学建模竞赛 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员 不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网上咨询等 与队外的任何人 包括教师 研究 讨论与 赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开的资料 包括 网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规则的行为 我们将受到严肃处理 参赛队员 签名 队员 1 姓名 罗明强 学院 数学与计量经济学院 专业年级 09 级信息与计算科学 队员 2 姓名 王一 学院 数学与计量经济学院 专业年级 09 级信息与计算科学 队员 3 姓名 林莉智 学院 数学与计量经济学院 专业年级 09 级信息与计算科学 湖南大学数模指导组 湖南大学数学建模协会 2 2010 年湖南大学冬季数学建模竞赛 题目 城市交通拥阻的分析与治理 摘 要 本文联系长沙交通的实际情况 对交通阻塞情况很严重的枫林路丁字路口进行分析 建立仿真模型结合理论给出一个合理的调度方案 并由这个调度理论 进一步分析优化 十字路口和多交叉口 本文首先对现行情况的调查结果进行处理分析 将各方面的数据进行量化 从而得 到部分交通参数的具体数值与表达式 再针对现行方案的不足之处进行建模优化 即通 过设置缓冲区 模型 A 对信号灯进行配时与优化 模型 B 以及硬件设施改善 模 型 C 等方面的进行数学研究讨论 从而得到更加可行的方案 然后对三种方案进行综 合考虑和分析 得到最佳的缓解方案 通过计算机模拟验证 从而使得模型理论上成立 本文的较后部分对问题进行加深分析探索 类比三叉路口的优化方案 对十字路口以及 更局般意义上的多叉路口进行简单的讨论和分析 从而得到更一般的结论 对缓解交通 拥堵起到参考作用 关键词 丁字路口 交通拥阻 缓冲区 信号灯的配时与优化 硬件改善 计算机模拟 类比 3 一 问题重述 许多大中城市的交通拥阻造成了时间的浪费 工作的耽误和心理的烦躁 直接 间 接带来了相当大的经济损失 缓解拥阻需要多方努力 综合治理 现在请就你所了解的城市的情况 应用数学建 模方法提出 分析并探讨解决城市交通拥阻问题的办法 下面的问题只是一个十字路口的典型环境下相当简化的情形 不一定限于此 1 在你的所在城市选择一个交通堵塞比较严重的十字路口 如图 到达十字路口 的四队车流的每一队 都有直行 左转 右转三个方向 在交通高峰时间实际调查这些 车流的数据 以及现行的交通调度方案 包括路口三个方向行车道的划分 红绿灯的控 制等 2 分析交通堵塞的原因 提出治理方案 3 对你的方案作计算机模拟 评价其效果 4 将你的调查 分析和解决方案写成一篇简明 通俗的文章 投给当地的报刊 二 模型假设 1 所有车的长度相同 约为 5m 同一转向的车通过交叉口的平均速度相同 通过路口的时间相同 2 路口不发生事故 且所有司机都遵守调度规则 3 信号灯转为绿灯时 车发动时间忽略不计 4 交叉口无人行道 5 只考虑红绿灯对车辆的影响 三 问题分析 1 交通拥挤的概念及具体分析 交通拥阻是指交通需求 一定时间内想要通过某道路的车辆台数 超过某道路的交 通容量 一定时间内该道路所能通过的最大车辆台数 时 超过部分交通滞留在道路上 的交通现象 随着交通需求增加 当交通需求超过了行走路径上的交通容量最小地点 瓶颈 的 交通容量时 来自上流的交通需求中超过的部分 即超过需求将无法通过瓶颈 在瓶颈 处形成等待行列 2 交叉口通行能力分析 4 交叉口的理想通行能力只有路段通行能力的50 实际上只有通行能力的30 45 比如在枫林路丁字路口 当前普遍是采用红黄绿色灯 根据交叉路流量的具体情况 有色灯分配通行权 在交通高峰时期 应该在车流量比较大的方向改善信号灯的配时方 案等 在每一段绿灯内 冲突的相位不同时放行 调度问题的优化就是在此基础上寻找 使目标函数最有的效方案 3 交通拥阻的其他原因 车道过窄 车流过大 没有专用的公交车道 没有将机动车与非机动车分开 有些 车辆违反交通规定 交叉口红灯排队过长 右行车辆对直行的干扰等 4 路口车辆调度问题的分析 路口车辆调度问题就是给各个相位分配一定的绿灯段 使得每一绿灯段内 冲突的 相位不同时放行 而调度问题的优化也就是也就是在此基础上寻找使目标函数最优的方 案 关于交通信号的基本参数有信号周期 绿灯信号比 简称绿信比 黄灯时间 理论上相位冲突如图所示 D23 D25 D41 D45 D63 D61 冲突 D41 D25 D25 D63 D63 D41 但在枫林路丁字路口这一路段 车流量在 D23 和 D63 比较大 因此相位冲突与理 论不同 如图所示 问题简化 不考虑枫林宾馆出口与其他车道的相位冲突 D23 D25 D41 D45 D63 D61 冲突 D41 D41 D23 D23 D63 D63 D25 D25 D23 D63 D41 四 现行情况分析 在 2010 年 12 月 12 日 我们对枫林路丁字路口进行了统计调查 1 枫林路丁字路口是长沙连接河东与河西地段的主要交叉口 东面连接橘子洲大桥 西面连接枫林宾馆 南面连接大学城 北面连接长沙西站 在工作日的早上上班高峰时 车流量很大 主要为由南向东 由东向南和由北向东 人员主要为上班族和学生 2 麓山路和枫林路都有四条车道 按左二右二分配 去往枫林宾馆只有两条车道 按左一右一分配 如图 1 所示 5 图 1 注 7 为通往枫林宾馆的方向 本文分析的为丁字路口 故在模型求解时忽略 7 3 一个小时内各入口车流量平均统计结果如下 表格 车道 车流量 辆 小时 7 100 1 2400 3 5800 5 D45 的车辆不受信号灯限制 一直通行 且车流量较小 一般不会拥阻 交警部门 暂无数据 注 实际现象中在路口 7 通行车辆相比于其他路口过小 故在模型求解时忽略 7 的 车流量 由于交警部门暂无车道 5 的数据 故运用交通工程学的知识 进行现场测数据 运用概率论知识进行数据处理 得到车道 5 的车流量为 2400 辆 小时 4 现行色灯分配方案如下 X 相控制 各相时间分配 数据 此次调查的枫林路丁字路口有 7 个相位 如下表 例如 D23 意为从车道 2 开往车道 3 相位相位 D23D23 D25D25 D41D41 D45D45 D63D63 D61D61 D7D7 时间时间 s s 灯 色 绿 绿 红 无限制 红 绿 红 50 绿 红 红 红 红 绿 15 红 红 绿 红 绿 红 40 红 红 红 绿 绿 红 50 6 注 拥阻时段 交警会将 B C 两处黄灯时间适当转化为绿灯 为简化模型 将黄 灯时间忽略不计 因为车道 2 在拥阻时段车辆特别多 为在高峰时段节省时间 故实际 情况是 A 处无黄灯 D7 表示进出车辆方向 总共只有 15 秒的绿灯时间 五 建模及模型求解 一 设置缓冲区缓解交通拥堵的方案 一 设置缓冲区缓解交通拥堵的方案 在交叉路口 往往有部分路面空余且无车辆通行 故可以在此地方设置缓冲区 此 时车辆的红灯停靠地点向前有一定的移动 每个车道都可以设置不同的长度的缓冲区 而缓冲区的特点在于已经有了车辆的绿灯的行驶方向 且位于缓冲区的车辆能在其通行 时间内全部通过 同一车道上的车辆可能有不同的路线选择 故选择这样易于分离混合 行驶车辆 从而使得交叉口的通行能力有较大的提高 当车辆不拥堵的时候 人们在进入交叉口之前 就按照自己的路线情况从而转向进 入相应的车道进行排队 而当车流量很大的时候 这一步骤很难实现 故设置缓冲区有 着很实际的意义 缓冲区的长度以及方向受车道的位置限制 一般靠近路边的车道缓冲区比较长 而 靠近中间的缓冲区比较短 故可以综合考虑得到缓冲区的设置方案 由对称性 下面对图 1 的 6 道进行讨论 图 2 如图所示的虚线部分为缓冲区 车辆之间无路线矛盾则可根据实际数据求得 A 道和 B 道的缓冲区长度 不妨分别设为 a b 则显然有 a b 分别与 D25 和 D41 有关 实际 调查与查阅资料可知 a 0 2S b 0 75L 其中 S 表示路口 4 到路口 5 的距离 L 表示路口 6 到路口 1 的弧长 A B 7 深入考虑缓冲区停留的车数 不妨设车头间距为 C 则 A 车道的缓冲区车数 N1 a C B 车道的缓冲区的车数 N2 b C x 表示对 x 取整 由实际数据知 S 26m L 18m C 4 5m 故设置缓冲区 a 5 2m b 13 5m A 缓冲区能容纳的车辆为 N1 1 B 缓冲区能容乃的车辆为 N2 3 即 设置缓冲区 A 的长度为 5 2 米 且最多只允许停一辆开往 3 路口的汽车 设置缓冲 区 B 的长度为 13 5 米 且最多只允许三辆开往 1 路口的汽车 这样能达到一定程度上 缓解 6 道路的拥阻情况 同理可以再 2 4 路口进行设置缓冲区 二 二 信号灯的配时与优化方案信号灯的配时与优化方案 A 信号相位和饱和度 1 信号相位 信号相位是指在一个交叉口某个方向的交通流 或几个方向交通流的组 同时得到 的通行权或被分配得到这些通行权的时间带 例如 图 2 所示十字交叉口的情况下 通 常是相位 1 和相位 3 轮流现实的两种相位 如果因左转车数量多 需要设置左转相位时 再加相位 2 而成为三个相位 这里 图上实线表示车辆 虚线表示行人 以下相同 确定信号相位是需要考虑以下几点 1 交通安全 交叉口内发生的交通事故中 与转弯车有关的较多 因此确定交叉口相位是要考虑 交通状况 特别是穿越人行横行的行人的人数 年龄 行走状态以及左右转弯车交通量 穿越距离和对面车道的分离距离 视觉良好与否等 设置分离的左右转弯车相位和行人 相位以及执行车的相位 2 交通效率 一般来说增加相位熟 减少同一相位中不同方向交通流的数量 可以提高安全性 但是其副作用是降低通行能力和交通效率 这是因为相位数增加不但会减少分配给各交 3 8 通的相位时间 同时由于相位交替次数增加 而导致黄 全红的交叉口清空时间增加 此外 也增加了绿信号开始车辆起动时引起的损失时间 因此 从交通效率方面来看希 望减少相位数 2 饱和度 以交叉口的一条进口道 j 为例 我们把相位 i 时实际进入进口道 j 的交通量 qij 交 通需求 与进口道 j 的饱和流量 Sj 交叉口上游有充分的需求量时 单位绿灯时间的最 大通过数 比值称为该进口道的饱和度 ij 饱和度是交通控制中的一个评价标准 进口 道的饱和度也称为标准化交通量 每一个相位 i 所控制的交叉口个进口道饱和度的最大 值称为相位 i 的饱和度 i 交叉口所有相位的饱和度 i 之和称为该交叉口的饱和度 所以 在如图 1 所示的六个相位所控制的丁字路口 相位 i 的饱和度 i 和交叉口饱 和度 可表示如下 相位 2 的饱和度 2 max q23 S3 q25 S5 相位 4 的饱和度 4 max q41 S1 q45 S5 相位 6 的饱和度 6 max q63 S3 q61 S1 交叉口的饱和度 2 4 6 简单说 如果饱和度是 1 81 的话 那么一个车道本来应该在一个小时单位内通过 1200 辆车子 现在车辆过多了 车子通行量就是 1200 辆的 1 81 倍 2172 辆 一般 饱和度控制在 1 1 2 之间 不会造成堵车 我们实际调查得到的数据为 进入车道 1 3 5 的流量分别为 2400 辆 小时 5800 辆 小时 2400 辆 小时 q41 q61 2400 q23 q63 5800 q25 q45 2400 出口车道 2 4 6 的流量分别为 4500 辆 小时 2400 辆 小时 3700 辆 小时 q23 q25 4500 q41 q45 2400 q61 q63 3700 解得 q23 3200 q25 1300 q41 1300 q45 1100 q63 2600 q61 1100 1 3 5 车道的饱和流量分别为 S1 3800 S3 4700 S5 3700 代入公式 得到 2 0 680 4 0 342 6 0 553 所以 1 575 所以早上上班高峰期会造成拥阻 有上题的数据可知 若要缓解丁字路口的交通堵塞 则必须减小 的值 使得在 1 1 2 范围之内 由于流量是一定的 故一可以改善个路口的交通 S 值 从而减小 而 S 得值至于硬件有关 比如路宽 二是通过信号灯的配时从而优化问题 缓解交通拥阻 问题 具体分析如下 B 信号控制参数 9 首先对信号的相关参数进行解释和分析 信号控制中的主要参数为周期长 绿信比和相位差 这些总称为控制参数 1 周期长 一个信号灯表示绿 黄 红一个循环 从绿灯开始到下一次绿灯开始为止 所需的 时间称为周期长 以 s 为单位表示 一般来说 交叉口饱和度越高则周期越短 饱和度 越低则周期越长 2 绿信比 相位 i 的有效绿灯时间 Gi 有效使用的绿灯时间与实际灯时间只比 除以周期长 C 所得的值称为绿信比 gi 3 周期长 绿信比 饱和度的关系 周期长 C 绿信比 gi 损失时间 L 之间存在如下关系 gi L C 1 此外 为使各相位的处理能力能够满足交通需求 必须令 gi i 把此式代入上式 得 gi 1 L C 我们先对周期的长短情况进行分析 如果周期越长 则会导致一个方向有大量的车 辆堵塞 从而不能缓解交通拥堵问题 如果周期太短 则不会充分利用时间 故周期最 佳在一个比较适中的数值 由此式可以得到满足交通需求的最小周期长 Cmin 如下 C L 1 Cmin 4 相位差 周期长 绿信比是针对单个交叉路口的控制参数 而相位差则是针对多个交叉口的 控制参数 例如 考虑线控的信号机群时 从某一车流方向来看 为使车辆在交叉路口 处不受阻而流畅通过 与其使相关的信号同时显示同一灯色 特别是绿灯开始时间 不如使绿灯开始时间错开一些 这里我们称表示时间的 错开 为相位差 相位差有绝对相位差和相对相位差两种 各个信号机与该信号机群共同的基准时间 例如某个特定信号机的绿灯开始时间 的相位差称为绝对相位差 与邻接的信号机的 相位差称为相对相位差 两者均以 s 或周期长的百分率来表示 相位差的基本方式有以下几种 1 优先相位差方式 各方向交通量相差大 或单向通行 人为地欲使其优先通行时采用的方式 其目的 是使一个方向的交通通畅 此方式多用于放射状的干线道路的早晚时间段 2 平等的相位差方式 平等地处理两个方向的交通 使两个方向具有同等通畅程度的方式 此方式适用于 各方向交通量相差不大的情况 具体来说有以下几种方式 1同相位方式 沿系统路线 相邻交叉口几乎同时变绿的相位方式 相位差几乎为 0 一般信号 间隔短时 为了避免车辆不断地在交叉口处遇到红灯而停车而采取此方式 2交互式相位差方式 系统路线的相邻交叉口的信号几乎均相差半个周期显示绿灯的相位差方式 相对相 位差约为 50 10 由以上知识对路口 详见图 1 的信号参数进行估测求解 最佳周期为 C L 1 gi 由实际测量的数据知 L 4 5 s 现在对绿信比进行求解 设新设绿灯时间为 Ti 则绿信比 gi Ti L C i 2 4 6 由实际情况以及假设知 当每一条道路的车辆流通速度是固定的 故每一条出口 的有效绿灯时间与该方向的道路流量比值是一定的 故有 其中 表示误差补偿 其值很小 不妨设比值为 k 则有 g2 4 5 k A g4 2 4 k B g6 3 7 k C A B C 为与 有关的未知量 用概率论的参数估计以及数据补偿 可以解得上式中 k 1 524 故可得到 T2 63 08 63 T4 30 18 30 T6 45 89 4646 C L 1 gi 139 实际情况为信号灯周期 C 150 s 模型优化了 11 s 理想模型的优化主要是根据对三个路口的通行量进行按比例分配通行时间 更加具 有科学性和实际可操作性 C 硬件设施的改善 根据实际调查情况 在条件允许下 下面的的各种方案能很好的在分本上缓解交通拥 堵的问题 1 拓宽道路 如增加车道 设立公交车专道 专门的机动车专道等 2 在交叉路口行人由天桥或地下通道过马路 3 将中间分路栅栏设计成可活动的 便于根据上下班高峰期不同相位车流量的大小 及时移动 增加车流量大的车道的宽度 提高路面的利用率 有效地缓解拥阻情 况 4 发展智能交通系统 1 车辆依靠自身的智能在道路上安全自由地行驶 在陌生地方不至于迷失方向 2 道路依靠自身的智能将交通流调整成最佳状态 缩短行程时间 减少阻塞 3 交通控制管理中心依靠系统的智能对道路和车辆的状态进行实时的监控 及 时处理事故 保证道路通畅 D 三种方案的综合考虑 根据调查 这个三岔路口的硬件几乎不能得到很好的改善 故优化方案只考虑 A B 两种方案 由于 A B 方案都具有独立性 即互相之间不干扰 从而将两者综合考虑即 可 即设置缓冲区的同时 具体数据在上已经给出 对 3 条出车道路的红绿灯的分配 具体数据在上已经给出 从而得到最优解 X P 其中X1表示缓冲区的设置方案 X2表示红绿灯的分配方案 P 表示求最优解 11 六 计算机模拟验证 1 模拟的数学模型 丁字路口 车流量 调度规则 将整个仿真系统分为缓冲带块 有色灯分配块 硬件设施块三个主要功能块来设 计 它们各自独立 互不影响 2 模拟结果 缓冲带 有色灯的分配能缓解交通拥阻 但不能在根本上解决这个问题 而且存在 安全隐患 而硬件设施的改善则能从根本上解决拥阻问题 但是成本较高 且较难实现 七 进一步讨论 1 关于十字路口 对于十字路口的情况 就需要多考虑一个的路口 对于上述所讲的枫林路交叉口 我们在建模时考虑的情况忽略了枫林宾馆的路口 在考虑十字路口时 只需在加上枫林 宾馆的路口的车流量 相位等加以考虑 类比于丁字路口 对于十字路口的调度系统发展到现在 固定控制 需要考虑缓冲区参数 长度 车道分配方案 和信号灯参数 周期