（运筹学与控制论专业论文）有负顾客及多种服务速度的mg1可修排队系统.pdf

中山大学硕士论文 有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 有负顾客及多种服务速度的m g 1 可修排队系统 随机运筹学 硕士生：王钰磷 指导老师：尹小玲副教授 摘要 本文主要研究了排队论中一类有正、负顾客及变速度服务的m g 1 可修排 队系统。在本排队模型中，正、负两类顾客的到达形成相互独立的泊松过程；当 前服务速度与上次服务完成后看到排队人数有关；服务器具有寿命，当寿命结束 的时候将进入修理状况，修理完成后继续正常服务；负顾客若在系统工作时到达 系统，则视乎服务阶段带走正在接受服务的正顾客或不影响服务器而离开。本文 用系统的等价性求出系统存在稳态的充分条件，用补充变量法，矩阵方程以及母 函数方法给出系统的瞬态以及稳态方程组并求解，求得瞬态以及稳态下系统队长 的概律母函数以及系统的平均队长和系统的可用度等排队指标。最后，通过对特 殊情况的分析得到了与现有文献一致的结论。 关键词：变速度，可修系统，负顾客 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m ，g l 可修排队系统 a nm g 1r e p a i r a b l eq u e u e 、访t 1 1n e g a t i v ec u s t o r n e r sa 1 1 dv a r i o u ss e r v i c er a t e s t o c h a s t i co p e r a t i o nr e s e a r c h n 锄e ：y u l i i l w a n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o x i a o l i n g n a b s t r a c t a nm g 1r 嘶a lq u e u ew i t hb o t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec u s t o m e r s ，v a d o u s s e i c er a t ea i l dr e p a i r a b l es y s t e mi sc o i l s i d e r e di n 缸l i st h e s i s w b 嬲s 硼 1 et h a te a c h t ) ，p eo ft h ec l l s t o m e r s 删v et ot l l es y g t e ma c c o r d i i 玛t oa 1 1i n d e p e n d e n tp o i s s o n p r o c e s s p o s i t i v ec u s t o m e r sf o l l o w sa i lf c f sd i s c i p l i n ea i l do i l l yt h ec u s t o m e ra tt h e h e a do ft l l eq u e u ei sa l l o w e dt oa c c e s st ot 1 1 es e n r e r t h es e r v i c er a t ed 印e n d so nm e l e n g t ho fm eq u e u ew 1 1 i c hl 嬲tl e a v i i 培c u s t o m e rs e e s t h en e g a t i v ec u s t o m e rt a k e s a w a yt 1 1 ep o s i t i v ec u s t o m e rw h o i sb e i n gs e r v e di i lc e r t 血s e i c es t a g e i nt i l i sm e s i s ， 也es u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es 切b i l 毋o ft 1 1 es y s t e mi sd e r i v e d t h ep r o b a b i l 时 g e n e r a t i n g 舢：1 c t i o n sa n d 砒如n c t i o na r eo b t a j n e db ym e a l l so ft h es u p p l e m e n t a 巧 v l r i a b l em e m o d w 色a l s og i v es o m ep e r f 0 m l a n c em e a s u r e s ，s u c h 嬲n l em e 觚m l m b e r o fc i l s t o m e r si i l l es y s t e m 觚dt h ea v a i l a b i l 毋o ft l l es y s t e mu n d e rd i 鼠r e m s t a t e s a tl a s t ，s o m ee x i s t i n gr e s u l t sa r ed e d u c e d 嬲s p e c i a lc a s e si sp r 0 v i d e d k e y w o r d s ：v 撕o u ss e r v i c er a t e ；r e p a i r a b l es y s t e m ；n e g a t i v ec u s t o m e r s ； v 有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论 文的规定，即：学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版， 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采 用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 导师签名夕9 於 日期尹饰厂月毒汐日 中山大学硕士论文 有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 第一章引言一模型研究的历史发展和应用背景概述 1 1 排队论概述与历史发展 排队现象在日常工作和生活中经常碰到，如生产线的排队作业、交通运输存 在的排队现象、互联网的数据排队等等。这类问题的提出是由于电话通话中的等 待时间存在：一次通话需要一定的时间，如果某段时间内各线路都有用户在通话， 后来的用户就只能等待了。顾客希望能有多几条线路，以减少等待现象。但顾客 的到达具有随机性，所以只能适当增加线路，以避免因线路增加过多而造成电话 设备利用率低的后果。像这样一类对立因素的平衡问题，便是排队论要研究的对 象。 排队论，又名随机服务系统理论，是专门研究由于随机因素的影响而产生的 拥挤现象的一门学科，它通过研究各种系统在排队等待中的随机分布特性，来解 决系统的最优设计和最优控制问题。排队论是运筹学的重要分支，也是应用概率 的分支，所研究的问题有很强的实际背景。它适用于很多系统，包括通信系统， 计算机系统，交通系统等。可以说，凡是出现拥塞或者导致等待现象的系统，都 属于随机服务系统。 排队论起源于在二十世纪初由丹麦工程师a k e r l a n g 关于电话交换机的效 率研究，从那时起到二十世纪四十年代的发展初期主要研究应用于电话网和远程 通信系统等无队列排队系统；四十年代到六十年代是发展的中期，在第二次世界 大战中为了对飞机场跑道的容纳量进行估算，排队论得到了进一步的发展，它的 研究推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域，主要研究有队列的排队系 统和排队网络，其相应的学科如更新论、可靠性理论等也都发展起来；六十年代 至今，主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分析和近似分析，尤其注 重对业务突发性和带有各种网络控制的排队系统的研究，以提高系统的效率，取 得最佳收益。可见，经过国内外的数学家和运筹学家的近一百年努力，排队论已 成为一门成熟的理论，其文献数以万计，特别是随着计算机技术的迅猛发展，排 中山大学硕士论文 有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 【3 】中讨论了顾客在系统中虚逗留时间的分布，在文献【4 】中获得了不同服务规则 和抵消原则下的系统稳态队长分布的概率母函数及平均队长，并给出了求取数值 解的迭代方法。这样，就使得负顾客排队系统的研究跃升到一个新的台阶由 求取理论解上升到实际数值的求解。 负到达也可解释为灾难 5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 】，灾难发生时抵消系统中所有顾客；也 可解释为集体退出【1 l 】或队伍溃散 1 2 】。心t a l e j o 和c o r r a l 【7 】研究了一个既有清理 又有竞争再入的排队，即新到达的顾客发现系统忙时会进入o r b i t 中等待重试， 且o r b i t 中的顾客与正在服务的顾客以一定比例竞争接受服务，灾难发生时系统 彻底清理并立即更新。但他们只讨论了稳态情况下系统的性能指标。史定华 1 3 运用补充变量法，构造向量马氏过程和吸收向量马氏过程，研究了该系统的瞬态 情况，得到这一系统的一些重要指标的分布。 朱翼隽 1 4 】等提出负顾客可以接受服务的思想，讨论了一类负顾客m g 1 排 队模型，得到队长分布的概率母函数、虚等待时间及等待时间的l s t 表达式。 此外，朱翼隽等还首次把负顾客引入到可修服务系统中，得到一系列的排队指标 和可靠性指标的形式解；而负顾客和重试排队系统结合也是比较新的研究方向， 在最近几年才出现过。a n a l e j ojr 和c 0 m e z c o n 湖a 1 5 在1 9 9 9 年研究了带有 负顾客的单服务器重试排队系统。伍慧玲、尹小玲 1 6 】在2 0 0 5 年研究了一个带 有负顾客的m g 1 重试可修排队系统，把负顾客，修理和重试排队系统结合起 来，服务器故障由负顾客引起。这些方面的研究大大丰富了负顾客排队模型的理 论体系。 在负顾客与g 聊彤l 排队系统结合方面，韩国学者做了大量研究工作。w b n s 培和k y u n gc c h a e 1 7 】讨论了具有负顾客的g i m 1 系统的队长及等待时间的 分布。 对负顾客排队的研究是不同领域中发生的许多实际问题的必然。从负顾客概 念的引入到发展，负顾客对系统造成的影响大致可分为以下几种：单个移除、整 批移除、灾难、触发移除、随机移除。经过众多学者在这些方面的研究，负顾客 排队已取得一定进展，但也有问题尚待解决。此外，现有的结果中，有些因表达 式过于复杂而难以付诸应用，发展有效的算法或给出简单适用的逼近也是很有意 义的。对负顾客排队系统的进一步研究，是一个可望取得丰富成果的领域。 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 台在闲期会失效，但失效率与忙期不同。另一方面，对各类型的可修排队系统， 我们都可以根据中断的服务如何继续又分为三种模式：每次中断后服务过的时间 累积计算；服务过的时间不计，每次中断后服务都要重新开始；在每次中断后服 务强行结束，如不能中断服务的产品或中断引起报废的情形。对于这些情况的改 变可以构造许多特殊的模型。 由于对可修排队模型的规则的改变，以及服务台的增加等等，这些构造出来 的模型都能在计算机系统、通讯网络、生产管理和柔性制造系统中寻找到。我们 有必要研究这些模型从而指导我们的生产，达到更高的经济效益。 1 4 变速度排队模型的研究进展 变速度排队模型，是n 策略排队模型的一个变化。n 策略是诸多称为“控制 排队”策略中的一种( 如t 策略 2 2 ，d 策略 2 3 等) 。n 策略在生产系统、通讯 系统等都有广泛的应用，即只有当系统中的顾客数达到n 时才开始服务，这样可 以节省资源或减少损耗等。1 9 9 4 年，s o o ns e o kl e e 等 2 4 用补充变量法研究了 n 策略单重休假的m x g 1 排队系统，求出了平均队长和平均等待时间以及其他一 些指标，找出了在稳态下使用费用最小的最优控制策略。a k r i s h n 锄o o r t h y 和 t g d e e p a k 2 5 于1 9 9 9 年用补充变量法研究了一种改进的n 策略m g 1 休假排 队系统。作者为避免顾客的不耐烦情绪，将忙期开始时的n 个顾客采用整批进行 服务。2 0 0 2 年，z h eg e o r g ez h a n g 和n a i s h u ot i a n 2 6 采用嵌入马氏链法得到 了n 策略g i m l 型排队系统的队长和等待时间的稳态分布，并证明了其随机分 解性质。 基于n 策略的控制排队方法，现实中由于工作量的变化，导致系统服务率不 像经典模型那样维持在同一个水平，这时候就产生了对变服务率排队模型的研 究。关于由工作量决定服务速度的排队模型我们可以在 2 7 中了解；而在 2 8 】中， 作者考虑了两种速率的排队系统，如果工作量不超过某个设定的k 值，则以服 务率服务，否则以 进行服务。这些文献中共同点都是服务速度根据顾客到达的 时刻来决定的。更多相关的文献不仅对此进行描述，而且还对服务器状态变化而 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m d l 可修排队系统 产生的变服务率情况进行了研究，在 2 9 中，作者研究了在阀门m 的控制下的排 队指标。 1 5 排队模型的其他发展 自从二十世纪初期e r l a n g 开始开创排队论依赖，取得了一系列重要的结果， 同时也出现了许多新的研究方向和研究方法，如排队网络、矩阵解析法、数值计 算、极限定理以及特殊模型等。 排队网络是指由一些服务点和联结它们的路径所构成的总体，其中每个服务 点相当于一个单服务台或多台的排队系统，顾客在一个服务点接受服务完后按照 一定的规律沿着路径到达下一个服务点接受服务。 由n e u t s 提出的矩阵解析法在过去几十年得到空前发展，1 9 8 1 年到1 9 8 9 年 出版的他两本著作是该方法的理论基础【3 7 ，3 8 】。根据p h 分布，n e m s 引进了 g 坍1 和m g 1 的两类p h 排队过程，使得随机过程的研究从指数分布推广到 p h 分布类型，并且由p h 分布可以逼近任意非负随机变量分布的特性，使得一 般分布下的随机过程模型可以利用简单的模型计算逼近。1 9 8 9 年s e n 舭 3 9 首次考虑用时间连续且一个状态连续，一个状态离散的二维马氏过程的方法研究 排队系统，并证明了该模型的平稳分布是指数型分布。1 9 9 1 年，j e l l s e n 等【4 0 把p h 分布和排队网络结合起来，研究了从p h m c 到p h p h 1 的排队网络，得 到了稳态分布的条件，实等待时间和虚等待时间。2 0 0 3 年，d u d i n 等 4 1 研究了 带负顾客的g i p h 1 输入控制排队系统，再次把p h 分布和控制系统结合起来， 并且利用数值分析方法给出了系统的稳态分布。 1 6 本文的研究意义与概述 本文将在 3 0 】和 3 1 的基础上，把负顾客的排队模型引进并重新设定变速率 的条件，研究带负顾客且服务速度可变的可修m g 1 排队系统。 本文构思源于现在存在的一些如银行排队、网络服务等可操控排队速度模型 的简化：顾客到达满足泊松分布，如果负顾客到达( 可以视为病毒等不确定因素) 6 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 则当前接受服务的顾客被移除，但到达一定服务等待人数得时候，系统会自动防 御外部侵入以达到满负荷运作，即不再受到负顾客影响；当前顾客服务完成，根 据还在排队的人数决定是否要加快服务速度还是维持原来服务速度不变；服务器 由于某种原因可能产生故障从而要求修理。 在本排队系统中，正负顾客到达服从泊松分布，服务器的单位服务率为卢( x ) ， 当前服务速度与上次服务完成后看到排队人数有关，于一个忙循环中，系统开始 处于基本服务率状态，每次服务完一个顾客，判断排队人数是否大于m ，如果 不是，则维持基本服务速度不变，如果排队人数超过m ，则加快服务速度；如 果排队人数再大于时，则把服务速度提高到最高水平一直到人数少于，时， 才回复阶段2 速度，如果再少于m ，则回到基本服务速度一直到服务完成为止。 在不同的阶段中，服务器都是以概率口进入修理状态，修理过程满足参数为卢的 泊松分布，修理完成后，服务器维持修理前服务率不变。负顾客到达带走队首顾 客，但在闲期、修理期和系统处于最高服务速度期间，负顾客到达对系统没有影 响。 本文希望通过补充变量法和矩阵方程求解系统瞬态方程组的迭代解，并希望 得到其解析解，从而得到系统的各个状态概率和瞬态队长。并通过母函数法给出 稳态队长，最后求出系统的可用度和故障频度等可靠性指标。 7 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m ，g l 可修排队系统 第二章模型分析与结果 2 1 模型的描述与定义 本文研究的排队系统可以用以下数学模型描述： 1 、单服务器，到达系统的顾客有正、负顾客两类，他们的到达分别形成参数为九+ 和a 一的泊松过程。 2 、正顾客接受的服务有三种情况，其分布由当前服务完成时看到队长人数决定： ( 1 )当服务完成时队长人数大于0 小于m 的时候，下一顾客的服务速度服从 分布蜀( x ) ，有密度6 1 ( x ) ，失效率为h ( x ) = 嵩，均值为盯1 ； ( 2 ) 当服务完成时队长人数大于等于m 小于2 的时候，下一顾客的服务速度 服从分布垦( x ) ，有密度6 2 ( x ) ，失效率为：( x ) 2 r ，均值为压1 ； ( 3 )当服务完成时队长人数大于等于，的时候，下顾客的服务速度服从分 布b ( x ) ，有密度岛( x ) ，失效率为地( x ) = 尚，均值为心1 ； 3 、负顾客到达系统时，若发现服务器处于情况1 和情况2 ，它带走正在接受服 务的正顾客后立即消失；若发现服务器处于情况3 或空闲或维修状态，则自 动消失，不会对系统造成任何影响。 4 、服务器使用寿命服从指数分布，参数为a 。服务器寿命结束后马上进入修理 状态，服务器失效时，当前正在服务的顾客的逝去服务时间有效。 5 、修理时间服从指数分布，参数为p 。服务器修好后继续保持之前的服务状态。 6 、以上各随机变量相互独立。 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 以书( o ) = 学 要情况3 达到稳态，则必须胱 去， l 所以，系统的稳态条件是 垒：! 垡旦! 1 p ( 2 ) 对于情况2 ，同样独立来看的话，是一个带负顾客的可修m g l 排队 系统。 如果只考虑负顾客不考虑修理，则其广义服务时间分布为： 龟( ，) = m i n l p n ，垦( ，) ) = 1 一( 1 一岛( f ) 弦计 再考虑修理情况，则情况2 的广义服务时间y 的分布为： 眺) = 薹f ( 1 _ p 叫一) ) ( q 1 _ ( 1 可1 严砬( 少) = 砉f ( 1 - p 咧竹) ) ( 叫譬蛐) 对g 2 ( f ) 作l s 变换，有： 拍如啼，：竺一 肌一裥= 等( 1 一琏( ) 情况2 能到情况l 的话，必须有e 】， 寺 允+ ( a + 卢) ( 1 一噬( 旯一) ) 卢a 一 九+ ( a + 卢) ( 1 一耳( a 一) ) 雕一 l o 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 2 3 解瞬态微分方程组 定义概翠如f ： 异( f ) = 尸 ( f ) = o ) f ( f ，x ) 出= 尸 ( f ) = 甩，( f ) = 1 ，s ( f ) = f ，x v ( f ) x + 出) ，x o ； 只，o ( f ，x ) 出= 尸 ( f ) = ，z ，( f ) = o ，s ( ，) = f ，x x ( f ) x + 出) ，x 0 ； 并有：扛1 的时候，胛1 ；扛2 的时候，z m ；扛3 的时候，z 2 ； 规定，r ，o ，x ) = 昂 o p ，x ) = 0 ，f = 1 ，2 ，3 ； 根据系统模型描述，得到方程组如下： ( 丢+ a + ) 忍( ，) = r 日，。o ，x ) ( h ( x ) + a 一协 ( 2 - 3 - 1 ) ( 昙+ 昙+ a + 九+ + a 一+ m ( x ) ) “f ，x ) = a + - l ，。( ，x ) 蹦，+ 卢只，l ，。( f ，x ) ，刀1 ( 2 3 - 2 ) ( 昙+ 昙+ a + 允+ + a 一+ 心( x ) ) “f ，x ) = 允+ - 1 ：( f ，石) 。，m + 卢只 2 。( f ，x ) ，门川 ( 2 3 3 ) ( 昙+ 昙+ a + 九+ + 地( x ) ) 只 3 ( r ，x ) = a + 1 ，。( r ，x ) 厶。，2 + 卢 。( f ，x ) ，z 2 ( 丢+ 卢+ a + ) ，l 。( f ，x ) = a + 只- l 。，。( f ，x ) + a “f ，x ) ，刀1 ( 丢+ 卢+ a + ) 2 。o ，x ) = a + _ l ：“f ，x ) 。，l + a 2 ( f ，x ) ，刀m ( 昙+ 卢+ 允+ ) 3 。( f ，x ) = a + 一。即( f ，x ) 。，2 + a ，( f ，x ) ，刀2 边界条件： ，1 ( ，o ) = f + l ，( f ，x ) ( “( x ) + a 一) 出+ 允+ 昂o ) 删 ，1 珂 l 一1 氏- l ，。( f ，o ) ：壹f 氏，愈，x ) ( 鸬( x ) + 允一) 出 只t o ，o ) = o ，刀m 2 ( 。) = 喜f 只扎。o ，x ) ( 以( x ) + a 一) 出，l 以 2 1 ( 2 3 - 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 、，、， 6 7 - - 3 3 - - 2 2，l k 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g 1 可修排队系统 啪m + + 赤。忐： 啪m 赤，”忐t ： 把( 2 3 2 3 ) 代入( 2 3 1 7 ) 中，得到： 或砖x ) = e 吲小豆( x ) a 如o ) 乙m 。 仅垆r 薯啪y 渺 = p 一5 p 互( x ) ( 色，l ( j ，o ) + 元一l ，l ( s ，o ) 乞+ + a l ( s ，o ) 乙) ，行1 ( 2 3 - 2 6 ) 注意到死。( s ，j c ) = o ，z l 。故当挖= 1 ，2 ，l 时，有矩阵方程： 磊1 ( j ，x ) 易1 ( s ，x ) 磊- l l ( s ，x ) = p 嘞。弦磊( x ) 并且当，z m 时有： k tk z a ，。( 蹦) ：p 吲咖豆( x ) 窆a 舾o ) “+ 。 磊j ( s ，o ) 民- 2 l ( j ，o ) 氏o s ，o ) ( 2 3 2 7 ) = p 一5 弦巨( x ) ( 多l - l 1 ( j ，o ) 乙一i + p i 一2 ，l ( 以o ) 乙一l + l + + a ，l ( j ，o ) 乙) ， 疗m ( 2 3 2 8 ) 由此可见，成，。( s ，x ) 只依赖于元。( 5 ，0 ) ，疗= 1 ，2 ，m 一1 同理，把( 2 3 2 4 ) 代入( 2 3 1 8 ) 中，得到： a 。2 ( s ，x ) = p 一唧小豆( x ) a ，2 ( j ，o ) 乙一川 i = l = g 一嘞咖豆( x ) ( 成，2 ( s ，o ) + a - l 2 ( s ，o ) 乞+ + 民，2 ( s ，o ) 乙一l + 1 ) ，疗m ( 2 3 2 9 ) 注意到或，：( s ，x ) = o ，l 2 或，z m 。故当刀= m ，m + l ，2 时，有矩阵方 8一+赤 一 s + 一 允+ + 九+口 = 、，s，l 记 ，1 乞 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 墨( s ，0 ) = o 0 4 ( s ) f 蠢矧锄“卟 i 民- l - ( s ，o ) 1 、一 若矩阵，一彳可逆，即可解得： 丘( s ，o ) = ( ，一爿) - 1 o o 4 ( j ) 由( 2 3 2 8 ) 得到： 氏，l ( s ，x ) 氐+ l ，l ( s ，z ) 氏_ 2 ，l ( 蹦) 民- l l ( s ，o ) = p 咱o n 巨( x ) ( s ) + - ( j ) 0 0 西( s ) 民_ l l ( s ，o ) ( 2 3 - 3 3 ) 乞( s ) ( s ) k z ( s ) k s ( s ) 氏一l ( s ) ( 2 3 3 4 ) 矗1 ( s ，0 ) 霞1 ( s ，0 ) 氏_ l ，l ( s ，o ) 由( 2 - 3 - 1 6 ) ，或( s ) 依赖于霸，。( s ，x ) ，因此同样可以用p m - l ，。( s ，0 ) 表示出来。 再记 毛( s ) = f 乙( 如( x ) + 允一展( x ) 弦一嘞咖出，疗= 1 ，2 ， 对( 2 3 1 1 ) 作l 印l a c e 变换后，用( 2 - 3 2 9 ) 代入，有： ( 5 ，0 ) 口 记 b = 氟，z ( s ，o ) 氏+ l ，2 ( s ，o ) 氏_ 2 2 ( s ，o ) 氏+ ( s ) 氐( s ) 喀( s ) 氏+ z ( s ) 氐+ ，( s ) 以( s ) 氏一，( s ) 噍一z ( s ) 氏一l ( s ) 如( s )向( s ) ；。 k 一l + l ( j ) 墨( s ) k 一l ( s ) 如( s ) 毛( s ) 如( s )毛( s ) 磊1 ( s ，0 ) 霞1 ( s ，0 ) 氏枷( s ，o ) 民，z ( j ，o ) 民- 2 2 ( s ，o ) 氏- l 2 ( s ，o ) ( 2 3 3 5 ) d 一 一 向 ， 扣 d 叫哪 又； m 心 硝；跏伽 rii州ii一 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g 门可修排队系统 利用上述符号，( 2 - 3 3 7 ) 解得： 色，2 ( s ，o ) 二幺( j ) 氏- l ，l ( s ，o ) + k ( s ) 氏_ l ，2 ( j ，o ) ，m 刀2 2 ( 2 - 3 - 3 8 ) 同时，( 2 3 3 4 ) 可以简写为： 多。，l ( s ，o ) = 以( s ) p 1 一l ，l ( s ，o ) ，1 刀1 2 ( 2 3 - 3 9 ) 由( 2 3 1 6 ) 解得： 1 豇( j ) = _ 每4 ( s ) q ( s ) 民- l l ( j ，o ) ( 2 - 3 - 4 0 ) s 七九 此时，只有氟- l 。( s ，o ) 和氏- l ：( s ，o ) 是未知量，只要求得这两个量，a ，- ( s ，x ) 和虎，2 ( s ，x ) 就可以解出。为了求a ，l ( s ，x ) 和a ，2 ( s ，x ) ，下面利用母函数法和归一 化条件得出关于这两个未知变量的方程组并求解。 定义概率母函数如下，其中x o ： p 。( 蹦，z ) = a 砖x ) z 刀， 刀= l 霞( 蹦，z ) = 威，2 ( 蹦) z 一， 刀= l 乜( 蹦，z ) = a ，；( 蹦) z 甩， 行= 2 m 一1 a ( s ，o ，z ) = 露如o ) 矿， a ，o ( 蹦，z ) = o ( 蹦) 矿， 打= l a ，o ( 蹦，z ) = a 3 o ( 蹦) z 开 刀= m 乜( s ，o ，z ) = a ，3 ( s ，o ) 矿， 疗= m ( 蹦，z ) = 威，2 ，o ( 蹦) z 捍 肛i 对( 2 3 2 0 ) 一( 2 3 2 2 ) 等式两边乘以少，再令n 从0 到求和，整理得： ( s + 卢+ a + 一九+ z ) a o ( s ，x ，z ) = 口a ( s ，x ，z ) ，f = 1 ，2 ，3 ( 2 - 3 - 4 1 ) 对( 2 3 1 7 ) 一( 2 3 1 8 ) 等式两边乘以少，再令n 从o 到求和，整理得： ( 昙+ j + 口+ 允+ + 允一+ j l l ，( x ) 一旯+ z ) a ( j ，x ，z ) = p a ，o ( j ，x ，z ) ，f = 1 ，2 ( 2 3 4 2 ) o x 对( 2 3 1 9 ) 等式两边乘以少，再令n 从0 到求和，整理得： ( + s + a + 九+ + 心( x ) 一九+ z ) p 3 ( s ，x ，z ) = 卢a ，o ( s ，x ，z ) + z 2 ( 2 - 3 - 4 3 ) 优 记 1 7 玎 z0s p 窆叫 = z0s 。耽 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g 1 可修排队系统 记 + z 2 - 1 ( f p 一如蹦。6 3 ) r p 如蹦，霹1 ( y ) 6 出一p 2 - l ，2 0 ，o ) ) ( 2 3 - 4 7 ) 丁( j ，z ) = f p 一如跖。6 3 ( x ) r 少踞y 霹1 ( y ) 掀 由( 2 3 4 7 ) 解得： a ( j ，o ，z ) = a o ，l = 1喜f 成“s ，x ) ( p ，( x ) + 允一) z 一出+ z 2 ( 丁( s 力一氏- l ，2 ( 是。) ) z 一6 3 ( 乞( s ，z ) ) ( 2 3 - 4 8 ) 可见，乜( j ，o ，z ) 完全由露，1 ( s ，x ) 、多啦( s ，x ) 及氟_ 1 ，2 ( s ，o ) 决定，而p 蚶( s ，x ) 、 鼠，2 ( s ，x ) 又是依赖于民- l ，l ( j ，o ) 和魂_ l ，2 ( s ，o ) ，所有只需要求出这两个未知变 量，尾( s ，o ，z ) 即可求出。 从( 2 3 2 8 ) 一( 2 3 3 9 ) 得到 刀= | v 疗= k a 1 ( j ，x ) z 斤= 磊( s ，而z ) 一 2 一l l l = 磊( s ，x ，z ) 一e 吲咖蜃( x ) 尻舾o ) 乙小。z 开 疗= lj | = l 2 1 1 一l = a ( 蹦，z ) 一p 吲咖亘( x ) 砬，。( s ) 乙m 。z 一 万= l七= l 色，1 ( s ) 乙一| “z 拧】p 1 1 ，l ( s ，o ) ( 2 3 4 9 ) 成，2 ( s ，x ) z 一= 应( j ，x ，z ) 一元，2 ( s ，x ) z 万 k 一1 疗= ： ：磊( s ，x ，z ) 一p 一嘞( 咖巨( x ) 【笙窆乙一( g 。弦栉民 。( s ，o ) + k ( j ) 魏1 ，2 ( j ，d ) z 栉) 记 l 一2 砸，z ) = 哦( s ) z 疗+ z 1 。1 ， 甩= l 行= 1 后= 1 ( 2 3 5 0 ) m 一2 g ( 跗) = q ( s ) 少 打= l zxs 。办 窆科 疗 z “七一片 弦 0s ，l_ p 酱乙料 州 + 酱厶料 窆喇 中山大学硕士论文 有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 ， 一2 日( 即) = k ( s ) 少+ z 2 。1 胆l ，( s ，z ) = f p 一帕力x 巨( x ) ，( s ，z ) 一p 一嘞啦巨( x ) 一l 1 1 + b ，l ( j ) 乙小。z 一】( p l ( x ) + 九一) ) 出 开= t 女= 1 三( 酃) = j c o p 吲弗j 垦( x ) g ( 蹦) 百小x 豆( x ) ( 心( x ) + 允一) ) 出 m l b ，( s ) 乙拆。z 疗 七= i ( s ，z ) = f 如州踞工巨( x ) 日( s ，z ) 一p d 0 咖垦( x ) 【芝 m l 甩= 1 ( 心( x ) + 允一) ) 出 t = l 乙小。磁0 ) z 一 利用上述符号，把( 2 3 3 8 ) 一( 2 3 3 9 ) 、( 2 3 4 5 ) 、( 2 3 4 9 ) 和( 2 3 5 0 ) 代入( 2 3 4 8 ) 并化简，可得到： 删力= 业业塑坐笺糕窘型塑 ( 2 3 5 1 ) 由于( 2 3 5 1 ) 的分子在izl 1 上解存在，记其解为z o 。又由于a ( s ，0 ，z ) 在 z i 1 内解析，则也为分子的零点。则有： ( ，( s ，z o ) + 三( s ，) ) p l l ，l ( s ，o ) + ( ( s ，铴) 一斧) p 2 一l ，2 ( s ，o ) + 皆丁( s ，) = o 再由归一化条件： 磊( s ) + f - l( f ( 拍删嘞“圳出) = ( 2 3 5 2 ) ( 2 3 5 3 ) 嘶聃，谶筝篡= 2 槲 中山大学硕士论文 有负顾客及多种服务速度的m g 1 可修排队系统 【了每儡o ) 日( s ) + 墨，( s ，1 ) + 恐g ( s ，1 ) 】民- l l ( j ，o ) + 足日( s ，1 ) 氏_ l ，2 ( s ，o ) 九+ s ： + 尼丝：! ! 坐! ! 亟：! ：! 塑! ：堂：坚堕二! ：! 塑! 坠坠! ( 2 - 3 - 5 4 ) 1 一岛( 乞( s ，1 ) ) s 联立( 2 3 5 2 ) 和( 2 3 5 4 ) 解得： p m 一，- 。，。) = 【昙一端 + 垦塑兰：鱼! l 一6 3 ( 乞( j ，1 ) )。揣m 鬻， 赤拍荆州仅1 ) + 醐叫心糍 蚂删m 篙赫) 鬻】- l 协3 一s s ， 吼瓴0 ) _ 堕堂掣糍产 协3 彤， 2 4 系统的队长 定理2 4 1系统的瞬态队长的概率母函数为： z ( 踯) ：譬呈掣+ z ) 耳“( 蹦) ) m ，z ) 民1 。( s ，o ) + 霹( z ) ) g ( 蹦) 民_ 1 ，。( s ，o ) j 十几 。 m 蛳“印) 】+ 珊力) 【堕篙费产 + 堕尘塑粤掣掣】) ， ( 2 训) z 一6 3 ( 乞( s ，z ) ) “ 其中， 驰，加1 + 而氘 ，( s ，z ) 、g ( s ，z ) 、日( s ，z ) 、( s ，z ) ，民- l ，l ( s ，o ) 、氏- 1 ，2 ( s ，o ) 如上节所述。 证明：根据队长概率母函数的表达式： 地一= 祁) + 喜f ( 拍刖峨水刖) 出 ( 2 抛) 再把( 2 3 3 8 ) ，( 2 3 4 0 ) ，( 2 3 - 4 4 ) 一( 2 3 4 5 ) 和( 2 3 5 1 ) 、( 2 3 5 5 ) 2 1 中山大学硕士论文 有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 p l ( 1 ) + a ( 1 ) + a ( 1 ) = 茸( f l ( o ，1 ) ) ，( o ，1 ) p 1 一l ，1 ( o ) + 厦( ( o ，1 ) ) g ( o ，1 ) 卢l l ，。( o ) + h ( o ，1 ) p 2 一。，：( o ) 】 峨，2 ( 0 ，1 ) ) 卢盟型堕鬻鬻等型协5 正) + l 十a l ( 4 ) 系统在各个情况的瞬时故障频度 系统处于情况1 的瞬时故障频度为： a ，o ( s ，z ) = ( 如( s ，z ) 一1 ) 耳( ( s ，z ) ) ，( j ，z ) p l 一1 ，1 0 ，o ) ( 2 5 6 ) 系统处于情况2 的瞬时故障频度为： 及，o ( s ，z ) = ( 如( s ，z ) 一1 ) 展( ( s ，z ) ) g ( s ，z ) 民“s ，o ) + 日( s ，z ) 氏1 ：( s ，o ) 】 ( 2 5 7 ) 系统处于情况3 的瞬时故障频度为： 乜，。(岛z)=(厶(岛z)一1)嚣(乞(s，z)垦!竺!塑!二竺竺三兰旦星竺兰兰芝兰墨丢三喜三亏手竺!星丝三三塑 ( 2 5 8 ) ( 5 ) 系统处于修理状态的概率为： p 1 o ( s ，1 ) + a ，0 0 ，1 ) + a ，o ( s ，1 ) = ( 厶( s ，1 ) 一1 ) 耳( ( s ，1 ) ) ，( s ，1 ) p 1 一l ，1 ( s ，o ) + 霹( ( s ，1 ) ) g ( s ，1 ) p i 一。，。( s ，o ) + 日( s ，1 ) 矽2 一。，：( s ，o ) 诫，1 ) ) 堕堂监掣然等坠业型) ( 2 - s - 9 ， ( 6 ) 稳态故障频度 系统处于情况1 的稳态故障频度为： 磊，o ( z ) = ( 乞( o ，z ) 一1 ) 厨( f l ( o ，z ) ) ，( o ，z ) 氟- 1 l ( o ) ( 2 - 5 1 0 ) 系统处于情况2 的瞬时故障频度为： 乜，o ( z ) = ( 厶( o ，z ) 一1 ) 茸( f l ( o ，z ) ) g ( o ，z ) p l l ，。( o ) + 日( o ，z ) 矽2 1 ，2 ( o ) 】 ( 2 - 5 - 1 1 ) 系统处于情况3 的瞬时故障频度为： 中山巳静邴誊秀薹毒蓉稀竖需霉雨饿篷盈篇薷峨薹i ；囊蛙稿丽裂商 篓“ 羹，i ；蓁i 蓁 耄! 一 薹； 蓁，；i 篓i 薹。i i 引l 一茎! j ； ：； ：； 羹一i ：弋| 蓁一i i 主i 。鎏：二= | ：l l i 睾| j 【。0 、? 葱寿堕双蚤燮鬟竺露善二 主i 薹i 薯! t ! 型壁釜望型垄姿王一 查垒墼查墨墨登壁垒鎏鏖堕坠型! 里堡堡坠墨竺 二二_ = _ 二二二_ = 二= 二州， hj u - ji j 1 r 眇、爿纠l 诹( o ，砌鬟赫钆( 0 ) ) z 一执iz ，i u z l l 一 其中， 甄1 ，2 ( o ) = 黔吐如舻豢兰 2 、当m = o ，2 1 = 0 ，a 一= 0 ，时，模型化为可修m g l 排队模型。 此时， 氏_ 1 2 ( s ，o ) = 磊( s ) ； 犀“( s ，z ) ) 日( s ，z ) = l ； ( s ，z ) = z ( 1 一( s + 允+ 一九+ z ) ) ； 因此，得到瞬态队长为： 磊( s ) 2 熬，乞为z 一嚣( ( 岛z ) ) 在l z i l 中的解。 与利用【1 8 的方法算出的可修排队系统的瞬态队长形式上是一致的。 3 、当川= o ，2 1 = 0 ，a 一= 0 ，口= 卢= 0 时，模型化为经典m 硝1 排队模型。 此时，得到的瞬态队长为： 其中绁力吲卅豸) ) 堕等铲 删= 者寰 与经典m g l 排队模型的形式一致。 中山大学硕士论文有负顾客及多种服务速度的m g l 可修排队系统 【1 4 】z h u - j u l l a n a l y s i so n at y p eo fm g l m o d e l s 、) ，i t hn e g a t i v ea r r i v a l s p r o c e e d i n go f t h e2 7 t hs t o c h a s t i cp r e s sc o n 名r e n c e ，u k ，2 0 0 1 【15 a r t a l e j oj c o m e z c o r r a la o nas i n g l es e r v e rq u e u ew i t hn e g a t i v ea i v a l s a n dr e q u e s tr e p e a t e d j a p p lp r o b ，19 9 9 ，3 6 ：9 0 7 - 9l8 1 6 】伍慧玲，尹小玲有单移除策略的删1 重试可修排队系统中山大学学报 ( 自然科学版) ，2 0 0 5 ，4 4 ：1 3 3 1 3 7 【17 】l gws ，c h a ekc an o t eo nt h eg i g 1q u e u ew i t hp o i s s o ni l e g a t i v ea 玎i v a l s j a p p lp r o b ，2 0 0 1 ，3 8 ：1 0 8 l - 1 0 8 5 1 8 】曹晋华，程侃服务台可修的m g 1 排队系统分析应用数学学报，1 9 8 2 ， 5 ：1 1 3