（计算数学专业论文）抛物型方程的两种数值方法.pdf

抛物型方程的两种数值方法 摘要 本文进行了如下三部分的工作 第一章研究了一类二阶抛物型方程组的一种新数值方法一再生核函数法借 助l a p l a c e 修正g a l e r k i n 格式，利用再生核函数的性质，直接给出了问题的解的 显式表达式，从而避免了传统方法中线性方程组的求解用能量方法分析了此方 法的收敛性和稳定性，给出了一些数值结果 第二章把再生核函数方法应用到一维非线性对流扩散方程，给出了相应的理 论分析和一些数值结果 第三章研究了非线性b 、l r g e r s 方程的特征局部间断有限元方法在非线性对 流项的处理上采用浩特征线方向的离敌方式，对扩散项的处理采用局部间断有限 元方法，把数值流通量的思想融入到有限元方法中，既保持了特征线方法可进行 大时间步长计算的优点又具有间断解的适应性，最后甩能量估计的方法给出了方 法的最优阶估计 关键词：二阶抛物型方程组，再生核函数，对流扩散问题，b u r g e r s 方程，特 征间断有限元 t w on u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n a b s t r a c t t h ec o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o n & r ed i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t 尸ro n e ，an e wm e t h o do fa p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o no fs e c o n d - o r d e r p a r a b o l i cs y s t e m1 m i n gr e p r o d u c i n gk e r n e lf i m c t i o ni sd e v i s e d t h et i m ed i s r r “谤a r t i o na r ef o r m u l a t e d 印l a p l a r e - m o d f f i e dg a l e r k i np r o c e d u r e ，a n dt h ea p p r o x i m a t i n g s o l u t i o na te a c hd i s c r e t et i m e 砒叩i sg i v e nw i t hc x p l i c i tf o r m x d a t h es t a b i l i l 了a n d e r r o rc s t i n l a t ca r ed e r i v e db yu s i n gt h cc n e r g ym e t h o d s o m cm u n c r i c a lr c s i n t sa r e p r e s e n t e d h ic h a p t e rt w o ，a p p l yt i l er c p r o d u c i n gk e n m lf t m c t i o nm e t h o dt oo n c 。d h a c m i t m l n o l l l i l l e a rc o n v e c i o n - d i f f u s i o np r o b l e mt i ms t a b i l i t ya n de r r o re s t i m a t ea r ep r o v e d w i t he t i e r g ym e t h o d s o l n en m n e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e d i l lc h a p t e rt h r e e ，t h ed m r a c t e r i s t i cl o c a ld i s c o n t h m o u sg m “k mm e t h o df o rs o l v - i n gn o n l i n e a rb u r g e r se q u a t i o ni sd e v i s e d i nt h i sm e t h o d ，ac h a r a c t e r i s t i cp r o c e d u r e a p p r o x i m a t e sn o n l i n e a rc o n v e c t i o nt e r ma n dal o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o da p - p r o x i m a t e sd i f f u s i o nt e r m t h em e t h o dk e e p st h ea d v a n t a g eo fc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d ， c a nb ec a l c u l a t e dw i t hl a r g et i m es t e p ，a l s oi tb r i n g sn m n e r i c mf l u xi n t of i n i t ee l e m e n t m e t h o d a no p t i m a le r r o re s t i m a t ei sd e r i v e dw i t he n e r g ym e t h o d k e yw o r d sj s e c o n d o r d e rp a r a b o l i cs y s t e m ，r e p r o d u c i n gk e r n e lf u n c t i o n ， c o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m ，b u r g e r se q u a t i o n ，c h a r a c t e r i s t i cd i s c o n t i n u - o u sf i n i t ee l e m e n t i i 引言 在物理、化学、力学、生物等学科中，经常出现大量的线性或非线性的抛物型 方程或抛物型方程组为了求解这些不同问题中的抛物型方程组，已经有许多学 者进行了理论上和数值上的研究【1 - 5 】，但无论是有限差分法还是有限元方法， 在求解的过程中通常需要解大型代数方程组再生核函数最初被用来分析再生核 空间中算子方程的解析解【昏8 】，后来被推广应用于偏微分方程的数值求解，即基 于偏微分方程的变分形式，利用再生核函数的特殊性质，得到解的显式表达式 这一方法在非线性双曲方程、抛物方程、半导体器件数值模拟及多孔介质中两相 不可压流驱动问题都取得了成功的应用【9 - 1 1 1 本文在上述问题的基础上，对一 维抛物型方程组及非线性对流扩散方程的再生核函数方法进行了研究，给出了每 个离散时间层上近似解的显式表达式，并利用能量方法分析了方法的收敛性和稳 定性，最后给出了一些数值结果 b u r g e r s 方程最早由b a t e m a n 1 2 1 提出，后来b u r g e r 把该方程应用于湍流问 题【1 3 | 物理实际中，很多问题都可以表示成b u r g e r s 方程，如热传导问题激波 问题等尤其是在流体动力学问题中，b u r g e r s 方程作为n a v i e r - s t o k e s 方程的一 个简化模型发挥了重要的作用5 0 年代，h o l f 【14 】和c o l e 1 5 】对b u r g e r s 方程的解 析解进行了研究，通过把方程转化为线性扩散方程进行求解关于此类方程的数 值解法也有大量的工作，主要是有限差分方法和标准的g a l e r k i n 有限元法。详见 文献 1 6 卜 2 0 】1 9 8 2 年d o u g l a s 2 1 提出了对流扩散方程的沿特征线离散方法， 此方法关于时间的截断误差比传统的差分方法要小得多，分子扩散实际上是沿特 征线方向的，用特征线方法处理对流项将具有较高的精度因而在不损失精度的 情况下，可以采用大时间步长计剪另外，用此方法可避免数值弥散和非物理的 数值振荡现象1 9 9 9 年，罗振东和刘儒勋【2 2 】采用了混合有限元来研究b u r g e r s 方程，通过引入中间变量将扩散项降阶，从而降低了有限元空间的光滑性要求 间断有限元方法( d g m ) 是采用在单元交界处完全间断的分片多项式空间作 为试探和检验函数空间的一类有限元方法，最早出现于1 9 7 3 年r e e d 和m 1 1 1 2 3 】关 于中子输运问题的论文8 0 年代以来，出现了丰富多样的d g m 方法，如b a s s y - r e b a y 方法，b a u m a n n - o d e n 方法、b a b u s k a - z l a m a l 方法等由于众多学者的不 断发展，间断有限元方法，近年来发展的间断g a l e r k i n 有限元方法【2 4 - 2 6 】，特 别是9 0 年代以来以c o & b u r n 和c k i - w a n gs h u 为代表提出的r u n g e r - k u t t a 间断 g a l e r k i n 方法f 2 7 - 2 9 1 ，尤其引人注目它在解决椭圆方程、双曲守恒律组、波动 方程 3 0 】、h m i l t o n - j a c o b i a 方程 3 1 】、k d v 方程 3 2 】等问题中都卓有成效 1 9 9 8 年，c o c k b u m 和s h u 3 3 】提出了对流扩散方程的局部间断有限元方法 ( l d g ) ，并在一般数值流通量下给出了次优阶误差估计，但数值试验却表明当数 值流通量取为特殊情况时，在平滑区域可以达到最优阶估计2 0 0 0 年，c a s t m o 3 4 l 针对一维线性常系数的对流扩散方程的l d g 方法进行了研究，在特殊数值流通 量的情况下给出了理论上的最优阶估计，这被认为是1 9 7 4 年l e s a i n t 和r a v i a r t 3 5 l 关千纯对流方程间断有限元解最优阶估计的一个推广 本文在上述方法的基础上，针对非线性的b u r g e r s 方程，把持征线与局部间 断有限元方法结合起来，给出了一种特征局部间断有限元方法，对非线性对流项 的处理采用沿特征线方向的离散方式，对扩散项采用局部间断有限元方法，该方 法不但保持了特征线方法可进行大时间步长计算的优点，而且把数值流通量的思 想融入到有限元方法中，使得该方法具有间断解的适应性，最后给出了近似解的 最优阶估计 2 第一章解二阶抛物型方程组的再生核函数法 本章在有限区域d = ( mb ) ( 0 ，卅= ，x ( o ，卅上研究下述初边值问题 l 袅t z 。( 7 ，# ) = 击 口( ，) 击，- d ( ，t ) l 十，( ，) ，( 。，) d ， 一 ( z ，o ) ：( z ) ，z ， ( 1 1 ) i ( n ，) = 0 ，“。( b ，t ) 一0 ，t ( 0 ，t i 其中玩口( z ，) ，( z ) ，f ( x ，t ) 是给定的函数，o = 1 ，2 ，m 文中建立了一种新型的数值计算格式，用能量方法证明了差分格式的收敛性和无 条件稳定性；给出了数值箅例，得到了与理论分析相同的计算结果 1 1 预备知识 为便于理论分析，假定问题的解充分光滑，且系数取口“，t ) ( n ，= 1 ，2 ，m ) 满足下列条件 k 1 k 印( z ，t ) 一j 妇。( ，t ) ； k 2 存在常数口l 0 ，叻 0 使得对于任意实数组( f l ，吖) 有下列不等式 成立 o 1 g 硒( 毛t k 妇0 2 ：，( z ，t ) d ； ai 口肛l i k 3 j i ( t ) 在区域西= 1 2 , z 1 ，o t ，上充分光滑，特别是存在常 数k o 0 。使得 酬圳i k u ，i 型坐掣l 譬，相同于文献i s 中的中心差分l a p l a c e 修正g a i e r k i n 格式，作问 题f 1 1 3 ) 的离散时问近似 4 i ( a 扩，。) + a t 2 ( 伊叼，u z ) + ( 驴啦，u 。) 。( r ，u ) ， v w ( 硎) m ，n = l h 2 n 一1 ， ( 1 2 1 ) i 扩：妒 c ，“1 ( 拶) = 2 u ”( ) 一2 ( u “( 卫) 一u “一1 ( 丁) ，月( z ，”) ) ( 1 2 4 1 一u , , - 1 0 ) 一2 t ( k n 【，? ( z ) ，譬( 而”) ) 十( ，”，五( t ，”) ) 、 对上式关于”求导数 垡茅( ) = 2 警( p ) 一2 ( v “【z ) 一u - - i ( z ) ，筹( 础) 眦5 1 2 笔等二( p ) 一2 - r ( k n 【霉( z ) ，0 2 r 2 ，( 、x ，) ) + ( p ，g ；o ，) ) 、。 设s 为( 嘲) 的有限维子空问，且对任意的u ( z ) 磁7 ， u ( 。) = l ( u ) 啦( z ) 其中m ) ，i = 1 ，为u 或其导数在结点处的值，饥( z ) ，i = 1 ，为卵 的基函数 问题( 1 1 3 ) 的全离数近似可以表示为 求w 硝，n = 0 。l ，n ，满足 叼+ 1 ( p ) 一2 叼( ) 一2 ( 叼( z ) 一叼_ 1 ( z ) ，袁( 。，p ) ) 一u ：一1 ( ) 一2 v ( k n 【毫( z ) ，鐾( z ，f ) ) + ( ，“，五( z ，f ) ) ；2 叼( ”) 一2 圭( m ( 矿) - l ( 叼一1 ) ) ( 也( n 五扛，) ) ( 1 ，2 6 ) s = l 一叼一- ( ) 一2 ，圭肛( 叼) ( 耳n 班。，甓( x , y ) ) + ( ，i ，豆( z ，f ) ) ， t = l 5 墨萨( y ) = 2 筹( ) 一2 ( u zc x ) 一叼。( z ) ，筹( 舢) ) 一苎簪( ) 一2 r ( k “( z ) ，器( 刚) ) 十( r ，笛( 咖) ) = 2 警( 口) 一2 妻( m ( 叼) 一趣( 叼- 1 ) ) ( 以( z ) ，普( z ，) ) 一! ；( ) 一2 r 毫m ( 叼) ( k “班。，蒜( z ，) ) + ( ，“，苗( z ，) ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 给出了问题( 1 1 ) 近似解的显式表达式 由于本格式是一个三层格式，实际计算时可先通过l a p l a c e - g m e r l d n 双层由u o 计 算出u 1 然后再利用本格式逐层进行计算沪，矿3 ，c ， 1 3收敛性和稳定性分析 引理1 1 ( g r o n w a l l 引理) 4 】假设仍蛾x 是关于t = n r ，n = 0 ，l ，的非负 函数，x 是非降的若 一1 机+ 机般+ k r ，= o ，1 ，n 则 饥十妒k x k e 7 ，k = 0 ，l ， 定理1 1 ( 收敛性估计) 假设原问题( 1 1 ) 的解“日3 ( o ，丁；h 2 ( ，u ”是差 分方程( 1 2 i ) 的解，条件k l 、k 2 、k 3 成立，且 幡一u 1 i i l c r 2 ， 则 i y l l w 一n 。e | | 2 什蝴2 ) c 一 ( ) 其中矿一矿一u ” 证明用( 1 1 3 ) 减( 1 2 1 ) 可得误差方程 ( a e t l ，u ) + a 一( a 2 e ：，地) 十( 丘仉，0 - 3 z ) = ( a u 一毗，“j ) + a r 2 ( ，吨) ( 1 3 2 ) 取u = a e “，则 i i d 矿酽+ 窘( | i + 1 1 1 2 一| | 一1 酽) 一2 州露，抛：) 6 + ( k “e ：，a 喀) = ( a u 4 一慨，0 e 4 ) + a r 2 ( 护“：，a 4 ) 利用s & w z 不等式和y o u n g 不等式估计( 1 3 3 ) 右端两项 ( a h “一t h ，0 e “) 圭i i d “一“t i 2 十5 0 d e “1 1 2 c r 4 + e l l o e “1 1 2 ， a r 2 ( 0 2 u ：，a e ：) = 一a r 2 ( 0 2 u l ，a 矿) c r 4 i i 护吃1 1 2 + | j a e ”i 2 ( 1 3 3 ) 两边同乘以2 r ，并对n = l ，2 ，w l ( w = 2 ，3 ，j v ) 求和 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) w 一1 2 ( 1 2 e ) i i & ”0 2 r 十a ( i | c y i l 2 十i l c 乡一11 1 2 ) n = 1 wf-+2r1 ( f k 。一2 a e ) e ：，a e ：】t e a 0 ) 、 ( ( k “一，a ) n = l c r * + a ( 1 i t | | 2 + 0 e o 旷) 考虑到条件虬估计( 1 3 6 ) 左端第3 项 1 2 r ( ( 耳“一2 a e ) 4 ，a e ；) i ：i a r 童1 ( ( 譬一2 e ) 。：，竽j a rw 厶- 2 l 、丁k n + t 一2 司”，芋) i ：i ，童2 ( 苴哗尘e ：，矿1 ) + a ( ( 丝# 一2 e ) 。乡，) 一a ( ( 譬一2 e ) e ：，畦) i (1硼w sg - 1i i ，：0 2 ，+ i i ! ；三一2 e l i l 。( 1 1 ，一- i l ：十i i ，i l 。) 、。 + 20 譬一2 e i l 。( 1 l d l l 2 + i l e o a 2 ) c 1 1 4 1 1 2 r + ( 1 一q ) 圳彤0 2 + 0 - 1 2 ) 十c ( 1 l d l l 2 + j | 鲤j j 2 ) ，( o 口 1 ) ， 由( 1 3 7 ) ，并注意到初始及假设条件，( 1 36 ) 可变为 一)蹩1渺02r+qml2(1 2 e e 耶一) 8 a e “0 e ，j i o ，l ；1 w 一1 c r 4 + c ( 1 l e t d l 2 十4 也酽) + c 0 e ：1 1 2 r( 1 3 8 ) n l l y 一1 c r 4 十口j l e ：1 1 2 f n = l 由g r o n w a l l 引理，( 1 3 1 ) 成立 证毕 7 在( 1 2 1 ) 中取u = a u n ，用相同的方法可得到如下稳定性结论 。黑 三l l a u 1 2 川l 洲 c ( 1 l u ：1 1 2 十i l 蠼j 1 2 + 1 1 1 删2 ) ( 1 删 1 4 数值结果 对本文提出的差分格式，进行数值试验，取精 ，数值结果见下表实际计算时，在( 研( 删” 上利用分片线性插值方法构造有限维子空间踏记。= “n ( j ，n ，) ，= 以( j 6 ，”) ，。孙2 厂喵，i i c ：；l l c21 墨至l i 。：j i ，i i c l l l s m 。a x mi i c ： l c ，12 ( “，7 ) ，* 2 ( o 1 ，0 i ) 2 4 a = o ，l ，2 ) ，e r r w ；对应于步长m 的误差i i w v l 。，肌搬= l 0 9 2e r r o r , _ 。k t 、i = 1 ，2 ) 由表l 结果可见，当步长减半时，误差大约减少为原来的l 4 ，而且由图 还可看出，计算解与精确解的曲线吻合的很好，这验证了作者理论分析的结果 表1 不同步长乍时的误差和收敛阶 t s t e p e r r o rr a t et s t e p e r r o rr m p 7 0 00 3 8 7 加 0 u 2 6 4 1 仇 0 0 0 6 52 5 7 3 82 7 l 0 0 0 5 62 2 3 7 0 忱 0 0 0 1 52 1 1 5 5 他 ol 1 0 1 42 0 0 0 0 伽 0 0 1 7 7 4 m 0 0 1 6 4 3 7 1 00 0 4 91 8 5 2 94 丁l 0 0 0 4 51 8 6 5 7 y 2 0 0 0 1 22 0 2 9 7 y 2 0 0 0 1 1 2 0 3 2 4 8 1 l r 2 l 啊 犯淼 蛳倒 啦，一、 剐 叫 图1 1 ：t = 2 ，( h ，r ) = ( o 1 ，0 1 ) 时精确解与近似解的波形比较 图12 ：t = 2 ，( h ，r ) = ( 0 0 5 ，00 5 ) 时精确解与近似1 | | 孚的波形比较 9 图l3 ：t = 4 ，( h ，r ) = ( 0 1 ，0 1 ) 时精确解与近似解的波形比较 图14t = 4 ，( h ，r ) = ( 0 0 5 ，o 0 5 ) 时精确解与近似解的波形比较 1 0 第二章非线性对流扩散问题的再生核函数方法 2 1 问题的提出 本章在有限区域d = ( a ，b ) ( 0 ，卅= i ( 0 ，卅上研究如下非线性对流扩散问 题 i “t 十( f 0 0 ) 。= 幻( ，- ) ，t 。) 。，( z ，t ) d ， “( ? ，o ) = 妒( z ) ， z i ， ( 2 1 1 ) i “( d ，t ) = o ，, k b ，) = 0 ，t ( o ，列 其中，( 一) ，9 0 ) ，妒协) 为已知函数 文中利用第一章中所提出的再生核函数方法对非线性对流扩散方程构造了一种 新的数值格式，并对收敛性和稳定性进行了理论分析，给出了一些数值结果 2 2 数值格式的构造 为便于理论分析，假设问题的解充分光滑，且函数，( s ) ，9 ( s ) 满足如下基本 假设； 对于任意的s 1 ，观，5 r ，存在正常数g l ，9 2 ，工，使得 o 9 t 9 ( s ) 9 z ， b ( 5 1 ) 一9 ( 此) i l i s i 一此j ， ( 2 2 1 ) l f ( 8 1 】一，( 观) i l i s t 一见i 取( ，) 表示l 2 ( ，) 上的内积，问题( 2 1 1 ) 可以写为如下等价变分问题： 求“( ，t ) ：( o ，卅础( ，) ，满足钆嘲( d 一) + _ ( “乱) a - o ， ( 2 2 2 ) l 乱( z ，o ) = 妒( 互) 如同第一章中的方法和记号，利用再生核函数作问题( 2 2 2 ) 的离散时问近似，即 求扩e 础，n = o ，1 ，满足钆硎( ，) 【o u ，u ) + 产( 疗2 譬，“k ) + ( 9 ( u “) 叼，此) 一( ，( 【，“k ，u ) = o ， n = ”，“ ( 2 _ 2 3 ) 【u o = 妒( z ) 1 1 取p = 2 a t ，则( 2 2 3 ) 等价于 ( 矿”+ 1 ，。) = 2 ( 矿”，。) 一( u n - 1 , w ) 一2 ( u n - u n l , w ) ( 2 2 4 1 2 r ( 口( 泸) 叼，) + 2 r ( ，( u ”) ，此) 在( 2 2 4 ) 中取u = r ( 五y ) ，并注意到( 1 2 2 ) 式可得 u “i1 ( ) = 2 u “0 1 ) 一2 ( 矿”( 7 ) 一矿”一1 ( 。) ，月( 7 ，口) ) f 2 2 5 ) 一扩。( 9 ) 一2 r ( 9 ( u “) 叼一，( 泸) ，碧( ，班 。 ( 2 2 5 ) 式对口求导数 嘞加霉拦2 ，- 扩( g ( 扛v ：z 二甚糍纠 江：删 一i ；( 们一”) c 譬一，( u n 】，g 籍( 以) ) 、 设甄为础( ) 的有限维子空间，且对任意的u ( z ) 鼠， “( z ) = l ( u ) 砒( z ) 其中札( u ) ，i = 1 ，j 为u 或其导数在结点处的值，也( z ) ，i = 1 ，j 为甄的 基函数 问题( 2 22 ) 的全离散近似可以表示为： 求w 魏，n = 0 ，l ，n ，满足 c ，三( y ) = 2 u p ( ) 一2 ( e 臂( z ) 一j ：一( z ) ，月扛j 计) 一暇一1 ( p ) 一2 r ( g ( 叼) c ，盈( z ) 一，( v ，n 。) ，警( 毛) ) 2 2 叼( y ) 一2 蚤( m ( 扩) 一m ( w _ 1 ) ) 陬( 。) ，矗( z ，9 ) ( 2 27 ) 一嘴一1 ( ) 十2 ，( ，( 圭m ( 叼m ( ，) ) ，箬( l ) ) j；1 一打em ( 叼) ( g ( 三i ( 叼) 以( z ) ) 。舞( 口) ) ， t = ll = i 里簪( f ) = 2 警( ) 一2 ( u z ( z ) 一叼一1 ( z ) ，嚣( 枷) ) 一! 簪( ) 一2 r o ( c 研) 亿( z ) 一，( 叼) ，笔磊( z ，p ) ) = 2 警( f ) 一2 薹( m ( 叼) 一m ( 叼。】) 陬( 乩嚣( 丑蝴( 2 2 8 ) 一! 簪( ) + 2 r ( ，( 妻m ( 叼) 讥( ，) ) ，盎( _ ”) ) 一2 r 耋m ( 叼) ( 9 ( 耋札( 叼) 讥( 圳饥。，嬲( 而枷 ( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 给出了问题( 2 22 ) 近似解的显式表达式同样，本格式是一个三层 格式，实际计箅时先通过l a p l a c e - g a l e r d n 双层格式由u o 计算出矿1 ，然后再利 用本格式逐层进行计算u 2 ，u 3 ，u 2 3 收敛性及稳定性分析 定理2 1 ( 收敛性估计) 假设原同题( 2 1 1 ) 的解u h 3 ( o ，丁；h 2 ( 功，u ”是差 分方程( 2 2 3 ) 的解，条件( 2 2 1 ) 成立，且 i i 1 一u 1 0 l 岛户，( 2 8 1 ) 则 。m a x ( ( 秽o 2 ) ) 一 (2删_ 2 , r + i l e y l l c 其中e “= 矿一u ” 证明 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 可得误差方程 ( a 8 “，u ) 十灯2 ( 铲，岫) + 0 ( 矿“) 露，乩) 一( ，( 乜“k 一，( 【，i ) z ，u ) ( 2 3 3 ) = ( a 矿一孵，u ) + 产( a 2 嵋，) + ( g ( v “) 碹一9 ( 矿) 嵋，) ， 令u = o e ”，则( 2 3 3 ) 可变为 0 a e “2 十砉( 1 “j 1 2 0 e ；“一2 a ( 露，a 露) 十( 9 ( p ) 露，d e ：) 一( ，( 1 ，k l ( u “) ，o e “) ( 2 3 4 ) = ( 扎4 一u ，a 矿) + a r 2 ( 8 2 记，a ) 十( 9 ( 驴) 嵋一9 ( 俨) 嵋，a e ：) ， 利用s c h w a r z 不等式和y o u n g 不等式估计( 2 3 4 】式右端三项 ( 甜辞，c o e ) 去| | 甜一辞2 + e | | a e “| 2 o r 4 + e i i o ：1 1 2 ( 2 3 5 ) r 2 ( 护磁，巩：) = 一a r 2 ( 护“羔，a 矿) c r 4 l l f ) 2 也1 1 2 + l l a e ”悒 ( 2 3 6 ) ( g ( v 8 ) 砭一g ( 扩) 嵋，此) = - ( ( g w “) 一9 ( t 4 ) ) u 墨，8 e “) 一( ( 9 ( 【 1 ) 一g ( 2 n ) ) 。记，8 e “) ( 2 , 3 7 ) c 1 e ：1 2 + 0 a 矿4 2 估计( 2 8 4 ) 左端最后一项 i ( ，( “k - l ( v “) 。，& “) i = f ( 丘( “) - a ( u ”) 四，“) l g | 1 8 捌2 + e f 洗“肛( 2 3 8 ) 注意到( 2 3 5 ) 一( 2 3 8 ) ，对( 23 4 ) 两边同乘以2 r ，并对n ：1 ，2 ，w 一1 f 矿； 2 ，3 ，) 求和 w l 2 ( 1 2 ) ei a e “f 1 2 r + a ( h 彤】j 2 + j j 彰一1 0 2 ) w l 一1 + 2 7 三( 0 ( 扩) 一2 a ) 露，雠)( 2 3 9 ) c r 4 + ce i e - ：1 1 2 r + c ( 1 l c ：1 1 2 十i i c ! 2 ) ， 假设 。焉黑f | ( 矿一矿_ 1 ) 打 q ，( 2 3 ，l o ) 由( 2 3 1 ) ，并注意到e 0 = 0 ， l | ! 笋坐i l 。j j c z i - e qj j 。十jj 2 ：笋j l 。 = ；i i e l i i 。+ 0 u l j _ ? ajj 。 譬i i e ll i l + i i 型号进| f c c u t + ij 尘亏生i i 。 由( 2 3 1 0 ) ，当r 充分小时，有 u * _ - u 。| f q 为了估汁( 2 3 9 ) 左端第三项，作如下归纳假设 1 1 竿1 1 。 c l ，n ：l ，2 ，, w - 1 f 2 3 1 1 1 考虑到( 2 2 1 ) 、( 2 3 1 ) 及上述假设，估计( 2 3 9 ) 左端第三项 叫：筹( ( 华叫噶竽r 蓉( 牮- 2 ) 班割 呻警( 业掣删州甬叫妒- 瑚 叫w - ( 产= 2 删_ 。， ( 2 柚。) c 量h 钏丛学一2 i c w - - 12 z ) 1 砷 + | | 2 号一2 1 1 l 。( i i e ：1 | z + i i e ! 胪) sce 1 1 1 1 2 r + ( 1 一们a ( i i 一1 1 1 2 十0 j 1 2 ) 1 4 其中0 q 1 由( 2 3 1 2 ) ，并注意到初始条件及假设条件，( 2 3 9 ) 可变为 w - iw - i 2 ( 1 2 f ) f l o e n0 2 r + q a l l e 乡1 1 2sc r l + c i l e ：1 1 2 l ( 2 3 1 3 ) n = ln = 1 由g r o n w a u 引理，( 2 3 2 ) 成立 为完成收敛性证明，需验证归纳假设( 2 , 3 1 1 ) 对n = w 仍然成立 | i 坚! = 孚! 兰j l 生：= 兰兰i i + 0 型兰= ；兰兰| 1 c i i 下e w w - 1 i h 十0 尘竽l i 。 c r + 0 坐亭竺 由( 3 3 1 0 ) ，当r 充k , j , m t ，有 8 u w _ ：u w - 1 峙 0 利用本文提出的数值恪式，对上述问题进行数值计算，在计算中。利用分片线性 插值函数来计算数值积分，针对不同的参数u o 和不同的步长，得到如下数值结 果其中e = 已r 一7 = ( l ) ，仉= ( o 1 ，0 1 ) 2 l ，觑t e ( 。) = l 0 9 2 等缔 ，o = o ，l ，2 ) 由 表中结果可见，当步长减半时，误差减小为原来的四分之一，这验证了理论分析 的结果另外，作者还给出了步长为1 l ，u o ；0 1 ，o 0 1 时不同时刻的近似解的波 形 t 1| | e | | r a t e t 1 i r a t e 7 0 3 0 1 5 2 争2 伽 1 2 7 3 3 e _ 2 0 5 槐 7 6 3 1 6 e - 31 9 9 9 31 0 7 1 3 1 3 6 2 e - 3 2 0 2 1 5 他 1 8 5 4 l e - 320 4 1 3 他 7 8 3 5 4 e _ 42 0 0 0 9 彻 1 0 5 6 3 e _ 2 伽 8 3 1 7 2 e - 3 1 5 1 l 2 6 1 0 0 e 3 2 0 1 6 92 0 1 1 2 1 1 2 6 e _ 31 9 7 7 1 7 25 8 3 7 似 2 1 6 0 6 y 2 53 2 8 3 “1 9 8 7 3 t 1 i r a t et 7i r t p 加 5 1 3 3 4 e - 2 7 0 3 1 9 2 0 e - 2 o 5 饥 1 2 7 5 5 e - 22 0 0 8 91 0 7 1 7 8 2 5 4 e 32 0 2 8 2 他 3 0 1 7 8 e - 32 0 7 9 5 加 1 7 5 2 82 1 5 8 5 2 3 3 9 l e - 2 加 1 3 3 2 3 e - 2 1 j 5 3 1 5 7 8 5 2 e - 32 0 1 5 52 0 7 l 3 4 7 9 5 e 3 19 3 7 0 忱 1 4 舛3 p 3 1 9 5 2 9 仇 8 1 3 5 2 e - 42 0 9 6 6 图2 1 ：峋= 0 1 ，步长为m 时t 时刻近似解的波形 图2 2 ：蜥= 0 o l ，步长为m 时t 时刻近似解的波形 第三章非线性b u r g e r s 方程的特征间断有限元方法 3 1 引言 本章对一类非线性b u r g e r s 方程建立了特征间断有限元的全离散搭式，对非 线性对流项的处理采用沿特征线方向的离散方式，对扩散项采用局部间断有限元 方法，该方法不但保持了特征线方法可进行大时间步长计并的优点，而且把数值 流通量的思想融入到有限元方法中，使得该方法具有间断解的适应性，且具有最 优阶精度 3 2 问题的提出 考虑如下一维非线性b u r g e r s 方程的初边值问题 i 饥十c u u 。一加“骝= 0 ，( z ，t ) nx ( o ，? ) ， ( z ，0 ) = t 0 ( z ) ， 。n ， ( 3 2 1 ) 【“( d ，t ) = ( 6 ，t ) = 0 ， ( o ， 其中“表示速度，c 为正的常数，是黏性常系数，如( z ) 是已知的初始值函 数，求解区域n = ( n ，b ) 3 3 特征间断有限元格式 记妒( z ，“) = ( 1 十c 2 “2 ) ，相应于箅子m + 地的特征方向记为r ，即有 茅= 志瀑+ 丽c u 瓦a ( 3 姐) 9 r 妒( z ，) a f 。妒( o ，u ) 加 、。7 豢黧_ 篡叫0 i 饵弛， 毋= ( l ，如) 丁= ( 一的，一俪t ) 下 则问题( 3 3 2 ) 可写为如下形式 母( z ，u ) 筹十( 吼) ；= 0 ，扛，t ) nxc o ，丁) ， 口+ ( 也) ? 2o ，( 。，。) n 。( o ，t ) ， ( 3 删 u ( z ，0 ) = 乱o ( z ) ，z q ， u ( 8 ，t ) = u ( b ，t ) = 0 ，t ( 0 ，t ) i 1 2 勺一勺一l ，j = 1 ，2 ，j ，6 2 暗( b 。 fm 鲁，”) 一( 札，k ) 十酬地 ( q r ) h 九嘲柏叫。划， 。3 5 f 似警，”) w 汕) l + 硼，- 0 汜i ) ：j - 麓誊。， ( 3 3 1 6 ) 1 9 其中r 。( ) 表示l 上次数不高于m 的多项式的全体 记 ， m = u + 一“一，日= ! 兰二j ；盟 数值流通量；取为如下形式 在边界处定义 渺u ，弘c 一佩一何卜( 一奠 ( ，q ) ( u + ) = ( “( u ) ，q ( “+ ) ) ，( “，q ) ( 6 + ) = ( “( 6 ) ，q ( b 一) ) ( 3 3 7 ) 下面给出关于数值流通量的两点说明 1 注意到c 2 2 = 0 ，这佯在根据u h 计算q h 时就可以按照空间单元逐个进行。这是 本方法的局部可解性，因此称为局部间断g a l e r k i n 有限元方法 2 系数c 1 2 用来提高方法的精度由文献 3 4 】可知，当c 1 2 = 0 时，对于光滑函数 本方法只能达到次优阶精度，而本文把数值流通量取为如下形式，可以达到最优 阶精度 f ( 一师g 以+ ) ，一 面t ( n j ) 7 ，i = o ， ( 巧) 2 ( 一、石口( 哆) ，一、面t ( 丐) ) 7 ，j = l ，2 ，一l ， ( 3 38 ) 【( - v 丽q ( b 一) ，一和( 6 ) ) r ，j = 一 事实上，( 3 3 8 ) 可由( 3 3 7 ) 在c 1 2 取如下值的时候得到 c j 2 ( 吻) ； 同2 ：产1 2 ，卜l ( 3 3 9 ) i 一沥2 ，j = z 对时间区间【0 ，t i 进行均匀剖分，令0 = 护 t 1 t 。= z t n = n a t ，a t = 丁，记u n = “( 罨t ”) ，用如下近似公式逼近沿特征方向的导数 妒筹= 妒篙撵= 业掣 其中a ( z ，t ) = t ( 2 ，t a t ) ，i = z 一“( z ，t a t ) a t 则相应于问题( 3 3 6 ) 的全离散特征间断有限元近似为 叫 、 眈o l ( 叼，”) 一5 t ( 4 , t ( w d ，) l + f ；( w ) u | ：= ( 霹，r ) l ， ( 砒州2 ( 吩) ，r = ) 1 j 畅( w ) r l 。- 0 ，( 3 3 1 0 ) 【( 硼，u ) = ( o u ) 0 = 1 ，2 ，一，) ( + u u ，w ) ，= 0 ， ”一u ( 巧) = u ( z j ) ， 记怕表示区域d 上的工2 模，当d = n 时记 = 叭对于v = ( r ) 定 义能量范数 l i v l l 刍= i i v l l 2 十a t l l r l l 2 ( 3 4 2 ) 为了引入在区间段上的投影误差，先引入参考单元1 = ( - 1 ，1 ) 及下面的半范 数 怫) 。，( 删2 ( 1 十) 。( 1 一z ) 。幽 其中一为非负整数 ， 引理3 4 1 1 3 6 1i = ( 一1 ，1 j 为参考单元，假设u v 5 ( ns 为非负整数， 口+ u ，m ( i ) ，则以下估计式成立 1 1 士，一u i i j 西( s ) m a x 1 ，m ) ( + 1 ) l u i v c j ) ， i ( 丌士o , v u ) ( 士1 川垂( 3 ) m a x 1 ，n ( + 1 ，2 ) l ，i y ( n ， 2 1 ，3 吐 i u 旧= u 咖一 其中壬( 5 ) 只依赖于8 ，与m 和u 无关 引理3 4 2 【3 6 j 对于u 日”1 ( ) ，j = 1 ，2 ，j ，520 ，有如下估计 1 1 7 r = i ：c o - - i i t 壬c 一) ：耋：i ；i 尚i i u o ”。+ - c t ， ( i f + c o - - ；0 ) ( 巧) i 兰酬忑a t o m 石 s 而：n + 丽u 2 州) ， | ( ”一。一。) ( 勺一1 ) l 西o 二：i _ ；：f i 丽o u i i 盯。“( 其中西( 5 】只依赖于s 而与m ，l ，u 无关 相应地，投影”也满足 “”士“n u 川一一( l ) 壬( s ) ：圭i 器u ”( ) 对问题( 3 3 i 0 ) 关于