研究生 泛函分析总结.doc

应用泛函分析总结1. 距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：XXR，使得x,y,zX,下列距离公理成立：（1） 非负性：d(x,y)0，d(x,y)=0x=y;（2） 对称性：d(x,y)=d(y,x);（3） 三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）.P37 例题2.1.22. 距离空间中的开集与闭集【两个定理的证明会考一个】设AX，若，则称A为X中的开集；若，则称A为X中的闭集。定理2.2.1（开集与闭集的对偶性）开集的余集是闭集，闭集的余集是开集。证：设A为开集，则有；再由,有故为闭集，若A为闭集，则由,有故为开集。定理2.2.2任意个开集的并集是开集，有限个开集的交集是开集。证：设(I)为开集，令，则xG，使得。由为开集，知r0，使得 从而x为G的内点，故G为开集；又设，其中（k=1,2,，n）为开集，则xG,有x（k=1,2,，n）.由开，知0，使得，故取 ,则有，从而有x为G的内点，故G亦为开集。3. 稠密性（掌握概念）设A,B是距离空间X的两个子集，则（1） A称为X中的稠集，若=X（2） A称为B的稠子集，若AB（3） A称为在B中稠密，若B.4. Cauchy列（基本列）（掌握概念）距离空间（X,d）中的点列称为Cauchy列（或基本列），若，NN,使当m,nN时，有d（） （注意： （） ）定义2.5.2 距离空间（X,d）成为完备的，若X中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。5. 完备距离空间（X,d）称为完备的，若中的任一Cauchy列都收敛到X中的一点。6. 列紧集与紧集设A是距离空间X的子集，若A中的任一点列都有收敛子列，则称A为列紧集；若A中的任一点列都有收敛于A的子列，则称A为紧集。7. 压缩映射（重点 例题）设（X,d）为距离空间，T：XX是X到自身的一个自映射，若存在常数（01），使对x,yX，有d（Tx,Ty）d(x,y),则称T为X上的压缩映射。8. 不动点对X上的自映射T，若X，使得T=，则称为T的一个不动点9. 给出映射须证出为压缩映射例3.6.1 设X=(0,1/4是R中的左开右闭区间，其上的距离按数的距离：F:XX,定义为,那么 ，则F是X上的一个收缩映射课后例题1 设X=1,)是R得子空间，定义为，证明：T是压缩映射并求出T的不动点。证明：设在X=1,)上有，故T是压缩映射；令得，计算的，故T在1,)上有唯一的不动点10. 赋值空间设X是数域K上的线性空间，若xX，都有一个实数|x|与之对应，使得x,yX，K，下列范数公理成立：（1） 正定性：|x|0，|x|=0x=0（2） 绝对齐次性：|x|=| |x|（3） 三角不等式：|x+y|x|+|y|则称|x|为x的范数，X为K上的赋范空间，记作（X，|）例3.2.1xR,定义|x|=|x|,则（R，|）是赋范空间。证明：有题知，显然有，且，满足正定性 ：，满足绝对齐次性 ：设,满足三角不等式，所以（R，|）是赋范空间。例3.2.2x=（），定义，1p，则（）（1p）均为赋范空间。证明:1:有题意得：显然，且 满足正定性。 2：又因满足绝对齐次性。3：设,所以满足三角不等式，综上所述，（）（1p）均为赋范空间例3.2.3 P7510. Banach空间的概念完备的赋范空间称为Banach空间。11. 范数的等价性定义3.4.1 设和是线性空间X上的两个范数，若X，则称与是等价的。定理3.4.1（等价范数定理） 线性空间X上的两个范数与等价的充分必要条件是：,0，使得xX